導數(shù)與其應用全章復習與鞏固提高

1、導數(shù)及其應用全章復習與鞏固【學習目標】1. 會利用導數(shù)解決曲線的切線的問題.2. 會利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性等有關問題.3. 會利用導數(shù)解決函數(shù)的極值、最值等有關問題.4. 能通過運用導數(shù)這一工具解決生活中的一些優(yōu)化問題：例如利潤最大、用料最省、效率最高等問題【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一：有關切線問題直線與曲線相切，我們要抓住三點：切點在切線上；切點在曲線上；切線斜率等于曲線在切點處的導數(shù)值.要點詮釋：通過以上三點可以看出，抓住切點是解決此類題的關鍵，有切點直接求，無切點則設切點，布列方程組.要點二：有關函數(shù)單調(diào)性的問題設函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，（1）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為增函

2、數(shù)；（2）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為減函數(shù)；（3）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為常數(shù)函數(shù).要點詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則.（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法： 分離參數(shù)法：或. 若不能隔離參數(shù)，就是求含參函數(shù) 的最小值 ，使.（或是求含參函數(shù) 的最大值 ，使）要點三：函數(shù)極值、最值的問題函數(shù)極值的問題（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)要點詮釋：先求出定義域一般都要列

3、表：然后看在每個根附近導數(shù)符號的變化：若由正變負，則該點為極大值點； 若由負變正，則該點為極小值點.注意：無定義的點不用在表中列出根據(jù)表格給出結(jié)論：注意一定指出在哪取得極值.函數(shù)最值的問題若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求在內(nèi)所有使的的點的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.要點詮釋：求函數(shù)的最值時，不需要對導數(shù)為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導數(shù)為0的點和端點的函數(shù)值進行比較即可.若在開區(qū)間內(nèi)可導，

4、且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?要點四：優(yōu)化問題在實際生活中用料最省、利潤最大、效率最高等問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最大值問題，從而可用導數(shù)來解決.我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題.利用導數(shù)解決實際問題中的最值的一般步驟：(1) 分析實際問題中各量之間的關系，找出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式；(2) 求函數(shù)的導數(shù)，解方程；(3) 比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值要點詮釋：解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，

5、建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系.再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案得出變量之間的關系后，必須由實際意義確定自變量的取值范圍；在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f (x)0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值

6、應舍去要點五：定積分的概念如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上取點，作和式：當時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作：，即要點詮釋：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時），記為，而不是(2) 定積分是一個數(shù)值（極限值），它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關，即（稱為積分形式的不變性），另外定積分與積分區(qū)間，息息相關，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上下限不同，所得的值也就不同，例如與的值就不同要點六：定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形

7、(如圖a中的陰影部分)的面積.要點詮釋：（1）當時，由、=、=與軸所圍成的曲邊梯形位于軸的下方，積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的相反數(shù)（負數(shù)）所以，即，如圖（b）（2）當在區(qū)間，上有正有負時，積分在幾何上表示幾個小曲邊梯形面積的代數(shù)和（軸上方面積取正號，軸下方面積取負號）在如圖（c）所示的圖象中，定積分要點七：定積分的運算性質(zhì)性質(zhì)1：；性質(zhì)2：；性質(zhì)3：定積分關于積分區(qū)間具有可加性。如右圖：（其中）性質(zhì)4 設在，上連續(xù)：當是奇函數(shù)，；當是偶函數(shù)，要點八：求定積分的基本方法定義法（極限觀點）一般步驟：分割，近似代替，求和，取極限公式法（微積分基本定理）微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：如果

8、，且在，上可積，則利用定積分的幾何意義，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如三角形、四邊形、圓等）的面積利用奇（偶）函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質(zhì)（要點三運算性質(zhì)4）。要點詮釋： 對于這幾種計算定積分的方法，要合理的利用：一般先看積分區(qū)間，如果是對稱區(qū)間，就利用對稱區(qū)間上積分的性質(zhì)來化簡（方法），接著分析被積函數(shù)的特點，如果是有理函數(shù)，就利用微積分基本定理計算（方法），如果是無理函數(shù)，則利用定積分的幾何意義計算（方法）而利用定積分的定義求積分的值時，除了幾個特殊的情況需要求積分比較困難，一般很少用要點九：定積分的應用平面圖形的面積求平面圖形的面積，主要是利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進行適當?shù)姆指?，從?/p>

