Heegaard分解的邊界穩(wěn)定化和纜繩結(jié)的洞數(shù)

1、Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化和纜繩結(jié)的洞數(shù)給定緊致三維流形的一個(gè)Heegaard 分解 ,Hempel 定義了距離的概念來(lái)刻畫(huà)它的復(fù)雜性 . 首先對(duì)于虧格至少為2 的閉曲面上的兩條本質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線,Hempel定義它們之間的距離為連接它們的相鄰不相交的本質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線的最少個(gè)數(shù)加1. 然后 Hempel定義一個(gè) Heegaard 分解 (1 (2 的距離為 (1 中界定本質(zhì)圓盤(pán)的所有簡(jiǎn)單閉曲線與 (2 中界定本質(zhì)圓盤(pán)的所有簡(jiǎn)單閉曲線在 Heegaard 曲面上的距離的最小值 . 這里我們假定的虧格至少為 2. 對(duì)于距離至少為 2 的 Heegaard 分解 , 我們可以定義局部復(fù)雜的概念 .

2、 一個(gè)距離至少為 2 的 Heegaard 分解 (1 (2 稱(chēng)為局部復(fù)雜的 , 如果在這個(gè)實(shí)現(xiàn)距離的上的一族本質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線中 , 對(duì)于任意三個(gè)相鄰的閉曲線 , 兩端的曲線投影到沿中間曲線把曲面剪開(kāi)得到的子曲面上的距離充分大 . 本文研究的第一個(gè)問(wèn)題是什么時(shí)候一個(gè)緊致三維流形的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是不可穩(wěn)定化的 .Zou-Guo-Qiu 證明了距離至少為 6 的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是不可穩(wěn)定化的 . 事實(shí)上 , 他們的下界可以改進(jìn)到 5. 由于存在距離為 2 的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是可穩(wěn)定化的 , 于是他們猜測(cè) 3 是最好的下界 .這里我們?cè)诩恿?/p>

3、一個(gè)條件的情況下肯定了他們的猜測(cè): 距離至少為 3 的局部復(fù)雜的 Heegaard 分解的邊界穩(wěn)定化是不可穩(wěn)定化的( 定理 3.1). 已有一些結(jié)果保證了局部復(fù)雜的 Heegaard 分解的存在性 .Qiu-Zou-Guo 構(gòu)造了無(wú)窮多個(gè)距離至少為4的 Heegaard 分解 . 事實(shí)上 , 他們的例子是局部復(fù)雜的Heegaard 分解 .Zhang-Qiu-Zou 對(duì)距離為 2 和 3 的情形構(gòu)造了無(wú)窮多個(gè)類(lèi)似的例子. 因此存在無(wú)窮多個(gè)距離至少為3 的局部復(fù)雜的 Heegaard分解 . 本文研究的另一個(gè)問(wèn)題是纜繩結(jié)和它的伴隨結(jié)的洞數(shù)之間的關(guān)系. 一個(gè)三維球面 3 中的紐結(jié)的洞數(shù)等于它在 3 中的補(bǔ)的 Heegaard 虧格減 1. 通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的觀察 , 我們知道纜繩結(jié)的洞數(shù)不超過(guò)它的伴隨結(jié)的洞數(shù)加1. 在伴隨結(jié)的洞數(shù)是 1 時(shí),Moriah 證明了纜繩結(jié)的洞數(shù)可以達(dá)到這個(gè)上界 . 這里我們首先證明了纜繩結(jié)的洞數(shù)不小于它的伴隨結(jié)的洞數(shù)( 定理4.1).于是一個(gè)纜繩結(jié)的洞數(shù)等于它的伴隨結(jié)的洞數(shù)或其加1. 接下去我們給出了纜繩結(jié)的洞數(shù)等于它的伴隨結(jié)的洞數(shù)加1 的兩個(gè)充分條件: 一個(gè)要求伴隨結(jié)是高距離的 ; 另一個(gè)要求纜繩結(jié)的構(gòu)造中粘貼映射充分復(fù)雜, 即粘貼斜度