簡單的軸對(duì)稱及利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)(基礎(chǔ))—知識(shí)講解

1、簡單的軸對(duì)稱及利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解軸對(duì)稱變換，能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)軸對(duì)稱后的圖形；能利用軸對(duì)稱變換，設(shè)計(jì)一些圖案，解決簡單的實(shí)際問題2 .探索等腰三角形的性質(zhì)定理以及判定定理，能熟練運(yùn)用它們進(jìn)行推理和計(jì)算.3 .會(huì)作線段的垂直平分線和角的平分線，探索線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理與判定定理，能用它們解決幾何計(jì)算與證明題4積累探究圖形性質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，同時(shí)能運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，解決簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題，提高分析問題和解決問題的能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、作軸對(duì)稱圖形和對(duì)稱軸1做軸對(duì)稱圖形可以根據(jù)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，先確定圖形關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于已知

2、直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后依順序連接點(diǎn)即可得已知圖形關(guān)系直線的對(duì)稱圖形要點(diǎn)詮釋：已知一點(diǎn)和直線確定其對(duì)稱點(diǎn)的作法如下：過這一點(diǎn)作已知直線的垂線，得垂線段，再以垂足為起點(diǎn)，在直線的另一旁截取一點(diǎn)，使這條線段的長與垂線段等長，截取的這點(diǎn)就是已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)2.對(duì)稱軸的作法若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.因此只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸作法相同.要點(diǎn)詮釋：在軸對(duì)稱圖形和成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上.如果兩個(gè)

3、圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)及判定1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角“）.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.要點(diǎn)詮釋：（1）性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù).（2）性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.（3）等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸，等邊三角形有三條對(duì)稱軸.4 .等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱“

4、等角對(duì)等邊“）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理要點(diǎn)三、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理線段垂直平分線（也稱中垂線）的性質(zhì)定理是：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)定理的前提條件是線段已經(jīng)有了中垂線，從而可以得到線段相等；逆定理則是在結(jié)論中確定線段被垂直平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了要點(diǎn)四、角平分線性質(zhì)定理及其逆定理角平分線性質(zhì)定理是：角平分線上的任

5、意一點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；逆定理：在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)定理的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；逆定理則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了要點(diǎn)五、利用軸對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行簡單設(shè)計(jì)欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形，能利用軸對(duì)稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計(jì)，體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用和豐富的文化價(jià)值，感受生活中的數(shù)學(xué)美【典型例題】類型一、作軸對(duì)稱圖形及對(duì)稱軸1、已知如下圖，求作ABC關(guān)于對(duì)稱軸I的軸對(duì)稱圖形A'B'C'.BI【思路點(diǎn)撥】分別作出點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接力8,AC,B'

6、C.即可得到ABC關(guān)于對(duì)稱軸I的軸對(duì)稱圖形A&C【答案與解析】解：【總結(jié)升華】作一個(gè)圖形的對(duì)稱圖形就是作各個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，把作對(duì)稱圖形的問題可以轉(zhuǎn)化為作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的問題.02、畫出如圖中的各圖的對(duì)稱軸.Aoo連接對(duì)稱圖形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，找到圖形中的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)，作這個(gè)線段的垂直平分線就是這個(gè)圖形的對(duì)稱軸.【答案與解析】解：如圖所示：對(duì)稱軸是任【總結(jié)升華】本題考查了對(duì)稱軸的畫法.解答此題要明確對(duì)稱軸所具有的性質(zhì)：意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.舉一反三：【變式】在下圖中，畫出ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形.【答案】/A'B'C

7、9;為所求類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定3、（2015秋？廣西期末）已知：如圖所示，在/ABC中，AB=AD=DC，/BAD=26°求/B和/C的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】由題意，在/ABC中，AB=AD=DC，/BAD=26。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角/C.【答案與解析】解:在ABC中，AB=AD=DC,/AB=AD，在三角形ABD中，/B=/ADB=(180°-26°Q=77°2又-AD=DC，在三角形ADC中，上0=U=77。=38.5°【總結(jié)升華】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等腰三角形兩底角相等

