第13課時導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

1、精品文檔導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算一知識點(diǎn)梳理1 .導(dǎo)數(shù)的概念：(1)已知函數(shù)y=f(x),如果自變量x在X0處有增量/x,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量/y=f(x0+/x)-f(x0),比值電就叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+x之間的平均變化x率；(2)當(dāng)x一0時，包有極限，就說函數(shù)y=f(x)在X0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)x在X0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作f/(xo)=lim"=limf(x0+&x)-f(x0)=limf(x)一f(%)；(3)如果函數(shù)y=f(x)xox>叩xx>xox-x0在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

2、，由這些導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的函數(shù)叫做y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f/(x)=y/=yrf(x：x)-f(x)lim=lim。.0:：x-x-0x(3)求極限lim絲。*0 .xy=f(x)在點(diǎn)(xo, y0)2 .求導(dǎo)數(shù)的方法：(1)求函數(shù)的增量/y;(2)求平均變化率F;3 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在X0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線處的切線的斜率，即斜率為f/(x°)。過點(diǎn)P的切線方程為：y-yo=f/(x°)(x-xo).4 .幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：C'=0(C為常數(shù))；(xn)'=nxn,(nwQ);(sinx)'=cosx;(

3、cosx)'=sinx;11xxxx(lnx)'=一;(logax)'=logae；(e)'=e;(a)'=aIna。xx5 .導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：''u(x)±v(x)=u(x)±v(x)；u(x)v(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)；uuv-uvCu(x)=Cu(x)；=2(v#0)，vv6 .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=*(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u'x=*'(x),函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yu=fz(u),則復(fù)合函數(shù)y=f(*(x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且丫=丫&

4、quot;口或fx(甲(x)=f(u)甲(x).二基礎(chǔ)演練(A) 16x3 4x21.函數(shù)y=(2x2+1)2的導(dǎo)數(shù)是()(B)4x38x(C)16x38x(D)16x34x2.已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f(x)的解析式可()(A)f(x)=(x-1)2-3(x-1)(C)f(x)=2(x-1)2(B) f(x) =2(x 1)(D) f (x) = x -13.曲線y=4x-x2上兩點(diǎn)A(4,0),B(2,4),若曲線上一點(diǎn)P處的切線恰好平行于弦AB,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()4.若函數(shù)f(x) =x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f'(x)的圖象是()4”)=(A)

5、(1,3)(B)(3,3)(C)(6,-12)(D)(2,4)精品文檔1c1°6.曲線y=2x2與y=1x3-2在交點(diǎn)處的切線的夾角是24三典例剖析例1.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(3x2+x+1)(2x+3),求f'(x),f);(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-2x2+x+5,若f'(x)=0,求x的值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)=(2x-a)n,求fr(x).求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1 -xy = (1+x2)cosx ； y=(x+1Xx+2Xx + 3);(3)y = asin3 x +b )；(4) y = ln1C例3.物體在地球上作自由洛體運(yùn)動時，下洛距離S=/gt其中t為經(jīng)歷

6、的時間，g=9.8m/s2,若V=雞包一)豈”=9.8m/s,則下列說法正確的是()(A)01s時間段內(nèi)的速率為9.8m/s(B)在11+zts時間段內(nèi)的速率為9.8m/s(C)在1s末的速率為9.8m/s(D)若/Xt。，則9.8m/s是11+zts時段的速率；若At<0,則9.8m/s是1+ts1時段的速率.例4.(1)曲線C:y=ax3+bx2+cx+d在(0,1)點(diǎn)處的切線為l：y=x+1在(3,4)點(diǎn)處的切線為l2：y=-2x+10,求曲線C的方程；(2)求曲線S:y=2x-x3的過點(diǎn)A(1,1)的切線方程.一_1一一例5.設(shè)函數(shù)f(x)=1，x>0(1)證明：當(dāng)0<

7、;a<b且f(a)=f(b)時，ab>1;x(2)點(diǎn)P(x0,y0)(0vx0<1)在曲線y=f(x)上，求曲線上在點(diǎn)P處的切線與x軸,y軸正向所圍成的三角形面積的表達(dá)式.(用x。表示)例6.求函數(shù)y=x4+x-2圖象上的點(diǎn)到直線y=x-4的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).四.課后作業(yè)：1 .一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為s=3t33t2+2t,那么速度為零的時刻是A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末2 .y=x2cos<的導(dǎo)數(shù)是A.y=2xcos<+x2sinxB.y=2xcoscx2sinxC.y=2xcosxD.y=x2sinx3 .

