第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 B

1、【精品文檔】如有侵權，請聯(lián)系網站刪除，僅供學習與交流第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 B.精品文檔.第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 B一、填空題（每小題 10 份，共 80 分）1. 計算：【答案】50【考點】計算：提公因數(shù)【解析】2. 農諺“逢冬數(shù)九”講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九九九，冬至那天是一九的第一天2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年 2 月 10 日是_九的第_天【答案】六、七【考點】周期問題【解析】12月21日到31日有：天；1月份有31天；2月1日到2月10日有10天所以從2012年12月21日到2013年2

2、月10日經過天，所以是2013年2月10日是六九的第七天3. 某些整數(shù)分別被 除后，所得的商化作帶分數(shù)時，分數(shù)部分分別是 則滿足條件大于 1 的最小整數(shù)是_【答案】3466【考點】余數(shù)問題【解析】法一：設這個整數(shù)為n，則有的分數(shù)部分是，說明余2同理：余2；余2；余2所以是的倍數(shù)；若，則，不符合；則最小是所以，解得，所以n最小是3466法二：設這個整數(shù)為n，則有，由余數(shù)的可乘性可以看出，因為，所以；同理，故是7，8，9，10的公倍數(shù)，且n不等于1，故n最小為4. 如圖所示，P， Q , 分別是正方形 ABCD 的邊 AD 和對角線 AC 上的點， 且 AP： PD = 1: 4 ，AQ：QC :

3、=3: 2 如果正方形 ABCD 的面積為 25，那么三角形 PBQ 的面積是_【答案】6.5【考點】幾何【解析】連接，正方形的面積為25，故邊長為5，因為，所以，所以5. 有一箱蘋果，甲班分，每人 3 個還剩 10 個；乙班分，每人 4 個還剩 11 個；丙班分，每人 5 個還剩 12 個，那么這箱蘋果至少有_個【答案】67【考點】余數(shù)問題【解析】設甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，共有A個蘋果，可得，可以看出，利用逐級滿足法，如下：但是A顯然要大于12，故最小的A應該為注：本題并沒有說明一定要盡可能地多分，故在每人分5個的情況下，丙班雖然只有11人，依然可以剩12個不分6. 兩個大小不同

4、的正方體積木粘在一起，構成下圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個頂點分別是大積木的粘貼面各邊不是中點的一個四等分點 如果大積木的棱長為 4，則這個立體圖形的表面積為_【答案】136【考點】三視圖；弦圖【解析】這個立體圖形的表面積就是大正方體的表面積加上小正方體四個面的面積大正方體的表面積為，而如圖所示，利用弦圖小正方體的一個面的面積為，故整個表面積為7. 甲、乙兩車分別從 A，B 兩地同時出發(fā)相向而行，甲車每小時行 40 千米，乙車每小時60 千米兩車分別到達 B 地和 A 地后，立即返回返回時甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變已知兩次相遇處的距離是 50 千米，則 A、B 兩地的

5、距離為_千米【答案】【考點】行程問題【解析】根據(jù)題意，變速后，故可以得到，由于路程一定，所以時間比為，作柳卡圖，如圖所示，假設第一次相遇在C地，第二次相遇在D地，可以看出C地距離A地為全程的，D地距離A地位全程的，故CD間的距離為全程的，故此時全程為千米8. 用“學”和“習”代表兩個不同的數(shù)字，四位數(shù)“ 學學學學 ”與“習習習習 ”的積是七位數(shù)，且它的個位和百萬位數(shù)字與“學”所代表的數(shù)字相同，那么“ 學 習 ”【答案】3【考點】數(shù)字謎【解析】由“”與“”的積是七位數(shù)可知，等于但是當?shù)扔?、6、7、8時，所得的乘積的個位和百萬位數(shù)字不同，舍去當?shù)扔?時，積的個位就是1，則，但是“學”和“習”代表

6、兩個不同的數(shù)字，不符合題意當?shù)扔?時，積的個位就是2，則，當?shù)扔?時，積的個位就是3，則，當?shù)扔?時，積的個位就是4，則，綜上，“”所能代表21，31，41共3個二、解答下列各題（每題 10 分，共 40 分，要求寫出簡要過程）9. 下圖中，不含“”的長方形有多少個？【答案】106【考點】幾何計數(shù)【解析】含有標記A的“*”的長方形有：個；含有標記B的“*”的長方形有：個；含有標記A和B的“*”的長方形有：個；則有“*”的長方形有個圖中共有個長方形不含“*”的長方形有個長方形10. 如下圖，三角形 ABC 中， AD = 2 BD， AD = EC ， BC = 18 ，三角形 AFC 的面積和

7、四邊形 DBEF 的面積相等，那么 AB 的長度是多少？【答案】9【考點】幾何：等積變形【解析】設，因為，所以，即解得則，所以所以，則.又因為，.綜上11. 若干人完成了植樹 2013 棵的任務，每人植樹的棵樹相同如果有 5 人不參加植樹，其余的人每人多植 2 棵不能完成任務，而每人多植 3 棵可以超額完成任務問：共有多少人參加了植樹？【答案】61【考點】因數(shù)倍數(shù)【解析】設共有a人參加植樹，每人植b棵樹，說明a是2013的因數(shù)，2013的因數(shù)有1，3，11，33，61，183，671，2013共8個由題意可知，a是大于5，所以a可以取值11，33，61，183，671，20131）時，每人種1