8、，還考查了三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系.利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法，要熟練掌握.舉一反三：【變式】如圖，已知人。是AABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE二EF.求證：AOBF.【答案】證明：延長AD至點(diǎn)G使DG= AD,連接BG.VAD為中線，二BD=CD.在AACD和ZaGBD中，AD二DG,ADC二GDB,CD=BD,ACD©AGBD(SAS).二BG=AC,G=CAD.vAE=EF,CAD"AFE.又vBFD“AFE,G=BFD.二BF二BG=AC.類型三、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理C4、如圖，乙ABC中，/BAC=110&#

9、176;DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足.（1）求/DAF的度數(shù)；（2）如果BC=10cm，求DAF的周長.BDFC【思路點(diǎn)撥】1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求/B+/C;根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，DA=BD,FA=FC，則/EAD=/B,/FAC=/C,得出/DAF=/BAG/EAD/FAC=110°（/B+/C）求出即可.（2）由（1）中得出，AD=BD,AF=FC，即可得出ZDAF的周長為BD+FC+DF=BC，即可得出答案.【答案與解析】解：（1）設(shè)/B=x»/C=y. ,/BAC+/B+/C=180 110°+/B+/C=180°

10、 x+y=70° AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G,DA=BD,FA=FC, ,/EAD=/B，/FAC=/C. /DAF=/BAG-（x+y）=110°-70°=40>（2）TAB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G,DA=BD,FA=FC, DAF的周長為：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）.【總結(jié)升華】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì).注意掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用.舉一反三【變式】（2015?徐州）如圖，在

11、/ABC中，/C=31°/ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,如果DE垂直平分BC,那么/A=【答案】87.解：在/ABC中»/C=31/ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D, /DBE=/ABC=(180°-31°-/A)=(149./A),222 /DE垂直平分BC,BD=DC,/DBE=/C,/DBE=Ji/ABC=±(149°-±A)=ZC=31°,22/A=87°故答案為：87.5、如圖，ABC中，/ACB=90,AD平分/BAGDELAB于E.求證：直線AD是線段CE的垂直平分線.【思路點(diǎn)撥】由于DEL

12、AB易得/AED=90=ZACB而AD平分/BAC易知/DAE八DAC又因?yàn)锳D=AD利用AAS可證AEDAAACD那么AE=AC而AD平分/BAC利用等腰三角形三線合一定理可知ADLCE即得證.【答案與解析】證明：DELAB /AED=90=ZACB又*AD平分/BAC /DAEMDAC /AD=AD AEDAAACDAE=AC/AD平分/BAC ADLCE即直線AD是線段CE的垂直平分線.【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理，解題的關(guān)鍵是證明AE=AC舉一反三【變式】如圖，已知ABC求作一點(diǎn)P,使P到/A的兩邊的距離相等，且PA=PB下列

13、確定P點(diǎn)的方法正確的是（）A. P是/A與/B兩角平分線的交點(diǎn)B. P為/A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)C. P為ACAB兩邊上的高的交點(diǎn)D. P為ACAB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】B;類型四、角平分線性質(zhì)定理及其逆定理CA6、如圖，ABC的角平分線BMCN相交于0.求證：點(diǎn)0到三邊ABBCCA的距離相等.【思路點(diǎn)撥】作ODOEOF分別垂直于三邊ABBCCADE、F為垂足，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得OD=OEOF=OE-OD=OEOF.【答案與解析】證明：作ODOEOF分別垂直于三邊ABBCCADE、F為垂足，BMmABC的角平分線，ODLABOELBCOD=O（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊

14、的距離相等）同理可證：OF=OEOD=OE=OF即點(diǎn)O到三邊ABBCCA的距離相等.【總結(jié)升華】此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.正確作出輔助線是解答本題的笑鍵.舉一反三【變式】如圖：ABC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是（）PA=PCBP平分/ABCP至UAB,BC的距離相等BP平分/APCA.B.C.D.【答案】C;7、已知如圖：ADBE是aABC的兩條角平分線，相交于P點(diǎn)求證：P點(diǎn)在/C的平分線上.【思路點(diǎn)撥】首先過點(diǎn)P作PMLABPNLBCPQLAC垂足分別為MNQ然后證明PQ=PN即可.【答案與解析】證明：如圖，過點(diǎn)P作PM_LAB，PNLBC，PQLAC，垂足分別為M、N、Q, /P在/BAG的平分線AD上， PM=PQ,P在/ABC的平分線BE上， PM=PN,PQ=PN,點(diǎn)P在/C的平分線上.【總結(jié)升華】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì).用此性質(zhì)證