8、函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)x=5處的切線方程是y=x+8,則f(5)+f'(萼于_A.1B.2C.01D.24.設(shè)曲線y = xX1 X2Xn等于n+ 1(n N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xn則A.1 nbWn+1D.15 .f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若f(x),g(x)滿足f'(x)g'(x)則下列結(jié)論成立的是A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)=0C.f(x)g(x)為常數(shù)函數(shù)D.f(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)6 .若點(diǎn)P是曲線y=x2lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x2的最小距離為2A.1B.2C.-2-D.337

9、 .設(shè)點(diǎn)P是曲線y=xx23x3上的一個動點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線中，斜3率取得最小值時的切線方程是,一.，九一.九一一一8 .已知函數(shù)f(x)=f4)cos<+sinx,則f()的值為.9 .已知f1(x)=sinx+cosc,記f2(x)=f1x),f3(x)=f2x),fn(x)=fn1x)(nCN*,n>2),則f1(2)+f2(2)+f2009(2)=.三、解答題10 .求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：15432-3x(1)y=5x3x+3x+&(2)y=(3x4x)(2x+1);(3)y=2531x十x1o11.已知曲線y=gx1與y=1+x在x=xo處的切線互相垂直，求xo的

10、值.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算答案二基礎(chǔ)演練1.CABA5.已知曲線y=f(x)在x=2處的切線的傾斜角為次，則f'(2)=1,4一11cf(-2)'=0.6.曲線y=2-x2與y=x3-2在父點(diǎn)處的切線的夾角是一.244例1.解：(1)f(x)=6x3+11x2+5x+3,.f：x)=18x2+22x+532一.2(2).f(x)=x-2x+x+5,f(x)=3x4x+1由f(xj=0得：3xo2-4x+1=0,解得：x0=1或x0=1(3)f(x)=i.m(2x-a2x)n-(2x-a)n:螞出-a)n12+C；4Ax(2x-a尸+|I+C；12n(Ax)n=2n(2x-a)n-1

11、- x例 2 (1)y=2;(1 x )cos x(2)y=(x+1Xx + 2)(x + 3);(4) y = In一.3.(3)y=asin(cox+b)；._(1-x)(1x2)cosx-(1-x)(1x2)cosx用牛(工¥2、22(1x)cosx_-(1x2)cosx-(1-x)(1x2)cosx(1x2)(cosx)=2A2-22(1x)cosx“22、.r-(1x)cosx-(1-x)2xcosx-(1x)sinx_iA2T22(1x)cosx(x2-2xT)cosx(1-x)(1x2)slnx=/2、22，(1x)cosxy=(x2+3x+2Xx+3)=x3+6x2+

12、11x+6.y'=3x2+12x+11；3.(3)令丫=2口,u=sinv,v=x+b,y'=au3'=3au2u'=3au2slnv'=3au2cosvv2=3asin(®x+b)cos(8x+b)；1 八八(4)y=-lne2x_ln(e2x+1),，1一1,2x、，1,2x,nrl1：e2x,2e2x211-y=-.|7(e)2x,(e+1)|=-,-225T=2xj2ee+1_2ee+1_e+11c例3.物體在地球上作自由洛體運(yùn)動時，下洛距離S=gt其中t為經(jīng)歷的時間，g=9.8m/s2,若V=|imp任一包1=9.8m/s,則下列說法

13、正確的是(C)(C)在1s末的速率為9.8m/s小結(jié)：本例旨在強(qiáng)化對導(dǎo)數(shù)意義的理解，limS(1)中的t可正可負(fù).twt例3.(1)曲線C:y=ax3+bx2+cx+d在(0,1)點(diǎn)處的切線為11:y=x+1在(3,4)點(diǎn)處的切線為l2:y=-2x+10,求曲線C的方程；(2)求曲線S:y=2x-x3的過點(diǎn)A(1,1)的切線方程.解：(1)已知兩點(diǎn)均在曲線C上.f/(0)= c f/(3) -27a 6b cd=1,2y=3ax+2bx+c、27a+9b+3c+d=4C=111Q9(d=1,c=1,a=，b=1.曲線C:y=x+x+x+127a6bc=-233設(shè)切點(diǎn)為P(X0,2xo-Xo3)

