模型參考自適應(yīng)控制

1、第九章 模型參考自適應(yīng)控制(Model Reference AdaptiveControl )簡稱 MRAC介紹另一類比擬成功的自適應(yīng)控制系統(tǒng)，已有較完整的設(shè)計(jì)理 論和豐富的應(yīng)用成果(駕駛儀、航天、電傳動(dòng)、核反響堆等等)。§ 91 MRAC的根本概念系統(tǒng)包含一個(gè)參考模型，模型動(dòng)態(tài)表征了對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的理想要求，MRAC力求使被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與模型的響應(yīng)相一致。與STR不同之處是MRAC沒有明顯的辨識局部，而是通過與參考模型的比擬，發(fā)覺被控對象特性的變化，具有跟蹤迅速的突出優(yōu)點(diǎn)。 設(shè)參考模型的方程為*Xm AmXm Br式(9-1-1)ym = CXm式(9-1-2)被控系統(tǒng)的方程為

2、XsAsBsr式(9-1-3)ys - CXs式(9-1-4) 兩者動(dòng)態(tài)響應(yīng)的比擬結(jié)果稱為廣義誤差，定義輸出廣義誤差為e = ym -ys式(9-1-5)；狀態(tài)廣義誤差為:=X m s式(9-1-6)。自適應(yīng)控制的目標(biāo)是使得某個(gè)與廣義誤差有關(guān)的自適應(yīng)控制性能指 標(biāo)J到達(dá)最小。J可有不同的定義，例如單輸出系統(tǒng)的式(9-1-7)J ；e2( )d或多輸出系統(tǒng)的t TJ 二eT( )e( )d0式(9-1-8)MRAC的設(shè)計(jì)方法目的是得出自適應(yīng)控制率，即溝通廣義誤差 與被控系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)間關(guān)系的算式。有兩類設(shè)計(jì)方法：一類是“局部 參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，目標(biāo)是使得性能指標(biāo)J到達(dá)最優(yōu)化；另一類 是使得自適應(yīng)

3、控制系統(tǒng)能夠確保穩(wěn)定工作， 稱之為“穩(wěn)定性理論的設(shè) 計(jì)方法。§ 9 2局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法一、利用梯度法的局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法這里要用到非線性規(guī)劃最優(yōu)化算法中的一種最簡單的方法 梯度法(Gradient Method )。1. 梯度法考慮一元函數(shù)f(x)，當(dāng)：汀(x)/= 0，且f2 (x) / ； x2> 0時(shí)f(x)存在極小值。問題是怎樣調(diào)整x使得f (x)能 到達(dá)極小值？x有兩個(gè)調(diào)整方向：當(dāng)rf(x)/：x > 0時(shí)應(yīng)減小x ;當(dāng)rf(x)/：x < 0時(shí) 應(yīng)增加x。兩者合并表示為：f(X)式(9-2-1)為步長系數(shù)( > 0 )。把函數(shù)f(x)

4、在x方向的偏導(dǎo)數(shù)稱為梯度。上式含義為：按照梯度的負(fù)方向調(diào)整自變量x。該結(jié)論可推廣到多元函數(shù)求極值的情況。2 .具有一個(gè)時(shí)變參數(shù)一一可調(diào)增益的 MRAC設(shè)計(jì)(MIT方案)1958年由麻省理工學(xué)院提出。參考模型傳函為y m ( S )_Kmq ( S)r(s)p(s)式中：q(s) = b isn-1+ + bn ;p(s) = s +ais + an廣義誤差為e = ym -ys性能指標(biāo)為：式(9-1-7)。系統(tǒng)的可調(diào)增益為Kc,目標(biāo)是設(shè)計(jì)出隨著e而調(diào)整Kc的規(guī)律，以使J到達(dá)最小。J對Kc的梯度為2eto由梯度法有:t0將上式兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，得到e式(9-2-2)Kc =2 ec廣義誤差對輸入信

5、號的傳函為W(s)=譽(yù)r(s)ym(s)- ys(s)r(s)(Km-KcKs)q(s)p(s)自適應(yīng)回路開環(huán)情況下系統(tǒng)傳函為引入微分算子：D = d/dt、D2 = d2 / dt2，由上式得到微分方程:P(D) e(t) = ( Km - KcK)q(D) r(t)兩端對Kc求偏導(dǎo)數(shù)P(D)KcKsq(D)r得到式(9-2-3)q(D)KcP(D)由模型的微分方程：p(D) ym (t) = Kmq(D) r(t)得到q(D)ym代入式(9-2-3)，得出：P(D)rKmeKsKcKmym代入式(9-2-2)，得出K c 二 Bey m式9-2-4其中：B = 2 Ks / Km ,當(dāng)Ks

