全國優(yōu)質(zhì)課——基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、全國優(yōu)質(zhì)課一一根本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)-CAL-FENGHAI-(2O2OYEAR-YICAI)1NGBIAN?34根本不等式?教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析:1、本節(jié)內(nèi)容選自?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?人教A版教材高中數(shù)學(xué)必修5第三章第4節(jié)根本不等式,是在學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、線性規(guī)劃的根底上對不等式的進(jìn)一步的研究,本節(jié)是教學(xué)的重點(diǎn),學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),內(nèi)容具有條件約束性、變通靈活性、應(yīng)用廣泛性等的特占；八、/2、本節(jié)主要學(xué)習(xí)根本不等式的代數(shù)、幾何背景及根本不等式的證實(shí)和應(yīng)用,為選修4-5進(jìn)一步學(xué)習(xí)根本不等式和證實(shí)不等式的根本方法打下根底,也是體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)

2、抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好素材；3、在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)之后,可用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題,但是,借助根本不等式解決某些特殊類型的最值問題簡明易懂,仍有其獨(dú)到之處；4、在高中數(shù)學(xué)中,不等式的地位不僅特殊,而且重要,它與高中數(shù)學(xué)很多章節(jié)都有聯(lián)系,尤其與函數(shù)、方程聯(lián)系緊密,因此,不等式才自然而然地成為高考中經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)、重點(diǎn),有時(shí)也是難點(diǎn).二、學(xué)情分析：1、學(xué)生已經(jīng)掌握的不等式的性質(zhì)和作差比擬法證實(shí)不等式對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有很大幫助；2、學(xué)生邏輯推理水平有待提升,沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過證實(shí)不等式的根本方法,尤其對于分析法證實(shí)不等式的思路以前接觸較少；3、對于最值問題,學(xué)生習(xí)慣轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),根據(jù)函數(shù)

3、的圖像和性質(zhì)求解,對于根據(jù)不等式求最值接觸較少,尤其會忽略取等號的條件.三、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：會從不同角度探索根本不等式,會用根本不等式解決簡單的最值問題；2、過程與方法：經(jīng)歷根本不等式的推導(dǎo)過程,體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；3、情感態(tài)度價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神,并在探究的過程中,體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性.四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：根本不等式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用2、教學(xué)難點(diǎn)：分析法證實(shí)根本不等式思路的獲得和應(yīng)用根本不等式求最值.五、教學(xué)策略分析：1、由情景1和情景2引入課題,可明確本堂的主要內(nèi)容,

4、使學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)明確,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；2、精心設(shè)置問題串二由簡到難,由感性到理性,一步步引導(dǎo)學(xué)生自主探究,小組討論推導(dǎo)根本不等式,讓學(xué)生感受知識發(fā)生開展深化的過程,也表達(dá)學(xué)生為主體,老師為主導(dǎo)的教學(xué)理念；3、為突破分析法證實(shí)根本不等式思路的獲得這一教學(xué)難點(diǎn),采用先學(xué)生小組討論,再師生共同完成的策略；4、為突破應(yīng)用根本不等式求最值這一難點(diǎn),先由例題歸納應(yīng)用根本不等式求最值的要點(diǎn),然后趁熱打鐵設(shè)置兩個(gè)練習(xí),由簡到難,由淺入深,采用學(xué)生板演,搶答和小組討論等方式,及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,及時(shí)糾錯,讓“一正二定三相等深入人心；5、對于轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)而用函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值的問題,教師只作適當(dāng)提示,不作為重

5、點(diǎn)；6、課堂小結(jié)重視知識間的聯(lián)系和研究問題的方法,并強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用.六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計(jì)意圖學(xué)環(huán)節(jié)一、情境創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入課題情境1:在農(nóng)村,為預(yù)防家畜家禽對菜地的破壞,常用籬笆圍成一個(gè)菜園.1 .如果菜園的面積一定,為節(jié)省材料,就應(yīng)該考慮所用籬笆最盤的問題；最短是m；2 .如果所用籬笆的長度一定,為了充分利用材料,就要考慮所圍菜園面積最大的問題.最大是nf；師：引導(dǎo)學(xué)生思考生：思考答復(fù)師：學(xué)習(xí)了本堂課的內(nèi)容就很容易解決這兩個(gè)最值問題情境1提出的實(shí)際問題新奇有趣,簡單易懂.貼近生活,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也為第三環(huán)節(jié)實(shí)際應(yīng)用埋下伏筆.情境2：觀看第2

