2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何(理科)專題02二面角

1、2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何（理科）專題 02二面角1 .如圖，在三棱柱 ABC AB1C1 中， AA = AB/ABC =90口側(cè)面 AABB1 _L 底面 ABC.(1)求證：AB1 _L 平面 A1BC ；(2)若 AC =5, BC =3, NAAB=60求二面角 B ACC1 的余弦值.2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何（理科）專題 02二面角 第1頁2 .如圖所示的多面體中， 下底面平行四邊形ABCD與上底面，平行,且AA II 嗎 | CC1, AB = 2AC = 2AA , ZA AC = - , AC -L 0C ,平面 ACC1A1 J. 13平面ABC,點M為的中點.(1)過點

2、%作一個平面口與平面AMC平行，并說明理由；(2)求平面A1MC與平面口所成銳二面角的余弦值.2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何(理科)專題 02二面角 第3頁3 .如圖，在四麴隹P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形， AB=2AD, BD = J3AD ,且PD _L底面ABCD .(1)證明：平面PBD，平面PBC；I(2)若Q為PC的中點，且AP BQ=1 ,求二面角Q-BD -C的大小.5.在四棱錐PABCD中，四邊形 ABCD是矩形，平面PAB _l平面ABCD ,點E、F分4 .如圖所示的幾何體是由棱臺PMN-ABD和棱錐JBDNIV1拼接而成的組合體，其底面四邊形ABCD是邊長為2的

3、菱形，£ABC = 60。，PA _L平面ABCD,AP = 2PM = Z.(1)求證：MN 1 PC；(2)求平面MNC與平面RPMB所成銳角二面角的余弦值.2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何(理科)專題 02二面角 第5頁別為BC、AP中點.(1)求證：EF/平面PCD；(2)若AD =AP =PB,/APB =1200,求平面DEF與平面PAB所成銳二面角的余弦值6.如圖，在四B PABCD中，底面ABCD為直角梯形,AD|_ BC,/ADC = 90，平面PAD _L底面ABCD ,1Q 為 AD 中點，M 是棱 PC 上的點,PA= PD =2,BC = AD =1,CD = J

4、3 . 2(I)若點M是棱PC的中點，求證：PA|_平面BMQ ;(n)求證：平面PQB _L平面PAD ;(出)若二面角 M -BQ C為30,設(shè)PM =tMC,試確定t的值.2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何（理科）專題02二面角（教師版）2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何（理科）專題 02二面角 第7頁1.如圖，在三棱柱 ABC AB1cl 中， AA = AB/ABC =90口側(cè)面 A1ABB1 _L 底面 ABC.(1)求證：AB1 _L 平面 A1BC ;(2)若 AC =5, BC =3, NAAB=60求二面角 B ACC1 的余弦值.21【答案】（1）證明見解析；（2）14試題解析ND證明：

5、在側(cè)面4且RB中,AA = A£,二四邊形4疑用為菱形, 與推線.他 丫側(cè)面 A1ABB1 _L底面 ABC,/ABC =90，. CB_L側(cè)面 A1ABB1 ,二 CB _L AB1 .又；ABCBC =B,二 AB1 _L平面 A1BC.(2)在 RtABC 中，AC =5,BC =3,，AB =4,又菱形 AABB1 中，'；/ AAB = 60°,二A1AB 為正三角形.如圖，以菱形4犯用的對甬線交點。為坐標(biāo)原點方向為工軸，3方向為平軸，過u目與衛(wèi)。平行 的方向為I軸建立如圖空間直再坐標(biāo)系，則42d0）.現(xiàn)-2qo）c（-2患3）再 色2招g(shù)） = G（Q2