6、與Km同號時(shí)B為正值常系數(shù)，即自適 應(yīng)回路的積分時(shí)間常數(shù)。實(shí)現(xiàn)的方案如下列圖，自適應(yīng)回路由乘法器與 積分器組成。該方案能夠使得J為最小，但是不能確保自適應(yīng)回路是 穩(wěn)定的。需要通過調(diào)整 B的大小，使得系統(tǒng)穩(wěn)定且自適應(yīng)跟蹤速度也比擬快。MIT方案應(yīng)用舉例：二階電傳動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)控制馬潤津等 可控硅電傳動(dòng)模型參考自適應(yīng)控制“自動(dòng)化學(xué)報(bào)1979。第實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖§ 9 3基于李雅普諾夫第二方法穩(wěn)定性理論的MRAC設(shè)計(jì)方法1.關(guān)于李雅普諾夫Liaupunov穩(wěn)定性的第二方法是關(guān)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)無論線性或者非線性穩(wěn)定性分析的理論，特點(diǎn)是不需要求微分方程的解，而是直接根據(jù)某個(gè)特定的函數(shù)李雅 普諾

7、夫函數(shù)對時(shí)間的變化率來判斷其穩(wěn)定性，因此又稱直接法。它 特別適用于非線性、線性時(shí)變或多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。a 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性對于以狀態(tài)方程X= fX,t 且 f0,t=0 vt 式9-3-1 描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如果存在一個(gè)對時(shí)間連續(xù)可微的純量函數(shù)VX, t ，滿足以下條件：1V X, t 正定；2V沿方程式9-3-1 解的軌跡對時(shí)間 的一階偏導(dǎo)數(shù)V存在，且為負(fù)半定或負(fù)定，那么稱VX, t 為李雅 普諾夫函數(shù)，且系統(tǒng)式8-3-1 對于狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn) X=0為李 雅普諾夫意義下的穩(wěn)定或漸進(jìn)穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)的幾何意義可以理解為：VX表示狀態(tài)空間原點(diǎn)到狀態(tài)X的距離的量度，如果其原點(diǎn)

8、到瞬時(shí)狀態(tài)Xt間的距離隨著 t的增長而不斷減小那么系統(tǒng)穩(wěn)定，Vt對時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于 Xt 接近原點(diǎn)的速度。李雅普諾夫函數(shù)的物理意義可以理解為：一個(gè)振動(dòng)著的力學(xué)系統(tǒng)，如果振動(dòng)的蓄能不斷衰減，那么隨著時(shí)間增長系統(tǒng)將穩(wěn)定于平衡狀態(tài)，而李雅普諾夫函數(shù)實(shí)質(zhì)上可視為一個(gè)虛擬的能量函數(shù)。b用李雅普諾夫第二方法分析線性定長系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定長系統(tǒng)式 9-3-2可取一個(gè)正定的純量函數(shù)V(X)二 XTP X式9-3-3其中P為正定的實(shí)對稱矩陣。V沿式9-3-2的軌線的一階導(dǎo)數(shù)為:V(X)二 X PX XTP X - (AX )T PX XTPAX 二 二 Xt(AtP PA)X XtQ x其中q與P滿足線性

9、代數(shù)方程稱李雅普諾夫方程At P PA Q式9-3-4如果Q是正定矩陣，那么VX的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，VX是李雅普諾夫函數(shù)，系統(tǒng)式9-3-2對于平衡狀態(tài)X=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的2 .應(yīng)用李雅普諾夫第二方法設(shè)計(jì)可調(diào)增益的 MRACKmr$汕咖>-/Xk-?JKsA5沏心參考模型狀態(tài)方程X A Xm Bm r ym 一 C X m式9-3-5其中:系統(tǒng)狀態(tài)方程_KC= 1 01X A X s Bs r c x s式9-3-6Bs0Ks定義廣義誤差A(yù)A_ele = y m "ys ;XmX s = 1 1.e令E = Km - Ks ,由式9-3-5 和式9-3-6得出廣義狀態(tài)誤差方程二 A