8、83棵樹，5人離開后有人，每人多種2棵：小于2013，符合題意；每人多種3棵：小于2013，不符合題意2）時，每人種61棵樹，5人離開后有人，每人多種2棵：小于2013，符合題意；每人多種3棵：小于2013，不符合題意3）時，每人種33棵樹，5人離開后有人，每人多種2棵：小于2013，符合題意；每人多種3棵：大于2013，符合題意4）時，每人種11棵樹，5人離開后有人，每人多種2棵：大于2013，不符合題意；5）時，每人種3棵樹，5人離開后有人，每人多種2棵：大于2013，不符合題意；6）時，每人種1棵樹，5人離開后有人，每人多種2棵：大于2013，不符合題意；綜上，共有61人參加了植樹12.

9、 由四個完全相同的正方體推積成如下圖所示的立體圖形，則立體圖形的表面上（包括底【答案】59【考點】最值；邏輯推理【解析】如圖所示，與2點相鄰的面分別有1點、3點、4點和6點，所以2的對面為5；與4點不相對的面分別有1點、2點、5點、6點，所以4的對面為3；則1的對面為6如下圖，分別為這個立體圖形的六個方向的視圖：正視圖背視圖俯視圖底視圖左視圖右視圖本題的難點在于左視圖中黃色的確定，通過原圖可以看出，當2在上面，1在右面時4在前面；所以當2在上面3在前面時，1應該在左面唯一不能確定的是底視圖的中間藍色部分，為了讓表面的數(shù)字和最大，則可以取6故最大值為三、解答下列各題（每題 15 分，共 30 分

10、，要求寫出詳細過程）13. 用八個下圖所示的 2 ´1 的長方形可以拼成一個 4 ´4 的正方形，若一個拼成的正方形圖形經過旋轉與另一個拼成的正方形圖形相同，則認為兩個拼成的正方形相同問：可以拼成幾種兩條對角線都是其對稱軸的正方形圖形？【答案】4【考點】構造與論證【解析】法一：首先構造一個的正方形（如下圖）根據(jù)兩條對角線都是其對稱軸可知：圖中同樣的顏色小正方形代表它們是同類型的，即圖中四個標為A小正方形同類型，四個標為B小正方形同類型分類討論：1）當A類型和B類型的小正方形都是時，的正方形如下（拼法不唯一）：2）當A類型和B類型的小正方形都是時，的正方形如下（拼法不唯一）：

11、3）當A類型小正方形為，B類型小正方形為時，的正方形有兩種（拼法不唯一）：法二：首先，我們可以看到它是關于兩條對角線都對稱的圖形，所以在對角線上的帶標記的方格必為偶數(shù)個，于是我們可以利用在對角線上的標記正方形的個數(shù)進行分類同時我們注意到兩條對角線將16方格的大正方形分成了4個大的等腰直角三角形，這4個等腰直角三角形都應該是一樣的，它們都是由兩個正方形和四個小的等腰直角三角形組成，同時每個等腰直角三角形要承擔2個帶標記的小方格，；第一類：兩條對角線上有被標記的小方格均為0個時，記為（0，0）時，則每個等腰直角三角形中若要承擔2個小方格，則必須是兩個完整的正方形，有如下1種，第二類：兩條對角線上有

12、被標記的小方格為（0，2）時，則每個等腰直角三角形只需承擔1.5個標記的小方格，則至少有一個為小等腰直角三角形為標記的小方格的一部分，這時對角線上將不止2個，故不存在；第三類：兩條對角線上有被標記的小方格為（0，4）時，則每個等腰直角三角形只需承擔1個標記的小方格，這個小方格必為等腰直角三角形中的一個小正方形承擔，有如下1種，第四類：兩條對角線上有被標記的小方格為（2，2）時，則每個等腰直角三角形只需承擔1個標記的小方格，與第三類類似，有如下1種，第五類：兩條對角線上有被標記的小方格為（2，4）時，則每個等腰直角三角形只需承擔0.5個標記的小方格，與第二類類似，不存在，第六類：兩條對角線上有被

13、標記的小方格為（4，4）時，只有一種，如下：綜上，共計4種14. 對于 155 個裝有紅、黃、藍三種顏色球的盒子，有三種分類方法：對于每種顏色，將該顏色的球數(shù)目相同的盒子歸為一類若從 1 到 30 之間所有的自然數(shù)都是某種分類中的一類的盒子數(shù)，那么，1）三種分類的類數(shù)之和是多少？2）說明，可以找到三個盒子，其中至少有兩種顏色的球，它們的數(shù)目分別相同【答案】1）30；2）見詳解【考點】構造與論證；抽屜原理【解析】（1）130每個自然數(shù)均對應某種分類中一類的盒子數(shù)，則三種分類中各類盒子的總個數(shù)最少：個每種分類中各類盒子的總個數(shù)最多155個，三種分類中各類盒子的總個數(shù)最多：個綜上所述，三種分類中各類盒子的總個數(shù)為465個，且三種分類中每類的盒子數(shù)為130中的自然數(shù)且各不相同，按每種顏色分類均包含所有155個盒子則三種分類的類數(shù)之和為30（2）假設盒子數(shù)為30的這一類是按紅色分類的，則這30個盒子在按藍色