算符函數(shù)及其應(yīng)用介紹

1、算符函數(shù)及其應(yīng)用物理與能源學(xué)院物理學(xué)專業(yè)106012011017吳敬圣指導(dǎo)教師：林秀敏【摘要】由于微觀粒子具有波粒二象性，導(dǎo)致在量子力學(xué)中力學(xué)量必須用算符表示，因此研究算符函數(shù)具有重要意義。本文首先系統(tǒng)地闡述了算符、算符函數(shù)的定義及其在量子力學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用；接著基于算符代數(shù)的非對(duì)易特性，介紹算符和算符函數(shù)的幾個(gè)常用公式；然后以受外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的N個(gè)二能級(jí)原子與單膜腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)為例，說明如何利用算符函數(shù)對(duì)一個(gè)難以求出本征解的哈密頓量進(jìn)行變換和簡(jiǎn)化，從而得到能求出本征解的有效哈密頓量，以此說明算符函數(shù)在處理量子系統(tǒng)問題時(shí)的重要作用?！娟P(guān)鍵詞】算符；算符函數(shù)；哈密頓量1引言量子力學(xué)是描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)

2、律的一門學(xué)科。由于微觀粒子具有波粒二象性，所以在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)不能再采用與描述經(jīng)典粒子相同的方式去描述1,而必須用波函數(shù)描述。如果已知波函數(shù)的具體形式，那么粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率即可求出。同樣地，微觀粒子的波粒二象性也決定了量子力學(xué)中各力學(xué)量(如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量等)的性質(zhì)不同于經(jīng)典物理中的力學(xué)量2。經(jīng)典物理中各力學(xué)量在一切狀態(tài)下都具有確定值，但在量子力學(xué)中力學(xué)量可能有多種可能值，且力學(xué)量之間可能存在相互制約關(guān)系，如坐標(biāo)和動(dòng)量就不可能同時(shí)具有確定值。因此，量子力學(xué)中力學(xué)量的描述方式與經(jīng)典方式不同，必須采用算符方式描述3-5o算符代數(shù)與普通代數(shù)之間的最大區(qū)別在于：算符的順序是有意義

3、的，而普通代數(shù)的順序無關(guān)緊要，這一點(diǎn)使算符代數(shù)有著許多不同的運(yùn)算性質(zhì)6-8。力學(xué)量在量子力學(xué)中是用算符表示的，往往是算符函數(shù)。因此，量子理論必須采用非對(duì)易代數(shù)來處理有關(guān)問題。眾所周知，無論在量子光學(xué)還是在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、量子信息學(xué)中，往往需要求解哈密頓量的本征解，其體系的哈密頓量往往比較復(fù)雜，很難用解析的方法求出其本征解。但如果利用算符函數(shù)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，那么就可以求解簡(jiǎn)化形式的近似解。如對(duì)大多數(shù)實(shí)際量子體系，其哈密頓算符本征值往往難以求解，我們必須借助算符函數(shù)對(duì)該哈密頓算符進(jìn)行變換和化簡(jiǎn)，得到可以求解出本征值的有效哈密頓量。前人對(duì)于算符已經(jīng)進(jìn)行了許多討論，例如算符的運(yùn)算9、量子態(tài)的疊加性質(zhì)

4、10、力學(xué)量與算符的關(guān)系11等等。同時(shí)，已有許多文獻(xiàn)在具體求解時(shí)使用了算符函數(shù)12-14。因此，系統(tǒng)探討算符函數(shù)及其應(yīng)用對(duì)處理量子系統(tǒng)實(shí)際問題具有重要的意義。為了更好地體現(xiàn)算符函數(shù)在處理實(shí)際量子問題的重要作用，本文就利用一個(gè)具體的例子，詳細(xì)闡述如何利用算符函數(shù)求解量子系統(tǒng)問題。2算符2.1 算符所謂算符，就是使問題從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)的手段15-16o從數(shù)學(xué)上看，算符被定義為由一個(gè)函數(shù)集向另一個(gè)函數(shù)集的映射，即指作用在一個(gè)函數(shù)上得到另一函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)，其單獨(dú)存在時(shí)并沒有什么意義。如微分算符9作用在函數(shù)u(x)上就代表對(duì)u(x)的求微分運(yùn)算，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為電區(qū)。dxdx2.2 量子力學(xué)中的