9、把求平面圖形面積的問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積的問題不分割型圖形的面積由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，用定積分來表示面積，然后計算定積分即可求由曲線圍成圖形面積的一般步驟：(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)找出范圍，確定積分上、下限（聯(lián)立與，解方程組得）；(3)確定被積函數(shù)（上曲線-下曲線：）；(4)將面積用定積分表示（）；(5)用微積分基本定理計算定積分，求出結(jié)果分割型圖形面積的求解由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復雜的圖形，在不同的區(qū)間位于上方和下方的曲線不同時，這種圖形的面積如何求呢？要將所求的曲面面積分割成幾個不分割圖形面積的形式求分割型圖形面積的一般步驟：（1）根據(jù)題意畫出圖

10、形；（2）先求出曲線的不同的交點橫坐標，將積分區(qū)間細化；（3）確定相應區(qū)間的被積函數(shù)（上曲線-下曲線）；（4）將各細分區(qū)間的不分割平面圖形的面積分別用定積分表示，則所求圖形面積表示為若干定積分和的形式；（5）利用微積分基本定理計算定積分得出結(jié)果簡單旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看作是由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體，如圓錐體、圓柱體、圓臺、球體等利用定積分也可以求出一些簡單的旋轉(zhuǎn)體的體積，體積公式為【典型例題】類型一： 利用導數(shù)解決有關切線問題例1若直線與曲線相切，試求的值【思路點撥】當切點未知時，應先設出切點.【解析】設與相切于則，又，由得：（），即，.【總結(jié)升華】當切

11、點未知時，要先設切點，然后根據(jù)直線與曲線相切的三個關系列方程組，從而求得參數(shù)值.舉一反三：【變式】 已知曲線在處的切線恰好與拋物線相切，求拋物線方程和拋物線上的切點坐標【答案】曲線上的切點為A(1,2).,切線方程為，即.設拋物線上的切點為,顯然拋物線上的切點在拋物線的上半支，拋物線上半支的方程為,則, ,得 (1)又點在切線上， （2）由(1)(2)求得，. 故拋物線方程為,切點為(2,8).類型二： 利用導數(shù)解決有關函數(shù)單調(diào)性的問題【高清課堂：導數(shù)的應用綜合 370878 例題3】例2.已知函數(shù)()= (0).()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間.【

12、思路點撥】()求出導數(shù)后，主要根據(jù)的正負進行分類討論.【解析】（I）當時， 由于， 所以曲線在點處的切線方程為 即 （II），. 當時，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時，由，得， 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是【總結(jié)升華】（1）解決此類題目，關鍵是解不等式或，若中含有參數(shù)，須分類討論.（2）特別應注意，在求解過程中應先寫出函數(shù)的定義域.舉一反三：【高清課堂：導數(shù)的應用綜合 370878 例題1】【變式1】

13、函數(shù)的圖象大致是（ ） A B C D【答案】C首先易判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，求導后解導數(shù)大于零可得周期性區(qū)間，從而排除B、D,故選C.【變式2】(2014江西)已知函數(shù)f(x)(x2bxb) (bR)(1)當b4時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍【答案】 (1)當b4時，f(x)(x24x+4)，則由f(x)0，得x2或x0當x2時，f(x)0，f(x)在(，2)上為減函數(shù)當2x0時，f(x)0，f(x)在(2，0)上為增函數(shù)當0x時，f(x)0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)當x2時，f(x)取極小值為0當x0時，f(x)取極大值為4；(2)由f