14、,則斜率k=f'(x°)=2-3x。2,過切點(diǎn)的切線方程為：y-2xo+xo=(2-3xo)(x-x°)，二,過點(diǎn)A(1,1),.1-2x°+x0=(2-3xO)(1-x0)1斛得：*0=1或%=-2,當(dāng)x0=1時，切點(diǎn)為(1,1),切線方程為：x+y-2=0-117.、一.當(dāng)x0=-一時，切點(diǎn)為(-,),切線方程為：5x-4y-1=0228一、一一，1.一一例4.設(shè)函數(shù)f(x)=1-一，xa0(1)證明：當(dāng)0<a<b且f(a)=f(b)時，ab>1;x(2)點(diǎn)P(x0,y0)(0<X0<1)在曲線y=f(x)上，求曲線上在點(diǎn)

15、P處的切線與x軸,y軸正向所圍成的三角形面積的表達(dá)式.(用X。表示)-11.一、一1212解：1)f(a)=f(b),|1_同1_1|,兩邊平方得：1+4一4=1+£一422abaabb11、/1、c/11、即：(-)(-+-)=2(-),ababab-.11110<a<b,._。0,.一+=2,a+b=2abn2ab=a+b>2Tab,aba1abab一一-_111(2)當(dāng)0<x<1時，f(x)=1=1,(X0)=1(0<x0<1)XXx0曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為：yy0=4(xx0),xo即：y=22+2：也.切線與與x軸，y

16、軸正向的交點(diǎn)為(2x。x02,0),(0,=0)x0x0x0;所求三角形的面積為A(x°)=(2x°-x。2)2=1(2-x。)22x02例5.求函數(shù)y=x4+x-2圖象上的點(diǎn)到直線y=x-4的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)yx4x2的坐標(biāo).解：首先由xx2得x4+2=0知，兩曲線無交點(diǎn).y4x3+1,y=x-4要與已知直線平行，須4x3+1=1,x=0故切點(diǎn)：(0,2).d=i2=4=<2.課后作業(yè)1 .一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為s=：t33t2+2t,那么速度為零解析：.$= 3t32f+23的時刻是A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末v=s

17、t1=t2-3t+2,令v=0得，t23t+2=0,ti=1或t2=2.答案：D2 .y=x2cosc的導(dǎo)數(shù)是解析：y'=2xcoscx2sinx.答案：B3 .(2010福州*II擬)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)x=5處的切線方程是y=x+8,則f(5)+f'(5)，一1等于A.1B.2C.0D-2解析：因f(5)=5+8=3,f'(阱1,故的)+1(阱2.答案：B4 .設(shè)曲線y=xn+1nCN)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xn則X1X2Xn等于A.1 nB.六n+ 1D.1解析：y'=(n+1)xn,曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(n

18、+1)(x-1),令y=0,得Xn=n+1皿12貝UXix2xn="§23n14一=.答案：Bn+1n+15.f(x)與g(x)是定義在的是A.f(x)=g(x) B.R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若f(x),g(x)滿足f'(x)g'(x)則下列結(jié)論成立f(x)=g(x)=0C.f(x)g(x)為常數(shù)函數(shù)D.f(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)解析：由fX)=gx),得fX)gx)=0,即f(x)g(x)=0,所以f(x)g(x)=C(C為常數(shù)).6.若點(diǎn)P是曲線y=x2lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x2的最小距離為A.1B.2D.3解析：過點(diǎn)作丫=x2的平行直線，且與曲線2y=x-lnx相切.設(shè)P(Xo,x0lnx。)則有k=yx|=xo=2xo.2沏一X01-1=151X0=1或X0=一,(舍去),X02|11-2|P(1,1),d=V2.答案：B1+137.設(shè)點(diǎn)P是曲線y=X"x23x3上的一個動點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線中，斜率取得最小3值時的切線方程是解析：設(shè)切線的斜率為k,則k=f'x)=x22x3=(x1)24.當(dāng)x=1時，k有最小值4.又f(1)=三,所以切線方程為y+20=-4(x-1),即12x+3y+8=0.一、.，,一一一,兀一8.(2009湖北局考)已知函數(shù)f