6、4屆國際數(shù)學(xué)家大會視頻,注意觀察這個(gè)圖形在視頻中出現(xiàn)了多少次？師：播放視頻生：觀看視頻后答復(fù)師：強(qiáng)調(diào)會標(biāo)情境2通過會標(biāo)導(dǎo)入新1、1八H7、1J上的圖形的重要性及其對數(shù)學(xué)生的探究欲望,也讓學(xué)學(xué)習(xí)的意義學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的同時(shí),激起學(xué)生的愛國情懷.CM2CC2BeQiog人叫卬“仙鳴.M2問題：你能在這個(gè)圖形中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？二、自主探究推導(dǎo)問題1：對于“情景導(dǎo)學(xué)中的圖形,把“風(fēng)車抽象成平面圖形.在正方形A8C.中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為正方形A8C.的面積為S,4個(gè)直角三角形的面積和為九那么:(1)正方形A8CO的邊長為(2)S=生：思考后回答ffi:借

7、助幾畫板動態(tài)演示面積變化過程,尤其注意歸納取等號的條件問題1將問題細(xì)化,以填空形式呈現(xiàn)問題,并利用圖形的面積大小關(guān)系,循序漸進(jìn)地抽象出公(3)5,=重要不等式(4)由圖可知,55,式,幾何畫即板演示直觀形象,體會數(shù)形結(jié)合的思想.問題2：不等式/+之2H?對任意的實(shí)數(shù)都成立嗎？重要不等式：a2+b2>2ab(a>0,h>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號師：分析問題1中推導(dǎo)出的不等式中力的取值范圍,提出問題2生：思考后回答師:如何證實(shí)？生：思考后證明師：板書重要不等式,并解釋當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x1可題2培仆學(xué)生學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯推理水平.問題3：如果用8分別代替重要不等式中的,可得什么取等

8、號的條件是什么生：思考后答復(fù)師：板書根本不等式問題3體會代換在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,感受數(shù)學(xué)知識間的根本不等式：<竺(>0力>0).2聯(lián)系.當(dāng)且僅當(dāng)=力時(shí)取等號.問題4：還有沒有其他證實(shí)根本不等式的方法？法(一)作差比擬法-=(-)2>022法(二)分析法要證實(shí)J而,只需證實(shí)：2a+bN2嵐,要證只需證實(shí)+62依之0,要證只需證實(shí)師:指導(dǎo)學(xué)生分組討論證實(shí)基本不等式生：分組討論證明根本不等式師：實(shí)物投影展示學(xué)生成果,并和學(xué)生一起分析證實(shí)思路師生共同完成分析法的證實(shí)先從幾何圖形中的面積關(guān)系獲得基本不等式,然后從代數(shù)的角度推導(dǎo),實(shí)現(xiàn)由感性熟悉到理性熟悉的升華.引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度證

9、明根本不等(&一"尸NO.顯然,是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)4=.時(shí),中的等號成立.過程式,培養(yǎng)邏輯推理能Jj'JVj論可培養(yǎng)學(xué)生的合作交流水平,實(shí)物投影可及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題.探究:如圖,A8是圓0的直徑,點(diǎn)C是A3上一點(diǎn),.AC=a,8C=.過點(diǎn)C作垂直于A3的弦iX1V.石,連接ao、-rJ=卜器BD、OD.那么：、/(1)半徑.£)=、1/(2)CD=(3)顯然CDOD,即根本不等式的幾何意義：半徑不小于弦長的一半.口又可稱為.與方的幾何平均數(shù),2又可稱為與的算術(shù)平均數(shù),根本不等式也叫做均值不等式.根本不等式的代數(shù)意義：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

10、.師：指導(dǎo)學(xué)生分組討論根本不等式的幾何意義生：分組討論,探索根本不等式的幾何意義師：實(shí)物投影展示學(xué)生成果,難點(diǎn)是C.的求法,及時(shí)指出問題,并用幾何畫板演示借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形,并將問題細(xì)化,以填空形式呈現(xiàn)問題,有利于學(xué)生循序漸進(jìn)地探索出根本不等式的幾何意義,并進(jìn)一步領(lǐng)悟基本不等式中等號成立的條件,升華理解.小組討論可培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力,投影展示成果可及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題.用數(shù)學(xué)符號語言、日常語言和圖形語言表述基本不等式,將幾何意義和代數(shù)意義一起講解.有助于學(xué)生從多個(gè)角度熟悉根本不等式,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)水平.問題：重要不等式和根本不等式有什么聯(lián)系與區(qū)別？生：思考后回答,根本不等式可由

