【精品課件】111正弦定理

1、正弦定理正弦定理羅田縣第一中學(xué)羅田縣第一中學(xué) 楊遠(yuǎn)中楊遠(yuǎn)中在在RtABC中中,各角與其對(duì)邊的關(guān)系各角與其對(duì)邊的關(guān)系:caA sincbB sin1sinC不難得到不難得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有這樣的關(guān)系嗎?AcbaCBbADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAasinsinsinabcABC即：DAcbCB圖1過點(diǎn)A作ADBC于D,此時(shí)有(1)若三角形是銳角三角形, 如圖1,(2) 若三角形是鈍角三角形呢？ 自己證下！正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相

2、等.CcBbAasinsinsin即即正弦定理尋找的是各邊和它的對(duì)角的關(guān)系！即正弦定理尋找的是各邊和它的對(duì)角的關(guān)系！剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題： 已知兩角和一邊，求其他角和邊. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角.CcBbAasinsinsin定理的應(yīng)用例例 1：在在ABC 中，已知中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，解三角形解三角形.（即求出其它邊和角）（即求出其它邊和角）解： B 180(AC)105 sinsinbcBC由正弦定理得 b = CBcsinsin=30sin105sin10（1）已知兩角和任一邊，）已知

3、兩角和任一邊，求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角sinsinacAC由正弦定理 sinsincAaC得=21030sin45sin10BACbc)26(5a根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，（2）在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求C，a ， b.23（1）在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12。 解三角形.30 ,4 3Cac練習(xí)： 已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.60 ,33,2 3Cab0,2,45 , ,ABCbBACc例2：在中，a= 3求00,0180abABA且060A000(1)60 ,180()75ACAB當(dāng)

4、sin26262sin4222bCcB 000(2)120 ,180()15ACAB當(dāng)sin26262sin4222bCcB 23sin32sin22aBAb解：(2)已知兩邊和已知兩邊和其中一邊的對(duì)其中一邊的對(duì)角角,求其他邊和求其他邊和角角.0120A或（三角形中大邊對(duì)大角）0,2,45 , ,ABCbAC c練習(xí)：在中，a=2求B22sin12sin22bABa解：由正弦定理得00,0180abABB且030 ,105BCsin26231sin422aCcA (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角求其他邊和角.（三角形中大邊對(duì)大角）課堂小結(jié)（1）三角形常用公式

5、：（2）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。(注意解的情況)正弦定理：ABCsinsinsinabcABC正弦定理推廣一正弦定理推廣一: 外接圓半徑外接圓半徑是是 ABCRR2CsincBsinbAsina 證明證明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圓作外接圓O,過過B作直徑作直徑BC/,連連AC/,應(yīng)用正弦定理應(yīng)用正弦定理化邊為角化邊為角：2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC或化角為邊或化角為邊：si

6、n,sin,sin222abcABCRRR正弦定理：sinsinsinabcABC2R公式的應(yīng)用課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：002.2,7545_.sinsinsinABCaBCabcABC已知中，則231： ：直角或等腰三角形直角或等腰三角形1.:3:2:1,: :_ABCA B Ca b c已知的三個(gè)內(nèi)角之比為那么對(duì)應(yīng)的三邊之比等于334Asinbc21Bsinac21Csinab21ah21S:ABC 正弦面積公式正弦面積公式正弦定理推廣二正弦定理推廣二:1.,6845 ._.ABCABCabCS在中，則練習(xí)：練習(xí)：12 262531（）4.,3,1,30 ,_ABCabB在中則其面積等于332

7、4或AasinBbsinCcsin（2R為為ABC外接圓直徑）？2R思考5、求證:證明：111sinsinsin222ABCSabCbcAacBBACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21證法3:D(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角求其他邊和角.ABC3C2C1CBC的長度與角A的大小有關(guān)嗎?三角形中角A與它的對(duì)邊BC的長度是否存在數(shù)量關(guān)系?由(1)(2)知，結(jié)論成立CCbADsinsin ）（且sinsinsinabc