14、(x)(x2bx+b)，得：由f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，得f(x)0對任意x(0，)恒成立即5x23bx+2x0對任意x(0，)恒成立對任意x(0，)恒成立b的取值范圍是類型三：利用導數(shù)解決函數(shù)極值、最值的問題例3. 設為自然對數(shù)的底，a為常數(shù)且），取極小值時，求x的值.【思路點撥】求導后可采用求根法求出極值點，再結(jié)合函數(shù)圖象討論增減性以確定極值.【解析】令（1），由表x（，2）2f(x)+00+f（x）極大值極小值取極小值.（2）無極值.（3）時，由表x（，）2f(x)+00+f（x）極大值極小值，.【總結(jié)升華】1. 導數(shù)式含參數(shù)時，如何討論參數(shù)范圍而確定到數(shù)值的正負是解決這類題的難

15、點，一般采用求根法和圖像法.2. 列表能比較清楚的看清極值點.3. 寫結(jié)論時極值點和極大（?。┲刀家淮宄?舉一反三：【高清課堂：導數(shù)的應用綜合 370878 例題2】【變式1】設函數(shù)則（ ）A在區(qū)間內(nèi)均有零點. B在區(qū)間內(nèi)均無零點.C在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點.D在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點.【答案】D由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點處有極小值；又，故選擇D.【變式2】(2015 安徽文)已知函數(shù)(1)求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，求f(x)在(0，+)內(nèi)的極值?！敬鸢浮?)由題意可知x+r0即x-r，即可求出f(x)的定

16、義域； f(x)的定義域為(-，-r)(-r，+)又又a0，r0令 令()由()可知 f(x)在(0，+)內(nèi)的極大值為F(x)在(0，+)內(nèi)無極小值；所以f(x)在(0，+)內(nèi)極大值為100，無極小值.【變式3】設函數(shù)，其中證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值【答案】因為，所以的定義域為當時，如果在上單調(diào)遞增；如果在上單調(diào)遞減所以當，函數(shù)沒有極值點當時，令，得將（舍去），當時，隨的變化情況如下表：0極小值從上表可看出，函數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為當時，隨的變化情況如下表：0極大值從上表可看出，函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為綜上所述，當時，函數(shù)沒有極值點

17、；當時，若時，函數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為若時，函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為例4. 求函數(shù)在上的最大值（其中）.【思路點撥】為了簡化運算，可考慮換元：令.【解析】令，則求在（0，1上的最大值當時，顯然在（0，1上為增函數(shù)，所以當時，令得：，易知時，為增函數(shù)時，為減函數(shù).于是若（此時），則在（0，1上為增函數(shù)，此時.若（此時），則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以由以上討論知當時，； 當時， .【總結(jié)升華】求含參函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題，首先要通過對參數(shù)分類討論，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其次要善于對極值和端點值進行比較，此時往往需要繼續(xù)分類討論.舉一反三：【高清課堂：導數(shù)的應用綜合 37

18、0878 例題4】【變式】設a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當x>1時，恒有x>ln2x2a ln x1.【答案】（）根據(jù)求導法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（）由知，的極小值于是由上表知，對一切，恒有從而當時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加所以當時，即故當時，恒有類型四： 利用導數(shù)解決優(yōu)化問題例5. 如圖所示，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB20 km，BC10 km為了處理三家工廠

19、的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)，且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO、BO、PO記排污管道的總長度為y km，設BAO(tad)，將y表示為的函數(shù)為如何確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短?【解析】 因為，所以由得因為，故當時，；當時，所以函數(shù)在時取得極小值，這個極小值就是函數(shù)在上的最小值當時，AOBO(km)因此，當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B兩點的距離均為km時，鋪設的排污管道的總長度最短 【總結(jié)升華】本題的關鍵是在令得后一定要驗證為極小值點舉一反三： 【變式】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司

20、交a元（3a5）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元（9x11）時，一年的銷售量為(12x)2萬件 （1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x（元）的函數(shù)關系式； （2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）【答案】（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x（元）的函數(shù)關系式為： L=(x3a)(12x)2，x9，11（2）L=(12x)22(x30)(12x)=(12x)·(18+2a3x) 令L=0得或x=12（不合題意，舍去）3a5， 在兩側(cè)L的值由正變負當，即時， Lmax=(930)(129)2=9(6a)當，即時，綜上，若，則