5、力學(xué)量算符及其運(yùn)算規(guī)則由于微觀粒子具有波粒二象性，導(dǎo)致在量子力學(xué)中引入算符來表示微觀粒子的力學(xué)量。眾所周知，量子力學(xué)中描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)必須滿足線性迭加原理(或態(tài)迭加原理)，因此量子力學(xué)中的力學(xué)量算符必為線性厄米算符，即力學(xué)量算符F?必須滿足:F?(c1u1c2u2)=c1F?u1c2FU2其中Ui與U2是任意波函數(shù)，C1與C2是任意的兩個(gè)常數(shù)(一般為復(fù)數(shù))。對(duì)于有經(jīng)典對(duì)應(yīng)量的力學(xué)量其相應(yīng)算符目的構(gòu)成規(guī)則如下：只要把其經(jīng)典表達(dá)式F(*p)中的r用坐標(biāo)算符r?代I替，p用動(dòng)量算符？代替，即百(?？)。在量子力學(xué)中，微觀體系的狀態(tài)(波函數(shù)或態(tài)矢)和力學(xué)量的具體表達(dá)形式稱為表象。在不同表象中，算符

6、的具體形式是不同的。如在以坐標(biāo)為自變量的坐標(biāo)表象中，坐標(biāo)算符？就是坐標(biāo)本身，即？,動(dòng)量算符為p-樸；在以動(dòng)量為自變量的動(dòng)量表象中，動(dòng)量算符？就是動(dòng)量本身，即p=p,坐標(biāo)算符為?=麻小量子力學(xué)中可以有無窮多種的表象。在實(shí)際應(yīng)用中p采用哪一種表象常常取決于所研究物理問題的具體特性，方便于數(shù)學(xué)求解或?qū)τ谖锢韴D象的理解。2.3 算符函數(shù)設(shè)給定一個(gè)函數(shù) F(x),其各階導(dǎo)數(shù)均存在，哥級(jí)數(shù)展開收斂,F(x)=一n =0F(n)(0)n!,則可以定義3算符A的函數(shù)f(A)為(2)F(A)1ZAn.nmn!例如，F(xiàn)(x)=eax,可定義da-二andnF()二edxca-M.dxn/n!dx.兩個(gè)或多個(gè)算符的

7、函數(shù)也可以類似定義。例如，令.n二m(4)F(m，n)(x,y)=F(x,y).二x二y2.4 算符函數(shù)的若干常用公式下面介紹幾種常用的算符函數(shù)公式：1 .定義對(duì)易式A,B三A?-BA,對(duì)易式滿足下列代數(shù)恒等式：尺囪=以A,KR+C=A,囪+A©,RBC=BRCA國(guó)C巡(?*(?+M6,A,B,C由&AC,A?,B=0.2 .BakerHausdoff定理：如果兩個(gè)非對(duì)易算符A?,?滿足則有(6)冏區(qū)?卜眄及見=0,e.eVe-?gLeVe2?gl3 .如果函數(shù)f(a,a1可展開為a和a+的哥級(jí)數(shù)，其中，產(chǎn)生算符a+和湮滅算符a滿足對(duì)易關(guān)系a,a=1,則有:f(8)a,f(a

8、,a)=-fa,f(a,a)=.(9)-ca4 .如果f(a,a4)可展開為哥級(jí)數(shù)，則有xaa-xaa-xeae=ae,(10)xaa.xaa'xeae=ae,(11)xaaxaaXXef(a,a)e=f(ae,ae).(12)5 .對(duì)于玻色算符a和a+,以下關(guān)系式成立_xa_.xaeae=a+,x(13)7axaeae=a+x.(14)3算符函數(shù)的應(yīng)用既然力學(xué)量算符都是算符函數(shù)，因此算符函數(shù)在處理量子問題時(shí)尤其在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、量子光學(xué)和量子信息學(xué)中應(yīng)用很廣泛。如對(duì)大多數(shù)實(shí)際量子體系，其哈密頓算符本征值問題往往難以求解，我們必須借助算符函數(shù)對(duì)該哈密頓算符進(jìn)行變換和化簡(jiǎn)，得到可求出

