如何證明極限不存在(精選多篇)

1、精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料如何證明極限不存在（精選多篇）【各位讀友，本文僅供參考，望各位讀 者知悉，如若喜歡或者需要本文，可點 擊下載下載本文，謝謝！】祝大家工作順利】證明極限不存在 二元函數(shù)的極 限是高等數(shù)學(xué)中一個很重要的內(nèi)容，因為 其定義與一元函數(shù)極限的定義有所不同, 需要定義域上的點趨于定點時必須以任 意方式趨近,所以與之對應(yīng)的證明極限不 存在的方法有幾種.其中有一種是找一種 含參數(shù)的方式趨近,代入二元函數(shù)，使之 變?yōu)橐辉瘮?shù)求極限.若最后的極限值與 參數(shù)有關(guān)，則說明二重極限不存在.但在 證明這類型的題目時，除了選y=kx這種 趨近方式外,許多學(xué)生不知該如何選擇趨 近方式.本文給出證明一類常見的

2、有理分 式函數(shù)極限不存在的一種簡單方法.例1 證明下列極限不存 在:limx4y2x6+y6;lim-x2y2x2y2+2.證 明一般地，對于選擇當沿直線y=kxy=kx 趨 近 于 時 ，有 lim 一 x4y 2x6+y6=limx 一 0k2x6x6=k21 +k 6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極 限不存在.對于若仍然選擇以上的趨近方 式，則不能得到證明.實際上，若選擇沿拋 物線y=kx2+x-趨近于，則有1.2是因為定義域d=|x不等于y嗎, 從哪兒入手呢，請高手指點沿著兩條直線y=2xy=-2x趨于時極限分別為-3和-1/3不相等極限存在的定義要求延任何過直 線求極限時極限都相

3、等所以極限不存在3lim趨向于無窮大/ 證明該極限不存在 lim/=lim/-8y /=l-lim8/最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀# 精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料因為不知道X、y的大校 所以lim趨向于無窮大/ 極限不存在 4如圖用定義證明極限不存在謝 謝!！反證法若存在實數(shù)1,使limsin=l,取 £=1/2,在x=0點的任意小的鄰域x內(nèi)， 總存在整數(shù)n,記 xl=l/£x,有 sin=l,記 x2=l/£x,有 sin=-l,使卜in-l|和|sin-l| 同時成立。即 |1-1|這與|1-1|+|-1-1閆-|=2 發(fā)生矛盾。所以，使limsin=l成立的實數(shù)1不 存在

4、。如何證明極限不存在反證法若存在實數(shù)1,使hmsm=l,取 £=1/2,最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀在x=0點的任意小的鄰域x內(nèi)， 總存在整數(shù)n,記 xl=l/£x,有 sin=l,記 x2=l/£x,有 sin=-l,使卜in-l|和根in-l|同時成立。即 |1-1| 這與|1-1|+|-1-1閆-|=2 發(fā) 生矛盾。所以，使limsin=l成立的實數(shù)1不 存在。反證法：一個數(shù)列an極限存在，另一個數(shù) 列bn極限不存在假設(shè)兩數(shù)列之和cn的極限存在， 那么bn=cn-an極限也存在矛盾所以原命題成立令 y=x,lim 趨于 xy/x+y=lmix /=0令 y=x

5、-x,lim*b.因此二項式定理下面用二項式定理計算這一極限: 的新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀5 精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料用二項式展開得:最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀# 精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀 # *精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料由于二項展開式系數(shù)項的分子乘 積的最高次項與的次數(shù)相同，而系數(shù)為 1,因此，最高次項與的相應(yīng)次方剛好相 約，得1,低次項與1/n的相應(yīng)次方相約 后，分子剩下常數(shù)，而分母總余下n的 若干次方，當n-+oo,得0。因此總的結(jié)果 是當n-+oo,二項展開式系數(shù)項的各項分 子乘積與的相應(yīng)項的次方相約，得lo余 下分母。于是式一化為：=l+l+l/2!+l/3!+l/4!+l/5!+l

