第五屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評(píng)比活動(dòng)-《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》說(shuō)課(江蘇劉洪璐)

1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明教材：蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)劉洪璐我說(shuō)課的內(nèi)容是“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)”4個(gè)方面進(jìn)行匯報(bào)。一、教學(xué)背景分析1. 教材的地位和作用本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是4組三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的比值定義、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系等；啟下，學(xué)生將學(xué)習(xí)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行任意角三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（包括三角函數(shù)的周期性）等內(nèi)容。同時(shí)，學(xué)生在初中就接觸過(guò)對(duì)稱等知識(shí)，對(duì)幾何圖形的對(duì)稱等知識(shí)相當(dāng)熟悉。這些構(gòu)成了學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)。誘導(dǎo)公式的作用主要在于把任意角

2、的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了把一般化特殊、復(fù)雜化簡(jiǎn)單、未知化已知的數(shù)學(xué)思想。2. 目標(biāo)定位誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計(jì)算器的普及，上述意義不是很大。我們認(rèn)為，誘導(dǎo)公式的教學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過(guò)幾何對(duì)稱這個(gè)研究工具，去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關(guān)系式，即三角函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱性質(zhì)）的代數(shù)解析表示。第二，學(xué)會(huì)初步應(yīng)用，能夠選用恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問(wèn)題并求解。第三，領(lǐng)悟思想方法，在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)過(guò)程中領(lǐng)悟化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法。第四,積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生認(rèn)識(shí)任

3、意角三角函數(shù)既是一個(gè)起源于圓周運(yùn)動(dòng)的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”做好準(zhǔn)備。為此，我們制定了本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)（詳見(jiàn)教案），以及本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)。二、教學(xué)設(shè)計(jì)分析在進(jìn)行本課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，有以下兩條典型教學(xué)路線可供選擇：（1）兩個(gè)角的終邊有哪些特殊的對(duì)稱關(guān)系？（2）怎樣把非第一象限的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角？我們最終選擇了第一條路線，主要基于以下兩點(diǎn)考慮。1. 尊重教材的編寫方式。從對(duì)教材的分析來(lái)看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來(lái)定位，力圖在單位圓中借助對(duì)稱性來(lái)考察對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，從而統(tǒng)整各組誘導(dǎo)公式。教材的編寫處理體現(xiàn)了教材專家的集體智慧和版本教材的一貫特色，

4、教師應(yīng)該努力體會(huì)和把握，不宜輕率拋開(kāi)教材另搞一套。2. 切合學(xué)生的認(rèn)知水平。利用學(xué)生熟悉的圓及其對(duì)稱性研究三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知心理。同時(shí)，單位圓及其對(duì)稱性的表象對(duì)學(xué)生推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式都將起到事半功倍的效果。三、教學(xué)過(guò)程分析基于以上分析，我們確定了如下的本節(jié)課教學(xué)路線圖角間關(guān)系-r林關(guān)系fK關(guān)系T角而數(shù)值間關(guān)系圍繞這個(gè)教學(xué)路線（當(dāng)然也是學(xué)生的研究路線），我將教學(xué)分成6個(gè)環(huán)節(jié)并設(shè)計(jì)成問(wèn)題串的形式，通過(guò)這些問(wèn)題解構(gòu)教材，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。1 .問(wèn)題提出【教學(xué)安排】如何將任意角三角函數(shù)求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

5、0°360。角三角函數(shù)求值問(wèn)題?！締?wèn)題U求390°的正弦、余弦值?！驹O(shè)計(jì)意圖】前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)將角的概念從銳角擴(kuò)充到了任意角，學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，接下來(lái)自然地會(huì)提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求。于是，先安排求特殊值再過(guò)渡到一般情形比較符合學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問(wèn)題和抽象問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在求三角函數(shù)值時(shí)抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系。同時(shí)，首先考慮依2k兀（k?Z）與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，有助于學(xué)生理解三角函數(shù)被看成刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期性變化的數(shù)學(xué)模型的確切含義。2 .嘗試推導(dǎo)【教學(xué)安排】如何利用對(duì)稱推導(dǎo)出角兀-a與角"的三