10、 B r式9-3-7其中 B = 0, E T為了保證MRAC系統(tǒng)穩(wěn)定，要找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) V。 試取純量函數(shù)V二 T p ； + e 2式9-3-8其中P為正定實(shí)對稱陣，顯然V也是正定的。求V沿式9-3-7 的軌線對t求導(dǎo)數(shù)dV/dt 二；P； 2 EE將式9-3-7 代入上式，有dV/dt = tA+ B TrP : + TPA +Br+2 EE=tA t P ；+ tPA + B t r P ；+ TPBr + 2 E E=t(A TP + PA)；+2TPBr + 2 EE 式( 9-3-9 )為保證dV/dt負(fù)定，須使二次型 J(A TP+PA)g負(fù)定，且后兩項(xiàng)之 禾口為零。由

11、于A為穩(wěn)定矩陣，方陣(A tP+PA)肯定是負(fù)定的。由式(9-3-9)的后兩項(xiàng)之和為零的條件，得出：2 EE 二 2TPBr* s T P B r式(9-3-10)由于E 二九 ETr! - P1P21101g PB ="2 12P22上一=C1R2 + 名2P2)E所以E= - 1(R2 十 P2 s2)r(t)扎由E = Km - Ks (t),得到自適應(yīng)控制律:Ks 二 1 (R2p2 2)廠(Co e C1 e) r扎其中：Co = P 12 /, C 1 = P 2 /,或與成:t式(9-3-11)Ks = (Co e C1 e) r(t) d Ksoto按照上式實(shí)施控制，

12、能夠保證V；是正定而dV/dt是負(fù)定的，即V；是李雅普諾夫函數(shù)，自適應(yīng)系統(tǒng)對于；二0的平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的，也就是當(dāng)t > :時(shí)；?0。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下列圖：3. 應(yīng)用舉例：直流電傳動(dòng)自適應(yīng)控制可控硅直流調(diào)速系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，設(shè)二=t1 + t2,可簡化為開環(huán)總增益 Ks = Ki K2 / C e i為時(shí)變且可調(diào)參考模型狀態(tài)方程為_ - 11|Xm1 丨0 0I IJ rxd 1-1 I Xm2 J L1J-cr式 9-3-12被控系統(tǒng)狀態(tài)方程為X 0 S丨丨x o |孕|= |： .-|XsV l r1X sd I-1 XS2丄式 9-3-13可見As和Bs中僅a12二Ks/二一個(gè)元素是

13、時(shí)變的。為了設(shè)計(jì)出比擬簡單的自適應(yīng)線路，選擇正半定的 Q陣001b由李雅普諾夫方程At P PA Q式9-3-4解出:由于匚 0 ,所以P陣是正定的，將P代入As的第aj元素的自適應(yīng)調(diào)整律1g廠 J(P * xS)ijd Sj(P xS)q fij to得到比例一一積分型的自適應(yīng)律1 t凸 a 12='XS2d T + S12 名 1' X s 2 rl2 to而a12 = K s (t) /匚，那么有r12 to(1Xs2)dS12 ( 1 X S2 )其中的Xs2雖然不能從系統(tǒng)中直接測量，但是可由以下關(guān)系式XS2一 Usf1匚S很容易重構(gòu)，得出Xs2的估計(jì)量。下列圖示出了可

14、控硅電傳動(dòng) MRAC實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的簡化原理圖:實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下列圖，被控系統(tǒng)開環(huán)增益 K°=3.4Km ,參加自適應(yīng)控制后，能夠自動(dòng)調(diào)整 Ks使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與參考模比尸b十柵睡廬一卻2恵應(yīng)一型的一致。§ 9 4基于超穩(wěn)定理論的 MRAC設(shè)計(jì)方法超穩(wěn)定理論最初由波波夫在研究非線性系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性時(shí)提出 的，該理論對研究非線性時(shí)變反響的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有用途， 特別是等將超穩(wěn)定理論用于 MRAC系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，取得良 好效果。本節(jié)僅就其根本概念和主要結(jié)果作一些簡要介紹。一、關(guān)于超穩(wěn)定性理論的根本概念1.直觀概念先從簡單的直觀概念出發(fā)，體會(huì)穩(wěn)定性的含義。討論一個(gè)由線性定常的正向通道和非