9、本征解的有效哈密頓量。下面我們以N個(gè)二能級(jí)原子與一個(gè)單膜腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)為例17,來說明算符函數(shù)在簡(jiǎn)化體系哈密頓量中的重要作用。如圖1所示，一個(gè)單膜腔場(chǎng)（頻率為缶）和N個(gè)二能級(jí)原子（躍遷頻率為0cl）相互作用系統(tǒng)，原子受外部經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)（頻率為劭），則系統(tǒng)哈密頓量為：M卅NH=方”2。：巴+兒園*a+芯2，""號(hào)；+"q）+館£口+仃產(chǎn)），（15）圖1外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的N個(gè)二能級(jí)原子與單膜腔場(chǎng)的相互作用(24)5其中16和gj分別表示第j個(gè)原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài)，a+和a分別是腔模的產(chǎn)生和湮滅算符，g和建分別是腔模與原子間的耦合常數(shù)和驅(qū)動(dòng)場(chǎng)與原子間的耦合系數(shù)，原子下

10、降算符Oj=|gj）（ej,原子上N升算符仃）=ej）（gj,（15）式左邊第一項(xiàng)力切金仃聲表示N個(gè)原子能量，第二項(xiàng)力coa*a表示腔場(chǎng)能-j1NN量，第三項(xiàng)力e3。：十浮巴）表示驅(qū)動(dòng)場(chǎng)與原子間相互作用能，第四項(xiàng)hgZ3%+%2+）表示j1jT原子與腔場(chǎng)間相互作用能。在真實(shí)情況下，腔場(chǎng)與原子的相互作用還應(yīng)該包括它與損耗環(huán)境間的相互作用。但在這里，我們只考慮強(qiáng)耦合作用即g>k（k為耗散系數(shù)），這樣損耗可以被忽略。盡管如此，該哈密頓量的本征值仍很難求解。為得到量子態(tài)隨時(shí)間的演化情況，我們把該哈密頓量變換到以驅(qū)動(dòng)場(chǎng)頻率轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系中，即令NHo=力'二j力a，aj1(17)H=H0+H

11、',其中h二 j坦N川、(ej 4Nj二j_kLjj-aaa-/laaj4N(18)令 =6。一期，6 =6 劭，得:H，=扯Z 仃j" +力6a3+朧£ (e3Uj+ei聞仃j)+力.g£ (a/a+Oja4).(19)在以驅(qū)動(dòng)場(chǎng)頻率轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系中，算符H '變換為:L H H0tH- H0tH = e” He”Ni- C'；a a)t 二 e j 主拉£ 仃J&j + 於a，+力(et。j+ e*j)NN± Q' j? a a)t加 (二ja 二ja )ej 1(20)因?yàn)閞 +j 二j,二j'

12、;lTejXgj gjXej eXTj®仃+一、-j.gj gjej(21)這樣，利用泰勒級(jí)數(shù)展開,l三可 卜心中e 、- j e=bj+i6lt 一。2 .,*，,.(i lt)33!ji"粵丁等:丁山2!3!同理可得:一lt-；. j e lil，j：jt_ 上 l；j：jt_ q lte - je =- je(22)(23)用仃上+忠%)十力g£(aj4a+cFja+)j1由(10)和(11)式得i;-l.aat-4;-laat-4-;-'l.teae=ae,(25)eilaatae'laat=aeit將式(21)-(25)代入到(20)中，

13、得:NNNHL=於£QjGj十超23+檢Z(。:十')十力.g£(Oj7+cTja4).(26)jij=iji為了方便，我們令A(yù)=0,即驅(qū)動(dòng)場(chǎng)和原子躍遷共振。同時(shí)，我們定義:NH(L=haa'把''(二j，二j),j1NHiLt=hg£(ffja+CTja4).(27)ji則在相互作用繪景中，相互作用哈密頓量H變換為:I : HoLtHI=e：L 二 HoLtH e 11Hinte9口jlTgjXej( gj)(gj j,)( gj)(gj 給朝)gjej(30)(31)Oj j,J*：j j,5._二2!- j j, z3(-15

