初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第21講從三角形的內(nèi)切圓談起

1、第二十一講從三角形的內(nèi)切圓談起和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓,這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形.角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心,圓外切三角形、圓外切四邊形有以下重要性質(zhì):1 .三角形的內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線(xiàn)交點(diǎn),它到三角形的三邊距離相等；2 .圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等,其逆亦真,是判定四邊形是否有外切圓的主要方法.當(dāng)圓外切三角形、四邊形是特殊三角形時(shí),就得到隱含豐富結(jié)論的以下圖形：注：設(shè)RtAABC的各邊長(zhǎng)分別為a、b、c斜邊,運(yùn)用切線(xiàn)長(zhǎng)定理、面積等知識(shí)可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式：(2)rababc請(qǐng)讀者給出證【例題求解】【例1】如圖,在RtAABC中,/C=90

2、.°,BC=5,.與RtABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F,假設(shè).O的半徑r=2,那么RtAABC的周長(zhǎng)為.思路點(diǎn)撥AF=AD,BE=BD,連OE、OF,那么OECF為正方形,只需求出AF或AD即可.【例2】如圖,以定線(xiàn)段AB為直徑作半圓O,P為半圓上任意一點(diǎn)異于A、B,過(guò)點(diǎn)P作半圓.的切線(xiàn)分別交過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)于D、C,AC、BD相交于N點(diǎn),連ZON,NP,以下結(jié)論：四邊形ANPD是梯形；ON=NP:DPPC為定值；FA為/NPD的平分線(xiàn),其中一定成立的是A.B.C.D.思路點(diǎn)撥本例綜合了切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、相似三角形,判定性質(zhì)等重要幾何知識(shí),注意根本輔助線(xiàn)的添

3、出、根本圖形識(shí)別、等線(xiàn)段代換,推導(dǎo)出NP/AD/BC是解本例的關(guān)鍵.【例3】如圖,/ACP=/CDE=90°,點(diǎn)B在CE上,CA=CB=CD,過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F,求證：F為4CDE的內(nèi)心.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點(diǎn)撥連CF、DF,即需證F為ACDE角平分線(xiàn)的交點(diǎn),充分利用與圓有關(guān)的角,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角相等問(wèn)題的證實(shí).【例4】如圖,在直角梯形ABCD中,AD/BC,AB±BC,AB=BC=1,以AB為直徑作半圓.切CD于E,連結(jié)OE,并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F.(1)問(wèn)/BOZ能否為120.,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(2)證實(shí)AOFsedf,且受匹OFOA(3)求DF的長(zhǎng)

4、.思路點(diǎn)撥分解出根本圖形,作出根本輔助線(xiàn).(1)假設(shè)/BOZ=120°,看能否推出矛盾；(2)把計(jì)算與推理融合；(3)把相應(yīng)線(xiàn)段用DF的代數(shù)式表示,利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元次方程.注：如圖,在直角梯形ABCD中,假設(shè)AD+BC=CD,那么可得到應(yīng)用廣泛的兩個(gè)性質(zhì)：(1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切；(2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切.類(lèi)似地,三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫三角形的重心,三角形三邊高所在的直線(xiàn)的交點(diǎn)叫三角形的垂心.外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱(chēng)三角形的四心,它們處在三角而中的特殊位置上,有著豐富的性質(zhì),在解題中有廣泛的應(yīng)用.【例5】如圖,RtAABC中,CD是斜邊AB上的

5、高,0、.1、.2分別是ABC；ACD、ABCD的角平分線(xiàn)的交點(diǎn),求證：(1)O1OXC.2；(2)0C=O1O2.(武漢市選拔賽試題)思路點(diǎn)撥在直角三角形中,斜邊上的高將它分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似,得對(duì)應(yīng)角相等,所以通過(guò)證交角為90.的方法得兩線(xiàn)垂直,又利用全等三角形證實(shí)兩線(xiàn)段相學(xué)力練習(xí)1 .如圖,圓外切等腰梯形ABCD的中位線(xiàn)EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)等于=cm.2 .如圖,在直角,坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),那么RtAABO內(nèi)心的坐標(biāo)是.3 .如圖,梯形ABCD中,AD/BC,DC±BC,AB=8,BC=5,假設(shè)以AB為直徑的.與

6、DC相切于E,貝UDC=.(%】20)(第3國(guó)4.如圖,OO為4ABC的內(nèi)切圓,那么.的半徑等于()C=90°,AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,AC=4,CD=1,45B.54C.34D.56aDc第4申?第5融】(第H電2(m1)x(m1)20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且SAABO+Sa5 .如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,/BCD=90.,以CD為直徑的半圓.切AB于點(diǎn)E,這個(gè)梯形的面積為21cm2,周長(zhǎng)為20cm,那么半圓.的半徑為()A.3cmB.7cmC.3cm或7cmD.2cm6 .如圖,ABC中,內(nèi)切圓.和邊B、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、EF,那么以下四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的結(jié)論是()A.