21、當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6a)（萬元）；若a5，則當每件售價為（）元時，分分司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（萬元）類型五：定積分的計算例6. 計算下列各定積分：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路點撥】（1）中被積區(qū)間是對稱區(qū)間，被積函數(shù)是奇函數(shù)，故利用性質(zhì)4進行計算較簡便；（2）、（3）用微積分基本定理計算；（4）被積函數(shù)是無理函數(shù)，利用定積分的幾何意義計算?！窘馕觥浚?）方法一：利用性質(zhì)直接計算：函數(shù)是奇函數(shù)，.方法二：直接計算.方法三：利用定積分的幾何意義：函數(shù)的圖象如圖所示：設函數(shù)y軸左側(cè)部分圖象與軸圍成的圖形面積為，軸右側(cè)部分圖象與軸

22、圍城的圖形面積為. 由正弦曲線的對稱性可知，=.（2），即，.（3）（4）函數(shù)表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的半圓上的一段弧，則表示這段弧所對應的圓心角為的扇形的面積.如圖中陰影部分所示：.【總結(jié)升華】計算定積分的方法有很多，各個方法有不同的特點，平時學習中注意總結(jié)規(guī)律，以期選擇最適合、最容易計算的方法.除了我們介紹的四種方法之外，還有還原法、分部積分法等等計算定積分的方法，可用于被積函數(shù)較復雜的情況。因為超出了考綱范圍，因此在教材與教學中不作介紹，有興趣的同學可以通過課外學習.舉一反三：【變式1】計算下來定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】9/2（1）是奇函數(shù)，.（2）.（3

23、）.（4），函數(shù)是偶函數(shù)，所以，利用導數(shù)的幾何性質(zhì)可知，表示圓在第一象限的扇形的面積，為，如圖所示。所以.是奇函數(shù)，所以。所以.【變式2】計算的值?！敬鸢浮?，.【變式2】計算，其中【答案】.類型六：利用定積分求平面圖形的面積例7. 計算由曲線及直線所圍成的平面圖形的面積?！舅悸伏c撥】畫出圖象，確定被積函數(shù)與積分上、下限，將面積轉(zhuǎn)化為定積分的形式，利用微積分基本定理正確的計算出結(jié)果.【解析】第一步：根據(jù)題意畫出圖形：第二步：找出范圍，確定積分上、下限：聯(lián)立 解得 或所以曲線及直線的交點坐標是（0，0）和（1，1）.則取為積分變量，積分區(qū)間為0，1.第三步：確定被積函數(shù)：被積函數(shù)為：.第四步：將面

24、積用定積分表示，并計算：設所求平面圖形的面積S，則.【總結(jié)升華】利用定積分求不分割平面圖形的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)，將面積正確的用定積分表示，然后計算即可.舉一反三：【變式1】求由拋物線與直線所圍成圖形的面積【答案】如圖，聯(lián)立 解得或拋物線與直線的交點坐標是(3，5)和(2，0)取為積分變量，積分區(qū)間為：0，1，被積函數(shù)為：.設所求圖形的面積為S，則【變式2】求橢圓所圍圖形的面積?！敬鸢浮繖E圓的大致圖形如圖所示：由于橢圓是中心對稱圖形，所以橢圓所圍圖形的面積（設為S）是橢圓在第一象限內(nèi)面積（設為）的4倍.在第一象限，橢圓方程可變形為：，所以.根據(jù)定積分的幾何意義求的值。表示圓的面積，如圖：，.所以，橢圓所圍圖形的面積是.【變式3】求拋物線在（0，1）內(nèi)的一條切線，使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小. 【答案】設切點坐標為.則該點處的切線方程為，則該切線與軸、y軸的交點坐標分別為，.所以，面積，下面用導數(shù)來求其最小值。，令，得，當時，；當時，所以，是在（0，1）上的唯一極小值點，也是最小值點，此時，切線方程為.例8.求由曲線，及直線，所圍成圖形的面積【思路點撥