6、/6!+.+l/n!當n-+oo時，你可以用計算機，或 筆計算此值。這一數(shù)值定義為e。證明二重極限不存在 如何判 斷二重極限不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的 難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳 細的討論，只是略談一下在判斷二重極限 不存在時，一個值得注意的問題。由二重 極限的定義知，要討論limx 一 xOy - yOf不 存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過定點的 特殊曲線，如果動點沿這些曲線趨于時,f 趨于不同的值，則可判定二重極限 hmx-xOy-yOf不存在，這一方法一般人 都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是 有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這 條曲線一定要經(jīng)過,并且定點是這條曲線 的非孤立

7、點，這一點很容易疏忽大意，特 別是為圖方便，對于型如 ImixTxOyTyOfg的極限，在判斷其不存 在時，不少人找的曲線是f-g=O,這樣做就 很容易出錯。例如，容易知道 limxT0yT0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線 最新財經(jīng)經(jīng)濟資料 感謝閱讀 # 精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料x2y-二0一時,所得的結(jié)論就不同一 1）。為 什么會出現(xiàn)這種情況呢？仔細分析一下 就不難得到答案2若用沿曲線，一 g=0趨近于來討 論，一 Og, yoo可能會出現(xiàn)錯誤，只有 證明了不是孤立點后才不會出錯。 o 13a 1673-387801_0102_02 如何判斷二 重極限不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難 點，在這里筆

8、者對這一問題不打算做詳 細的討論。只是略談一下在判斷二重極 限不存在時。一個值得注意的問題。由 二重極限的定義知，要討論hmf不存在, 通常X' 10y' y。的方法是：找?guī)讞l 通過定點的特殊曲線，如果動點沿這些 曲線趨于時，f趨于不同的值，則可判定 二重極限limf不存在，這一方1一' 10r' y0法一般人都能掌握，但是在找一些特 殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管 找哪條曲線，這條曲線一定要經(jīng)過，并 且定點是這條曲線的非孤立點，這一點 很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對 最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀 于型如2的極限，在判卜'iogx, yy-yO 斷其

9、不存在時，不少人找的曲線是f-g： 0,這樣做就很容易出錯。3當沿曲線丫=蟲+乂趨于時，極限為 lim/x =-1;當沿直線y=x趨于時，極限為 limx /2x=0。故極限不存在。4x-y+x +yf=x+y它的累次極限存在: x-y+x +ylimlimy->0x->0x+yx-y+x +ylimlimx->0y->0x+y當沿斜率不同的直線y=mx,-時， 易證極限不同，所以它的二重極限不存 在。最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀#精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料不如何證明極限不存在 一、歸結(jié)原則原理:設(shè)f在uO內(nèi)有定義，hmf存 在的充要條件是：對任何含于x?xOu且以xO為極限的數(shù)歹

10、U?xn?極限 hmf都存在且相等。n?例如：證明極限limsinx?0lx不存在 12n? 證：設(shè)xn?In?,xn?2,則顯然有xn?0,xn?0, si由歸結(jié)原則即得結(jié)論。? ?O?O,si?l?l?xnxn二、左右極限法原理：判斷當x?xO時的極限，只 要考察左、右極限，如果兩者相等，則 極限存在，否則極限不存在。例如：證 明 f?arctan當x?0時的極限不存在。lx)?lx)?92x=0， limarctan?lim?arctan，所以當x?0時，arctan的極限不存 在。三、證明x?時的極限不存在原理：判斷當X?9時的極限，只要考察X?與X?最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀時的極限，

11、如果兩者相等，則極限存在，否則極限不存 在。例如：證明f?ex在x?X?9時的極限不存在X?X?XXXX因為 hme?O, lime?；因此， lime?limex?所以當x?四、柯西準則9時，ex的極限不存在。0，原理：設(shè)f在u內(nèi)有定義，hmf存 在的充要條件是：任給？x?x0?0在正數(shù)？，使得對任何x?,x?uO, 使得例如：在方法一的例題中, 取?0?1,對任何?0,設(shè)正數(shù)n?x?ln?,x?ln?l?,令？2即證。五、定義法原理：設(shè)函數(shù)f在一個形如的區(qū)間 中有定義，對任何a?r,如果存在?0?0,使對任何x?0都存在x0?x, 使得f?a?0,則f在x?x?時沒有極限。例如：證明 li