6、后3）.求=（2后,。）.狙=（2,243,、兒上nlCQ=0,-2x 2、3y=0,設(shè)n=(x,y,z)為平面ACC1的方向量，則nC1Al -0.2x 2,3y -3z-0.令x =3，得n =（3,而4 ）為平面ACCi的一個法向量.又OB1 =（ 0,-2J3,0 ）為平面ABC的一個法向量,2114cosn, OB1 =f乎4 =一尸；£產(chǎn)=一 .，二面角 BACCi的余弦值為n|LOB12x7L2/314（2）求平面/mc與平面AC口所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）仁5試題解析:（1）取AB的中點E, BC的中點F,連接Bf、4F、EF,如圖所示.則平面

7、B【EF|平面AMC,平面BJF即為所求的平面口.理由如下:在平行四邊形BCJB中，點mF分別是B£與bc的中點,2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何（理科）專題 02二面角 第9頁所以BJICM,在 AHC中，點印分別是AB.HC的中點，所以EF | AC .顯然EFCFBrF, AC門CM = C,所以平面B【EF II平面AMC ,亦即平面a |平面AMC.（2）不妨設(shè) AC-2,AAl = 2, ab = 4,故 BC =加乙小二 # - 2之=狙 AD = BC = 2.n在平行四邊形ACC島中，ZA.AC =-,所以A1C=2.3取AC的中點。，則AO_LAC.又平面ACC/】J平

8、面ARC ,平面山仁向門平面ABC = AC ,所以%。平面AHC .連接 0E,因為 AO = OC, AE = EH,所以。E|BC,又 AC _L HC ,所以。E _L 4C .如圖所示，以點 O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則口。，A（LO，QT。），%（口,0楠,日卜1,280）,DU-2&0), CJ-2R、5),BJ224忑),必-2,8回.所以 A；M = (-2,&0),(C = (-Wj3), A；J = (”aO),二口 : (L -他-我.設(shè)平面4MC的法向量為m蕓MmhJ,令1 = 口，則上LL V產(chǎn)1所以E0由ZF，設(shè)平面&1匚1口的法向量

9、為n二伙爐小之）,n則由，n1AA1 ald?所以 n = (0"2).m n 5 x 0 + 2 x 1 + (-1) x (- 2).8所以：'.|E”|n| J(同 + 7 +( _ 17 X (/+ (- 253.如圖，在四麴隹P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形， AB = 2AD, BD = J3AD ,且PD _L底面ABCD .（1）證明：平面PBD_L平面PBC;（2）若Q為PC的中點，且 AP BQ=1,求二面角Q BDC的大小.2018屆高考數(shù)學(xué)立體幾何(理科)專題 02二面角 第15頁近1,一2 2）設(shè)平面QBD的法向量為n = （x, y, z

10、）,則 n DQ 01、3x - ,即 221.3-x 22易知平面BDC的一個法向量為m=（0,0,1）,則 cos（m,n）=_=e,.二面角,2 12QBDC的大小為:.【答案】（1）見解析（2）-4試題解析：（1）證明：. AD2 +BD2 =AB2，.- AD _L BD ,，AD/BC ,，BC _L BD .又.PD，底面 ABCD, . PD _LBC . . PD c BD = D , . . BC _L 平面 PBD .而BC匚平面PBC，平面PBC _L平面PBD .（2）解：由（1）知，BC _L平面 PBD ,分別認(rèn)ZU, DSf DP為耳軸，y軸，工鼬建立空間直通坐

11、標(biāo)系N-砂，如圖所示，諛6口 =后,則血=1,令陽=r，則MLQO),且他后口)> C(-L/巴露。,小,JP=（T（V）,相.APBQ=U=1, .=1.故2y - z = 02 ，令 x=1,得 n = （1,0,1 卜y - z = 024 .如圖所示的幾何體是由棱臺PMN-ABD和棱錐JBDNM拼接而成的組合體，其底面四邊形AECD是邊長為2的菱形，£ABC = 6(T, PA _L平面AECD.AP = 2PM = 2.(1)求證：MN 1 PC;(2)求平面MNC與平面APMB所成銳角二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).5試題解析*證明：因為底面四邊形