6、角函數(shù)之間的關(guān)系?！締?wèn)題2你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)問(wèn)題2的提問(wèn)方式的設(shè)計(jì)主要是考慮到我們?cè)谘芯繂?wèn)題的時(shí)候常常會(huì)研究它的逆命題、否命題、等價(jià)命題等。事實(shí)上問(wèn)題2可以看成是“若兩個(gè)角的終邊相同，則它們的正弦值相同”的逆命題，即“若兩個(gè)角的正弦值相同，則兩個(gè)角的終邊相同”。但這里是以問(wèn)題的形式提出的，實(shí)際上教會(huì)了學(xué)生一種自己研究問(wèn)題的方法。在得出角兀-ct與角a的三角函數(shù)之間的關(guān)系后，提出：K思考請(qǐng)大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式（公式二）的？【設(shè)計(jì)意圖】階段小結(jié)，讓學(xué)生將對(duì)稱作為研究三角函數(shù)問(wèn)題的一種方法使用。將上述研究過(guò)程進(jìn)行梳理，得出“角

7、間關(guān)系對(duì)稱關(guān)系r坐標(biāo)關(guān)系r三角函數(shù)值間關(guān)系”的研究路線圖。3 .自主探究【教學(xué)安排】如何利用對(duì)稱推導(dǎo)出兀+2與3的三角函數(shù)值之間的關(guān)系?！締?wèn)題3】?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，你有什么結(jié)論？?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？【設(shè)計(jì)意圖】從兩個(gè)角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的情況進(jìn)行自然過(guò)渡，給學(xué)生留下了自主探究的空間，讓他們?cè)俅谓?jīng)歷公式的研究過(guò)程，從而得出公式三和四，并將問(wèn)題2研究方法一般化。4 .簡(jiǎn)單應(yīng)用【教學(xué)安排】例題的練習(xí)、講解?！纠?】求下列各三角函數(shù)值：（1）sinj冗；（2）cos（-60°）;（3）tan（-855【設(shè)計(jì)意圖】初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問(wèn)題的過(guò)程中，如何合理的

8、使用這幾組公式。止匕外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個(gè)三角函數(shù)的求值問(wèn)題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的內(nèi)在關(guān)系和聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)方法的多樣性。5 .回顧反思【教學(xué)安排】開(kāi)放式小結(jié)?！締?wèn)題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的？研究的過(guò)程中，你有哪些體會(huì)？【設(shè)計(jì)意圖】開(kāi)放式小結(jié)，使得不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和收獲。這些問(wèn)題的提出，側(cè)重于誘導(dǎo)公式推導(dǎo)方法的回顧和反思，側(cè)重于個(gè)體情感體驗(yàn)的分享和表達(dá)，從而區(qū)別于側(cè)重于公式規(guī)律的總結(jié)和記憶。6 .分層作業(yè)【教學(xué)安排】作業(yè)布置?！咀鳂I(yè)】1 ）閱讀課本，體會(huì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過(guò)程中的思想方法。2 ）必做題：課本第23頁(yè)第13題。3 ）選做題：（ 1）你能

9、由公式二、三、四中的任意兩組公式推導(dǎo)到另外一組公式嗎？（ 2）角a和角6的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系？你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？【設(shè)計(jì)意圖】分層作業(yè)有利于不同層次的學(xué)生鞏固知識(shí)，提升思維能力。閱讀課本旨在引導(dǎo)學(xué)生教科書是學(xué)習(xí)的根本，閱讀課本有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的回歸課本的學(xué)習(xí)習(xí)慣。而出現(xiàn)選做題目，目的是提供多元化和挑戰(zhàn)性選擇，促使學(xué)有余力的學(xué)生課后思考和自主探究幾組公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。四、教后思考分析1. 關(guān)于設(shè)計(jì)定位的反思就三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來(lái)說(shuō)，教學(xué)設(shè)計(jì)定位時(shí)一般會(huì)出現(xiàn)以下幾種傾向：其一，定位于知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數(shù)進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化。其二，定位于公