12、mcosx不存在設(shè)函數(shù)f?cosx, f在中有定義，對 任何a?r,不妨設(shè)a?取?0?120,于是對任 何?0,取?0?0反證法數(shù)學(xué)歸納法極限證明1 .設(shè)f在上無窮次可微，且f?, 求證當 k?n?l 時，？x, limPO. x?2 .設(shè)f?Osinntdt,求證：當n為奇 數(shù)時，f是以2?為周期的周期函數(shù)；當n 最新財經(jīng)經(jīng)濟資料 感謝閱讀最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀17精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料為偶數(shù)時f是一線性函數(shù)與一以2? 為周期的周期函數(shù)之和.x1 ?0.?xn?3.設(shè)f在上無窮次可微； ff?Oxlim 求證:n?l, ?2 n, O?xn?xn?l,使 f?0.3 m)? 1.求證hmf存在

13、.4.設(shè)f在 上連續(xù)，且xlim?x?5 .設(shè) a?O,xl ?2?a,xn? 1 ?2?xn,n? 1,2?, 證明權(quán)限hmn?xn存在并求極限值。6 .設(shè) xn?0,n?l,2?證明：若 hmxn?l?x,貝lj limxn?x. n?xn?n7 .用肯定語氣敘述：limx?f?x?.8 .al?l,an?l?l,求證:ai有極限存 在 o an? 1t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果 對每點x?也b?,極限存在且有限。 證明：函數(shù)f在?a,b?上有界o10 .設(shè) limn9?an?a,證明： limal?2a2?nana?. n?2n211 .敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并 證明

14、數(shù)列?cosn?發(fā)散。最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀12 .證明：若?？af?x?dx 收斂且 hmx?f?x?, 則?0.ll?an?收斂。？,n?l,2?求證： 22an?lanl3.a?0,b?0.al?a,a2?b,an?2?2?n14 .證明公式?k?llk?2n?c?n,其中 c是與n無關(guān)的常數(shù)，hmn?n?0.15 .設(shè)f?x?在上連續(xù)，且 f?0,記 fvn?f,?n?exp b?a,試證明：n lbInfdx并利用上述等式證明 下?ab?a式2?2?lndx?21nr f?f最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀 19 精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料?kb?a34 .設(shè)f '?k,試證明Inna?O

15、?b?O?35 .設(shè) f 連續(xù)，?Ofdt,且 limx?0論丁在x?0處的連續(xù)性。f,求?'，并討?ax36 .給出riemann積分?afdx的定 義，并確定實數(shù)s的范圍使下列極限收 斂illim?So n?ni?On?x322,x?y?0?237 .定義函數(shù)f?x?x?y2.證明f?x? 在?0,0?處連續(xù)但不可微。?0,x?y?0?n?lb38 .設(shè)f是?0,?上有界連續(xù)函數(shù)， 并設(shè)rl2,?是任意給定的無窮正實數(shù)歹U, 試證存在無窮正實數(shù)列xl,x2?使得： limn?f?xn?m?f?xn?0.39 .設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且 limx? 0f?2x?f?x?a,求證

16、：?0?存在且等 于a.xIn40 .無窮數(shù)列？an?,bn?滿足 limn?an?a,linm?bn?b,證明:lim?aibn? l-i?ab.n?ni?l41 .設(shè)f是?0,?上具有二階連續(xù)導(dǎo) 數(shù)的正函數(shù)，且f'?x?0,f”有界，則 limt?f?t?042 .用?分析定義證明limt?l x?31?x2?9243.證明下列各題?1?設(shè) an?0,l?, n?l,2?試證明級 最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀數(shù)?2nann?l?an?n 收斂；n?l?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項數(shù) 列，級數(shù)？n2014an收斂，試證明 limn2014an?0;n?n?l?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試 證明權(quán)限hmx?Of?x?存在的充要條件是: 對任何趨于0的數(shù)列？xn?,yn?都有 limn?f?xn?f?yn?O.?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正 項數(shù)列，級數(shù)?anln?l?an?O?收斂，試證 明 lmin?n?n?l?a?lo 45.設(shè) an?O, n=l,2, an?a?O 證 limnn?46 .設(shè)f為上實值函數(shù)，且f=l, f?1, +?)最新財經(jīng)經(jīng)濟資料感謝閱讀21精選財經(jīng)經(jīng)濟類資料limf存在且小于1 + ox