12、即8是菱形j又1P口 J_平面A88,.PA1BD, ACn PA = A, J.B。平面PAC,JBDLPC又棱臺PMN-應(yīng)BD中，BD"MNH I.二(2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則CfQJ，Mp勺,2)，N(-2 ' 2一一.廠.一，-g 3-43P(Q - 1,B句3,。，所以 CM，T，CN = - J222設(shè)平面MNC的一個法向量為m =則CM 1 mCai n，,-, Z，口。-1,。)，22；Z , AP = (0A2) , AB =函J,，伸力二°| CN p m = 0v3 3囚13.令V得-Vi + 2zi = 0- .4 .m = (0-

13、4);3設(shè)平面APMB的法向量為n = (x/J,則(AP 1 n|.v . ,廣0 人 r/口r 7 令勺川,得力二-4,勺二。AP、n = 0AB n = 0設(shè)平面MNC與平面APMB所成銳二面角為所以平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值為5.在四棱錐PABCD中，四邊形 ABCD是矩形，平面PAB _L平面ABCD,點E、別為BC、AP中點.(1)求證：EF/平面PCD；(2)若AD =AP =PB/APB =1200,求平面DEF與平面PAB所成銳二面角的余弦值【答案】(1)見解析(2).30201試題解析：(I)證明：取PD中點G，連接GF,GC .在 PAD中，有G,F分別

14、為PD、AP中點， GF/AD2在矩形.5CD中，E為BC中盡CE/-.4D=2GF/ /EC四邊形GC斯是平行四邊形 GCHEF而GCU平面PCD, EF0平面PCD. EF/平面PCD(II )取AB中點O,連接OP ,設(shè)AD=2. 丁 四邊形ABCD是矩形, AD _L AB丁 平面PAB _L平面ABCD,平面PAB c平面ABCD=AB,AD c平面PAB。為AB中點OP1AB, OA=OB=H OP=1.故可建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,如圖所示，則A(£ 0,0),P (010), B(后；0,0) , 573,0,2),D (73,0, 2)股2,01E -.3,0,

15、1厘=(2點0, 1 ), KF/設(shè)n = (x, y,z )是平面DEF的一個法向量，則DE n = 0睡K=0 '-2 .3x -z =01不妨設(shè)x=1,則nxy -2z = 02=(1,-773,-273).易知向量AD =(0,0,2 )為平面PAB的一個法向量.cos nn ADinHAD-2.3 2J2 +1品 2 +(-273 )父23020故平面DEF與平面PAB所成銳二面角的余弦值為.30206.如圖，在四B P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形AD L BC, ZADC = 90，平面 PAD _L 底面 ABCD ,AD _L平面 PAB 又 AD=AP=PB,

16、 2APB = 120°,Q 為 AD 中點，M 是棱 PC 上的點，PA= PD =2,BC =1 AD =1,CD = J3 .2(I)若點M是棱PC的中點，求證：PA|_平面BMQ ;(n)求證：平面PQB _L平面PAD ;(m)若二面角 M -BQ C為30,設(shè)PM =tMC,試確定t的值.試題解析：( I)還月；連接/C交3Q于連接MM,砒 £C| AD且AD ,即丑目月C| AQ所以四邊形3CQ/為平行四邊形，且N為/C中點，又因為對是尸C甲點，所以| EC因為MN仁平面BMQ , PA0平面BMQ所以PA|_平面BMQ .1（n）因為 ADUBC,BC =A

17、D,Q 為 AD 中點， 2所以四邊形BCDQ為平行四邊形，所以CD BQ .因為 ZADC =900,所以 ZAQB =90，即 AD _L BQ.又因為平面pad，平面abcd,且平面PAD C平面abcd=ad ,所以BQ，平面PAD,因為BQ u平面PQB ,所以平面PAD _L平面PQB .（出）因為 PA = PD,Q為AD的中點，所以PQ _L AD .又因為平面PAD _L平面abcd,且平面PAD c平面abcd = AD ,所以PQ _L平面abcdQ - xyz,以Q為原點，以QA,QB的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則點 Q(0,0,0), P(0,0,V3), B