11、重要不等式推導(dǎo)得至(但它們的適用條件不同.辨析兩個(gè)不等式的區(qū)別和聯(lián)系,加深理解三、實(shí)際應(yīng)用加深理解例：(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100病的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？(2)一段長為36?的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大.最大面積是多少？解：(1)設(shè)長為xm,寬為ym,貝ljxy=00,籬笆長為2(x+y)m,由之而=10可得：2(x+y)>40,當(dāng)值僅當(dāng)*=?,=10時(shí),等號成立,所以這個(gè)矩形的長和寬都為10?時(shí),籬笆最短,最短的籬笆是407.(2)設(shè)矩形菜園的長為寬為yin,那么2(x+y)=36,即:x+y

12、=18,矩形菜園的面積為個(gè)nr.由歷守=9可得：個(gè)?81,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=9時(shí),等號成立,所以這個(gè)矩形的長和寬都為9"?時(shí),菜園的面積最大,最大面積是81"5.師：分析解題思路,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,注意分析為何可用根本不等式來解決該問題.PPT展示(1)的解答過程.請一學(xué)生板演(2),指導(dǎo)學(xué)生完成生：一學(xué)生板演(2),其他學(xué)生自己完成(2)師：適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生其他解法,比方：(1)也可轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù),(2)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)和情景1前后照應(yīng),學(xué)以致用,把兩個(gè)實(shí)際問題化歸為利用根本不等式求最值的數(shù)學(xué)模型,體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)的動力和信心.板演有利于及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解

13、答中的問題,及時(shí)糾錯.一題多解可更好的培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.題后反思：結(jié)合根本不等式,你能將本題的結(jié)論推廣為更一般的情況嗎？結(jié)論：設(shè)1、假設(shè)ab=P(定值),那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值21；師：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.明確和所求,將問題一般化.在學(xué)生經(jīng)歷例題中的兩個(gè)最值問題之后,及時(shí)提問,培養(yǎng)學(xué)生題后反2、假設(shè)+=S(定值),那么當(dāng)且僅當(dāng)S24=時(shí),岫有最小值下.4要點(diǎn)：一正二定三相等生：思考后將例題的結(jié)論推廣為更一般的情況.師：板書結(jié)論,指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)根本不等式的變形理解記憶該結(jié)論師生共同歸納該結(jié)論的三個(gè)要點(diǎn)思的好習(xí)慣,將特殊1可題一般化,舉一反三,總結(jié)規(guī)律,有利于構(gòu)建系統(tǒng)完整的知識結(jié)

14、構(gòu).四、穩(wěn)固強(qiáng)化綜合練習(xí)1：(1)把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積,當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí),它們的和最小和的最小值是多少(2)把16寫成兩個(gè)正數(shù)的和,當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí),它們的積最大積的最大值是多少解：(1)兩個(gè)正數(shù)都是6時(shí),它們的師：指導(dǎo)學(xué)生用剛剛的結(jié)論解決該問題.注意分析三個(gè)條件是否都滿足生:搶答練習(xí)1練習(xí)1設(shè)置較為根底,主要是讓學(xué)生體會用基本不等式求最值的方便之處,也為練習(xí)2做好和最小,和的最小值是12.(2)兩個(gè)正數(shù)都是8時(shí),它們的積最大,積的最大值是64.鋪墊.練習(xí)2：判斷以下3個(gè)命題是否正確,并說明理由.(1)函數(shù)y=x+L的最小值為2.X()4(2)函數(shù)y=x+-(工2)的最小值x-2

15、為6.()(3)函數(shù)y=6+9+師：讓學(xué)生小組討論,解決該問題生：小組討論,小組代表答復(fù)以下問題師：點(diǎn)評學(xué)生練習(xí)2可加深對用根本不等式求最值的條件的理解,小組討論可培養(yǎng)學(xué)生的合作交流水平,小組代表回G+9的最小值是2.()解：假.x可為負(fù)數(shù),不能直接用根本不等式,答復(fù),并指出：運(yùn)用根本不等式求最值,三個(gè)條件答1可題口J培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)水平、概括水平和y=無最小值.X(2)真.缺一不可,尤其三相等最忽略.邏輯推理能力.4/Vrr八*.7>4-96出x2且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號,所以4y=x+-(x>2)的最小值為6.x-2(3)假.一正二定滿足,但等號取不到五、課堂小結(jié)布置作業(yè)歸納回憶本堂課的內(nèi)容：1、由會標(biāo)數(shù)學(xué)抽象得到幾何圖形(趙爽弦圖)2、由趙爽弦圖直觀想象得重要不等式3、由重要不等式代換可得根本不等式并依據(jù)不等式的性質(zhì)證實(shí)根本不等式4、探索根本不等式的幾何意義5、運(yùn)用根本不等式求最值