14、j- Cj,2j-27j 3! 5 二4!-j. , ；"-2三-2二z HINNi-aatiL八W)、a.atJ'.t.j:：)=ej-HieJ".(28)因?yàn)榛?+=gj)(ejj®-|ej)(gjgj)(6|=|gj)®-Xe(29)仃j'巴卜ej(gj(gj)(gj-ej)(ej)-(gj)(gj-ej)(ej)ej)(gj=2；-j,利用式（29）-（31）和泰勒級(jí)數(shù)展開，則二j.F,"-i'F二jz22!(i'Jt)2!.(iE)33!,4(-4: jz) .(8c j4 一8) |4!(2i E)2

15、2i'Jt -2!+*+噌訓(xùn)一1tM+2Q+歿五+4j 12!3!4!1(2i'Jt)2(2i'Jt)3(2i'Jt)4-az 1 +2iQt +、7 +v 7 +v / +42!3!4!_ 1二j I_2it -k22W42!3!4!+ 1 j-包J且*且以 J 4 j 12!3!4!.1 二z-且對(duì)4 IL2!3!4!12ii ti 1 上二/j (j) e ；jf(32)利用式(32)和e®'e=ae. ,e咫/aWa+e母，則式（28）變?yōu)镠I =朋、1(二j ,二j)，e2"" 1n -二j -j 丁 2 '

16、;4- J J J e'i建 1 "j 仃:仃z匕e'+H C.(33)H.C.代表復(fù)共軻。容易求得仃x=Oj+bj的本征態(tài)為|占=（gj注ej）/J2,對(duì)應(yīng)的本征值為±1O則式（33）可改寫為(jT)+(|+j)j>Mj+(j"e+4ei2建*j)j>M+j+(-j|)Y%)*-j)*(%一(-j|)-«+j)j)(+j-(-j|)+(|+j)+-j)x(+j+(-j|)ae書+j)+j)x+jj|)一(*j)j>M+j+(-j|)T|+j)-j>M+jY-jM+j>+hM(+j|+(-jHae"

17、+H.C.(34)化簡(jiǎn)后得到：廿二筆卜j）（+j一一jj|+ei2C（j（-j）一eWj+j|aeH(35)2jh-十券）代中卜1-產(chǎn)（+,冷吐區(qū)|力明咨.2jt-0,所以我們可以舍去高頻振蕩項(xiàng)在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)c|_g,s卜情況下，由于高頻振蕩對(duì)時(shí)間的平均效果為ei2”和eNf得：Heff=號(hào)£（|+j）+j|_）（"）（aeW+a+ei%2j1=叵口.："；"ae".aei't.（36）2j如果選定0=0和N=1,方程（36）同時(shí)實(shí)現(xiàn)了J-C相互作用和和反J-C相互作用。但是，反JC相互作用可以在囚禁離子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，但不適用于腔QED系統(tǒng)。

18、利用該有效哈密頓量可制備多原子腔場(chǎng)糾纏態(tài)和各種腔場(chǎng)疊加態(tài)。4總結(jié)本文首先系統(tǒng)地闡述了算符、算符函數(shù)的定義及其在量子力學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用；接著基于算符代數(shù)的非對(duì)易特性，介紹算符和算符函數(shù)的幾個(gè)常用公式；然后以受外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的N個(gè)二能級(jí)原子與單膜腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)為例，說明如何利用算符函數(shù)對(duì)一個(gè)難以求出本征解的哈密頓量進(jìn)行變換和簡(jiǎn)化，從而得到能求出本征解的有效哈密頓量，以此說明算符函數(shù)在處理量子系統(tǒng)問題時(shí)的重要作用。參考文獻(xiàn)1中國(guó)大百科全書物理學(xué)M.中國(guó)大百科全書出版社，1987,1054.2曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)M.北京：科學(xué)出版社，2000,1722.3周世勛.量子力學(xué)教程M.北京：高等教育出版社，2009,

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