15、線性時(shí)變的反響通道組成的單輸入 單輸 出閉環(huán)系統(tǒng)見下列圖。如果該閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足以下兩個(gè)條件：a線性定常的正向通道動(dòng)態(tài)性能等價(jià)于一個(gè)無源網(wǎng)絡(luò)；b非線性反響通道為正向通道提供的總能量 系統(tǒng)儲(chǔ)能是有限的, 那么該系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。由網(wǎng)絡(luò)理論，以上的條件a等價(jià)于傳遞函數(shù)Zs二ys/us是正實(shí)函數(shù)；條件b可以用以下積分不等式來表示:T2J u(t) y(t) dt 式(9-4-1)0其中：T > 0,6為某一有限值的常數(shù)。2. 關(guān)于正實(shí)和嚴(yán)格正實(shí)函數(shù)函數(shù)的正實(shí)性概念是從網(wǎng)絡(luò)分析中引申來的，數(shù)學(xué)的正實(shí)函數(shù)概 念上與物理的無源網(wǎng)絡(luò)相關(guān)。無源網(wǎng)絡(luò)能量的非負(fù)性，其傳遞函數(shù)是 正實(shí)的。Z (s)是正實(shí)函數(shù)

16、的定義是：(1) s為實(shí)數(shù)時(shí)Z (s)也為實(shí)數(shù)；(2) Z(s)無右半開平面的極點(diǎn)；(3)對于任意實(shí)的，(-：<<：)有 Re Z(j ) 一0。如果上述條件(2)改為Z(s)無右半閉平面的極點(diǎn)；(3)改為Re Z (j ) >0 ,那么函數(shù)Z(s)是嚴(yán)格正實(shí)函數(shù)。正實(shí)和嚴(yán)格正實(shí)傳遞函數(shù)有以下特點(diǎn)：(1) 嚴(yán)格正實(shí)傳遞函數(shù)對于-> 0的乃奎斯特圖的矢端曲線完 全在第四象限內(nèi)(正實(shí)傳遞函數(shù)的乃氏圖可能與虛軸相切) ，即輸出 對輸入的相位滯后不超過900 ;(2) 如果Z(s)正實(shí)，貝卩1/Z(s)、Z (1/s)和c Z (s)也正實(shí)(c 為大于零的常數(shù))；(3) 如果Z

17、1(s)和Z1 (s)正實(shí)，那么它們的串聯(lián)Z1(s) Z 1(s)、 并聯(lián) 乙(s)+Z 1 (s)和反響聯(lián)接如乙(s) / (1+ Z 1 (s) - Z 1 (s)均也正實(shí)。3. 關(guān)于超穩(wěn)定 (Hyperstable )和漸進(jìn)超穩(wěn)定 (Asymptotically Hyperstable ) 的定義：考慮一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)X = AX + B U式(8-4-2)Y 二 C X式(8-4-3)其中U和丫分別為m維的輸入和輸出量，U為有界函數(shù)，且它的拉 氏變換存在；X為n維狀態(tài)向量，假定該系統(tǒng)是某一傳遞函數(shù)矩陣Z(s)的最小實(shí)現(xiàn)Z(s) = C (sI- A)-1B超穩(wěn)定的定義是：如果對于任

18、何 T > 0，輸入和輸出向量滿足TJUT(t) 丫(t) d-62式(8-4-4)0(6 >0的常數(shù))必有以X(0)為初始狀態(tài)的解X(t)滿足IIX(t) II 乞K ( IIX(t) 11+)式(8-4-5)(K> 0的常數(shù))，那么稱平衡點(diǎn)X = 0是超穩(wěn)定的，簡稱為系統(tǒng)是超穩(wěn) 定的。式中的IIX II表示向量X的模(長度)。如果超穩(wěn)定的系統(tǒng)對于U(t)的任意解X(t)(在任意初始狀態(tài)下) 都有式(8-4-6)lim xt= o那么平衡點(diǎn)X = 0稱為漸進(jìn)超穩(wěn)定的，或簡稱系統(tǒng)是漸進(jìn)超穩(wěn)定的不等式Tu(t) y(t) dt式8-4-1被稱為波波夫不等式，其意義可理解為：系統(tǒng)從 0到T時(shí)刻的儲(chǔ)能 是有界的。這種情況下超穩(wěn)定意味著狀態(tài)的變化被局限在X = 0附近。式8-4-4 的積分與李雅普諾夫穩(wěn)定性理論中的李雅普諾夫函 數(shù)V的作用相類似。4. 關(guān)于超穩(wěn)定性的定理定理系統(tǒng)式8-4-2和式8-4-3 是漸進(jìn)超穩(wěn)定的充要條 件是傳遞函數(shù)矩陣Zs 是嚴(yán)格正實(shí)矩陣。、用超穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)MRAC系統(tǒng)思路是先將自適應(yīng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)