第17講高等數學(十七)(新版)39981

1、精品文檔精品文檔(三)例題【例1-4- l qQ判別級數、n 1qQ而級數、n =41發(fā)散np-級數，p=1的情形，根據比較審斂法的極限形式知此級數發(fā)散1一sin的收斂性。n1【解】級數工sin1為正項級數，因為.Isin【例1-4-2】判別級數的收斂性所給級數為正項級數，因為JLDC!LK1U根據比值審斂法知所給級數發(fā)散,二1人【例1-4-3】判別級數工二的收斂性n1n【解】所給級數為正項級數，因為lim-TuL=lim-=0L1111fmj-FCcy荏時tooM根據根值審斂法知所給級數收斂?！纠?-4-4】數項級數的部分和數列有界是該級數收斂的(A)充分條件。(B)必要條件。(C)充分必要

2、條件。(D)既非充分又非必要條件?！窘狻堪磾淀椉墧凳諗康亩x，級數收斂即級數的部分和數列有極限，而部分和數列有界是部分和數列有極限的必要條件，故選(B)。注意對正項級數來說，部分和數列有界是級數收斂的充分必要條件，而對一般的非正項級數來說，部分和數列有界僅是級數收斂的必要條件，而不是充分條件?！纠?-4-5】級數I11I-a,十.應百日的收斂性是(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)無法判定11【解】按萊布尼茲判別法知，級數收斂；級數是p-級數p=的情形，p收斂JM=1fil=1K=I若它I%4I收斂,則七十與之代都收斂奸=1n=In=gII(C)若正項級數X%發(fā)散*則%土制=12)(D

3、)若級數Sx收斂，且12)，則級數也收斂rt=l=I【解】因為玄(小+/=W(W+瑤+24%),又I叼$所H=|ff=1El以Za網也收斂，故應選(a)口二、嘉級數泰勒級數(一)事級數的概念和性質i.嘉級數的概念qQqQanan(xx0)n稱為嘉級數，令t=xx0,可化為anantnn0n=02 ,嘉級數的收斂性qQqQ若級數ananxn當x=x0(x0=0)時收斂，則對適合x|x0的一切x,級數aanxn發(fā)散。nOn=03 .嘉級數的收斂半徑及其求法若嘉級數9anxn在某些點收斂，在某些點發(fā)散，則必存在唯一的正數R,使當xR時，級數絕對nO收斂，當|xAR時，級數發(fā)散。這個R稱為塞級數的收斂

4、半徑；若事級數只在x=0處收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0;若嘉級數對一切x都收斂，則規(guī)定收斂半徑R=+ocqQ對事級數一anxn若n旦limII=p（或limj舄|二?）a/*則它的收斂半徑當口0時+8,當e=0時。，當二十00時4 ,嘉級數的性質qQ（-若嘉級數-anxn的收斂半徑為R,則稱開區(qū)間（-R,R）為嘉級數的收斂區(qū)間，n0根據嘉級數在x=R處的收斂情況，可以決定嘉級數的收斂域（即收斂點的全體）是四個區(qū)間:R,R）、-R,R）、（-R,R、-R,R之一。事級數具有以下性質：（1）嘉級數ananxn的和函數在其收斂域上連續(xù)；nOqQ（2）嘉級數Zanxn的和函數在其收斂區(qū)間內可導，且有逐項

5、求導、逐項積分公式n=0080S（H）= （X。） =n Zn/lm-QihXit = D逐項求導、逐項積分后所得到的事級數和原級數有相同的收斂半徑(二)泰勒級數1 .泰勒級數的概念1右f(x)在點X0處具有各階導數，則帚級數工一f(x0)(x-x0)稱為函數f(x)在點X0處ngn!1的泰勒級數，特別當X0=0時，級數12f(xo)(0)n稱為函數f(a)的麥克勞林級數。nwn!2 .函數展開成泰勒級數的條件設函數f(x)在點xo的某鄰域U(X。)內具有各階導數，則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數(即f(x)的泰勒級數收斂于f(x)本身)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(其中x=x。+日(x-xo),01)3 .常用函數的嘉級數展開式(I)葉=1+工+J7*+(-+0)U,曾+11+1(2) S也mW-狗工3t受工5卜十(I尸+)+(8工+8)(3) 8SJT=1可/+苗上4+(_1)圮(一818)(4) InU+1)=H