10、式的學(xué)習(xí)，學(xué)生努力分析和總結(jié)各組公式的形式規(guī)律，背誦“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”等口訣，追求靈活運(yùn)用等解題能力的提高。公式理解強(qiáng)過(guò)公式記憶。關(guān)于公式規(guī)律的總結(jié)和口訣的記憶，當(dāng)然很重要，但這不是第一節(jié)課的內(nèi)容。我們可以在所有誘導(dǎo)公式都學(xué)習(xí)過(guò)后，再來(lái)總結(jié)不退。此外，采用本課的利用對(duì)稱性的方法來(lái)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，可以通過(guò)圖形的對(duì)稱性來(lái)形象記憶，可以減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，規(guī)避死記硬背現(xiàn)象的發(fā)生。其三，聚焦誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)對(duì)公式產(chǎn)生的過(guò)程的深入理解。其四，在關(guān)注知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟。本課主要涉及數(shù)形結(jié)合、從一般到特殊或從特殊到一般、模型思想、化歸思想、追求簡(jiǎn)易等數(shù)學(xué)思想方法。我們認(rèn)

11、為新授知識(shí)是很重要的，而數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含其中的，應(yīng)該潛移默化地滲透，不能貼標(biāo)簽，更不能因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的重要而喧賓奪主地過(guò)渡渲染。2. 關(guān)于教學(xué)難點(diǎn)的突破1 ）本節(jié)課的難點(diǎn)在于從問(wèn)題2出發(fā)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，從而總結(jié)出研究線路圖。從對(duì)教材的分析來(lái)看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來(lái)定位，力圖在單位圓中借助對(duì)稱性來(lái)考察對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，這樣處理的好處是簡(jiǎn)化了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對(duì)稱這個(gè)工具和研究手法去研究誘導(dǎo)公式的變化規(guī)律的目的，揭示了代數(shù)和幾何的有機(jī)結(jié)合和統(tǒng)一。2 ）a任意性循環(huán)上升。在這節(jié)課中，角a的任意性是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，為此我們?cè)O(shè)置了三個(gè)點(diǎn)：（

12、1）問(wèn)題2中非30°不可嗎？任意角a行不行？（2）幾何畫板拖動(dòng)演示感受角a的任意性。（3）習(xí)題中進(jìn)一步深化學(xué)生認(rèn)識(shí)。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，對(duì)這個(gè)問(wèn)題還會(huì)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，有許多同學(xué)在一開(kāi)始是將角a當(dāng)成銳角去處理的，但我在教學(xué)中不過(guò)分強(qiáng)調(diào)角a的任意性，因?yàn)閷?duì)待數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不能一步到位，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)循環(huán)上升，力求順其自然，水到渠成。3. 關(guān)于問(wèn)題串的設(shè)置調(diào)控通過(guò)這些問(wèn)題串起相互關(guān)聯(lián)在本節(jié)課中，我們將教學(xué)設(shè)計(jì)成以一以貫之的問(wèn)題串形式，生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)， 學(xué)生可以從不同的角度來(lái)思考； 的學(xué)生盡量愿意提出自己的見(jiàn)解。易程度定位在學(xué)使得使得不同并和學(xué)生形的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，形成能力，發(fā)展認(rèn)知。我們?cè)谠O(shè)計(jì)過(guò)程中，盡量將問(wèn)題的難問(wèn)題的設(shè)計(jì)從思維的角度來(lái)說(shuō)具有一定的開(kāi)放性，問(wèn)題的設(shè)計(jì)從解決的難度來(lái)說(shuō)具有一定的層次性，教師通過(guò)問(wèn)題串的這個(gè)腳手架便于組織教學(xué)，實(shí)踐證明，問(wèn)題串的使用讓教學(xué)組成互動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)形成網(wǎng)狀知識(shí)聯(lián)結(jié)?？椨姓驴裳?，內(nèi)容推進(jìn)自然而不造作，完整而不破碎。4. 關(guān)于教學(xué)評(píng)價(jià)分析我們覺(jué)得本次的教學(xué)設(shè)計(jì)和學(xué)生認(rèn)知水平基本吻合，學(xué)生的參與程度較高。如果學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱一些，我們會(huì)做些調(diào)整，把問(wèn)題的指向性更明確一些，基礎(chǔ)性的練習(xí)增加一些。此外，在教學(xué)過(guò)程中，我們始終關(guān)注學(xué)生主體的發(fā)