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1、正方形專題一正方形中的三垂直結(jié)構(gòu)一【知識(shí)精析】1等腰直角三角形的特征: 邊、角方面的特征:兩直角邊相等,兩銳角相等都是 450 邊之間的關(guān)系:任意一邊長(zhǎng),可得到其它兩邊長(zhǎng)。2、等腰直角三角形與全等三角形:以等腰直角三角形為背景的幾何問題中,常常包含全等三角形,發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下根本模型,對(duì)解決等腰直角三角形問題很有好處。1 以原等腰直角三角形的兩直角邊為對(duì)應(yīng)斜邊,必定可以構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形三垂直模型(1) (2) 2以原等腰直角三角形的兩直角邊為對(duì)應(yīng)直角邊,必定可以構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形:拓展:雙三垂直 ADMHA CBE為等腰直角三角形,F(xiàn)為A
2、B上一動(dòng)點(diǎn),假設(shè) DF丄EF那么DF=EF.2假設(shè) ADCD CBE為等腰直角三角形,F(xiàn)為AB上一動(dòng)點(diǎn),假設(shè) DF=EF那么DF丄EF.例1 如圖,在正方形 ABCD中.1假設(shè)點(diǎn)E、F分別在AB AD上,且AE=DF試判斷DE與CF的數(shù)量及位置關(guān)系,并說 明理由;2假設(shè)P、Q M N是正方形 ABCD各邊上的點(diǎn),PQ與MN相交,且 PQ=MN問PQL MN成 立嗎?為什么?A例2.如圖,直線 MN不與正方形的邊相交且經(jīng)過正方形 MN于 N, BRL MN于 R.1求證: ADMA DCN2求證:MN=AM+CN3試猜測(cè)BR與MN的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜測(cè).ABCD的頂點(diǎn) D, AM! MN于
3、M CNL0C例3如圖,四邊形 ABCD是正方形,直線l i, 12, 13分別通過A, B, C三點(diǎn),且l 1 / 12 / l 3,假設(shè)1 i與1 2的距離為5, 12與1 3的距離為7,那么正方形ABCD的面積等于C例4.如圖在平面直角坐標(biāo)系中正方形OABC的邊OC, OA分別在x軸正半軸上和y軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)B a,b在第四象限且滿足 b a 22 a 2 .1求點(diǎn)B的坐標(biāo);2,E,F為OC,OA上的動(dòng)點(diǎn),連接 BE , CF交于M點(diǎn),滿足/ OEF=45 °,是否存在點(diǎn)E,F,使得BE丄CF?假設(shè)存在,求出 E,F的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由;3F在線段 OA上,連 BF
4、,作OM丄BF于M , AN丄BF于N,當(dāng)F在線段 OA上運(yùn)動(dòng) 時(shí)不與O、A重合,的值是否變化假設(shè)變化,求出變化的范圍;假設(shè)不變,求BN其值.EC、0J JTFA片例5如圖,直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)Aa, 0,交y軸正半軸于點(diǎn) B0, b,且a滿足 a 4 + |4 - b|=01求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);2D為OA的中點(diǎn),連接 BD過點(diǎn)O作OE! BD于F,交AB于E,求證/ BDOM EDA3如圖,P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn), 線MA交y軸于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí): 值;假設(shè)變化,求線段 OQ的取值范圍.以 BP為邊作等腰 Rt PBM 其中PB=PM直線段OQ的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?假設(shè)不變,求其
5、例題6、1如圖,在正方形 ABCD中,E是AD的中點(diǎn),BD與CE交于F點(diǎn),求證:AF 丄 BE。2、正方形 ABCD中,M是AB的中點(diǎn),E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),MN丄DM且交/ CBE 的平分線于N。1求證:MD = MN ;2假設(shè)將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)改為“M是AB上任意一點(diǎn),其余條件不變,那么結(jié)論“MD= MN還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由。第1題圖第2題圖1第2題圖2例7、如圖,正方形ABCD中,AC是對(duì)角線,今有較大的直角三角板,一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B ,直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng),另一邊交 DC于Q.1如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí),猜測(cè)并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)
6、系;并加以證明;2如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí),猜測(cè)并寫出 PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)證 明你的猜測(cè).例8.如圖1,四邊形ABCD為正方形,E在CD上,/ DAE的平分線交 CD于F, BG丄AF 于G ,交AE于H .1如圖 1,Z DEA=60,求證:AH=DF ;2如圖2, E是線段CD上不與C、D重合任一點(diǎn),請(qǐng)問:AH與DF有何數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論;3如圖3, E是線段DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),假設(shè) F是厶ADE中與/ DAE相鄰的外角平分線 與CD的交點(diǎn),其它條件不變,請(qǐng)判斷 AH與DF的數(shù)量關(guān)系畫圖,直接寫出結(jié)論,不需 證明.例9.操作,將一把含45°的直三角尺放在邊長(zhǎng)
7、為 1的正方形ABCDh,并使它的直角頂點(diǎn) P在對(duì)角線AC上滑行,直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線 DC相交于點(diǎn)Q。探究:設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x。1當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí),線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系?試證明你觀察得到的 結(jié)論;2當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí),設(shè)四邊形 PBCQ的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。X值;如果不可能,請(qǐng)說明理由3當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑行時(shí), PCQ是否可能成為等腰三角形,如果可能,指出所有能使 PCQ成為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置,并求出相應(yīng)的題目中的圖形形狀大小都相同,供操作用課堂練習(xí)1、如圖,在正方形 ABCD中,E是AD的中點(diǎn),BD與CE交于F點(diǎn),求證:AF丄B
8、E。2、正方形 ABCD中,M是AB的中點(diǎn),E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),MN丄DM且交/ CBE 的平分線于N。1求證:MD = MN ;2假設(shè)將上述條件中的 “M是AB的中點(diǎn)改為“M是AB上任意一點(diǎn),其余條件不變,那么結(jié)論“MD= MN還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由。第1題圖第2題圖1第2題圖23、如圖,ABCD是正方形,P是對(duì)角線上的一點(diǎn), 引PE丄BC于E, PF丄DC于F。求證:1AP = EF; 2AP 丄EF。4、如圖1,在正方形 ABCD中,E、F分別是邊 AD、DC上的點(diǎn),且 AF丄BE.1求證:AF=BE;2如圖2,在正方形 ABCD中,M、N、P、Q分別是邊 AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),且MP丄NQ . MP與NQ是否相等?并說明理由.5、如圖,正方形 ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) 0,E是AC上一點(diǎn),過A作AG丄EB于G , AG交BD于點(diǎn)F,那么0E = OF,對(duì)上述命題,假設(shè)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,AG丄EB,“0E交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G , AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,
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