7、點(diǎn).是4DEF的外心B.ZAFE=-(ZB+ZC)2C./BOC=90°+-/AD./DFE=90°-1/B227 .如圖,BC是.的直徑,AB、AD是.的切線(xiàn),切點(diǎn)分別為B、P,過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)與AD交于點(diǎn)D,連結(jié)AO、DO.(1)求證：ABOAOCD;2(2)假設(shè)AB、CD是關(guān)于x的萬(wàn)程xAD并Oocd=20,求m的值.li8 .如圖,AB是.O/理|侯,BC是.的切線(xiàn),OC與.延長(zhǎng),BC相交于點(diǎn)E.假設(shè)BC=33,CD=1,求.O的半徑;(2)取BE的中點(diǎn)F,連結(jié)DF,求證：DF是.O的切線(xiàn)；(3)過(guò)D點(diǎn)作DGLBC于G,OG與DG相交于點(diǎn)M,求證：DM=GM.9 .如圖

8、,在直角梯形ABCD中,AD/BC,/B=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB為.O的直徑,動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).(1)求.O的直徑；(2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí),四邊形PQCP的面積；(3)是否存在某時(shí)刻t,使直線(xiàn)PQ與.相切,假設(shè)存在,求出t的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2002年煙臺(tái)市中考題)10 .在ABC中,Z0=90&#

9、176;,AC=4,BC=3,CD為AB上的高,Ol、O2分別為ACD、BCD的內(nèi)心,那么0102=.11 .如圖,在ABC中,/C=90°,/A和/B的平分線(xiàn)相交于P點(diǎn),又PEXAB于點(diǎn)E,假設(shè)BC=2,AC=3,貝UAE-EB=.12 .如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線(xiàn)所平分,那么該直線(xiàn)必通過(guò)這個(gè)三角形的()A.內(nèi)心B.外心C.圓心D.重心13 .如圖,AD是4ABC的角平分線(xiàn),O0過(guò)點(diǎn)AB和BC相切于點(diǎn)P,和AB、AC分別交于點(diǎn)E,F,假設(shè)BD=AE,且BE=a,CF=b,貝UAF的長(zhǎng)為()01,3B.a2c,烏2D.3b2第nig14 .如圖,在矩形ABCD中,連結(jié)AC,

10、如果0為ABC的內(nèi)心,過(guò)0作OEAD于E,作OFLCD于F,那么矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為()A.1B.-C.-D.不能確定234(?學(xué)習(xí)報(bào)?公開(kāi)賽試題)15 .如圖,AB是半圓的直徑,AC為半圓的切線(xiàn),AC=AB.在半圓上任取一點(diǎn)D,作DEXCD,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,BFXAB,交線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.設(shè)AD是x的弧,并要使點(diǎn)E在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,那么x的取值范圍是(2)不管D點(diǎn)取在半圓什么位置,圖中除AB=AC外,還有兩條線(xiàn)段一定相等,指出這兩條相等的線(xiàn)段,并予證實(shí).16 .如圖,ABC的三邊滿(mǎn)足關(guān)系BC=1(AB+AC),O、I分別為/ABC的外心、內(nèi)心,0C/BA

11、C的外角平分線(xiàn)交.于E,AI的延長(zhǎng)線(xiàn)交.O于D,DE交BC于H.求證：(1)AI=BD;(2)OI=Iae2,17 .如圖,AB是.O的直徑,BC是.O的切線(xiàn),OC平行于弦AD,過(guò)點(diǎn)D作DE,AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)F,問(wèn)EP與PD是否相等？ffi明你的結(jié)論.AC18.如圖,點(diǎn)P在半彳仝為6,圓心角為XOA于H,OPH的重心為G.90°的扇形OAB的AB(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),PH當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),線(xiàn)段GO、GP、GH中有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段就口果有,請(qǐng)指出并求出其相應(yīng)的長(zhǎng)度；(2)設(shè)PH=x,GP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出自變量x的取值范圍;(3)如果PGH為等

12、腰三角形,試求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng).El從三角恁的內(nèi)切型讖起【例題求解】倒130設(shè)jIDfj,那么處尸=3口=才/產(chǎn)=£芷.月£>打0-3.工十箝+露*鑄.譚才三10例工蝎C發(fā)=費(fèi)二胎工NP/g?RC.例3連博AICF*DF.EF,/EDF=/C£F=*",/CFD=l的'一/,丹口=1融"一/口A=130CFA-/CFB.WDCF1例丁一£FD-/CDF=L&Q'-ZUFBZthTF+/BCF.洞4門(mén)?上鳳居心1M二連1心,假設(shè)上超唁=1和,那么UCL于是HCWL這號(hào)已加BC=1矛J61?義腎|44.6!&l

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