橢圓的解題方法和技巧

1、橢圓的解題方法和技巧安徽省宿州市褚蘭中學 海平一、橢圓的定義的應用橢圓的定義是用橢圓上的點到焦點的距離來描述的， 因此在解題中凡 涉及曲線上的點到焦點的距離時，應先想到用定義求解，常會有事半 功倍之效。例1 口欽；的三邊也、c成等差數(shù)列且滿足兩點的坐標分別是。求頂點*的軌跡。分析：數(shù)列與解析幾何相聯(lián)系，往往構成綜合性較大的題目，歷來 是高考考查的熱點之一。解析：丁儀、血、亡成等差數(shù)列，二笳=，即刀占匚卜屈+阻| ,又|旳=2,.|血田網(wǎng)=4。a d根據(jù)橢圓的定義，易得點的軌跡方程為二。又匕，即|眈| = |朋|,.一忖；“心心。 ,OH h _ 故點占的軌跡是橢圓的一半，方程為4 了 兀小。又

2、當“-三時, 點£、2?、在同一條直線上，不能構成三角形，.。=1點的軌跡方程為三_八丨'' -1：。評注：該例是先由條件找到動點所滿足的幾何關系， 尋找出滿足橢 圓定義的條件，然后確定橢圓的方程。解題時，易忽略這一條件, 因此易漏掉這一限制；由于、丄、三點構成三角形，故應剔 除使-、廠、共線的點:。例2、橢圓16 12 上一點尸到兩焦點用、也的距離之差為2,試判 斷吐FF屈的形狀。分析：由橢圓定義知，I尸用與尸碼I的和為定值，且二者之差為題設條 件，故可求出2F邑的兩邊。解析：由I環(huán)兩R兩兩匸，解得11 = 5411 = 3。又I開"，故滿足|礙J朋肉。.

3、 AF耳忑為直角三角形。三、利用向量解決橢圓問題 幾何中突出向量的工具作用成為高考命題的新亮點，向量本身具有“數(shù)與“形的雙重身份，常把向量的代數(shù)式轉化為坐標表示或利用其幾何關系求解.例4、最值問題2設橢圓方程為X2 乂 1,過點M 0,1的直線I交橢圓于A B兩點，O是坐標原點,4點P滿足OP -(OA OB),點N的坐標為(-,丄).當I繞點M旋轉時，2 2 2求：1動點P的軌跡方程；2 | NP |的最大值與最小值.解析：1直線I過點M 0,1 ,當斜率存在時，設其斜率為k,那么I的方程為y kx 1.記A(X1, y1), B(X2, y2),kx 1x2I 1,得(4k2)x242kx

4、 30,所以2k4 k2y1y284 k2(4呂,k?)那么 OP 1(OA OB) (3,3)2 2 2設點P的坐標為X, y,貝V,消去k得4x2 y2 y 0.當斜率不存在時，AB的中點為原點 0,0，也滿足上述方程所以點P的軌跡方程為4x2 y2 y 0.2由點P的軌跡方程知x2丄，即71216所以 |NP|2 (x £)2 (y )23(x )22 2 6故當x1時，|NP|取得最大值為 J?2(0 1)2 啟 x)2 y2,2整理得y21(x0).32所以點C的軌跡方程為x y21(x0)3 ；6 6當x 1時，NP |取得最小值為1.44評注：由向量作為載體的解析幾何問

5、題一要利用向量的幾何意義，二要熟悉向量的坐標運算.而與橢圓有關的求最值問題那么常與求函數(shù) 的值域相聯(lián)系.例5、參數(shù)范圍問題點G是 ABC的重心，A0，1, B 0,1，在x軸上有一點M，滿足|MA I MC |，GM ABR.1求點C的軌跡方程；2假設斜率為k的直線I與點C的軌跡交于不同的兩點P、Q，且滿足| AP AQ|，試求k的取值解析：1設C(x, y)，G為ABC的重心，那么G(-律). p p3 3 因為 GM AB( R),所以 GM II AB,而點M在x軸上，貝V M (-,0)_r _r3由 |MA |MC |,得2當k 0時，I與橢圓C有兩個不同的交點P、Q,由橢圓的對稱性

6、知|AP| |AQ|.當k 0時，可設I的方程為y kX2代入1 y21,整理得，32 2 2 1 3k x 6kmx 3m10,因為直線I與橢圓交于不同的兩點， 所以即1 3k設 PX-|,(6 km)24(1 3k2)2 2 m0, *m,yi)，Qg, y2),3(m21)0,設 P(x1,y)那么 XiX2Q(X2, y2),6km k，X1X23(m21 3k2 那么PQ中點N(X0, y。)的坐標為X0 3km.巨，工kX0 又|AP AQ|,所以AN11 3k23km1 3k2所以k kANkXiX22mIkJ，PQ,1,得 1 3k2得m 2所以k 1,0代入*得k21,U 0

7、,1 .綜合得，k的取值范圍 是1,1 評注：解決參數(shù)的取值范圍問題常用的方法有兩種：不等式組求解法：根據(jù)題意結合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式組，通過解不等式組得出參數(shù)的取值范圍；函數(shù)值域求解法：把所討論 的參數(shù)表示為有關某個變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求參數(shù)的變 化范圍.評注：由橢圓上一點與兩個焦點構成的三角形，稱作焦點三角形。利用焦點三角形能有意識地考查定義、三角形正余弦定理、內角 和定理及面積公式能否靈活運用。二、利用待定系數(shù)法確定橢圓的標準方程。例3、橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點rJ6,i,巳73,72,求橢圓的方程.【解析】設橢圓方程為 mx* 2 ny2 1m >0,n >0 且 mn.T橢圓經(jīng)過R , P2點，.R , P2點坐標適合橢圓方程，那么6m+n=1，3m+2n=1，兩式聯(lián)立，解得 m=丄，n=-.932 2二所求橢圓方程為-J 193評注：運用待定系數(shù)