空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算

1、空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算3編稿：周尚達(dá)審稿：張揚(yáng)責(zé)編：嚴(yán)春梅目標(biāo)認(rèn)知國(guó)學(xué)習(xí)目標(biāo)：圉1 .了解空間向量的概念，體會(huì)向量由平面向空間的推廣過(guò)程。2 .掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，掌握向量共線(xiàn)的充要條件.3 .掌握空間向量的數(shù)量積，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直.重點(diǎn)：國(guó)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算和空間向量的數(shù)量積；空間向量共線(xiàn)與垂直的充要條件.難點(diǎn)：畫(huà)空間向量的數(shù)量積，空間向量共線(xiàn)與垂直的充要條件.學(xué)習(xí)策略：國(guó)把向量的研究范圍從平面擴(kuò)大到空間，就得到空間向量，因此，空間向量是平面向量的推廣，學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念及其運(yùn)算時(shí)，完全類(lèi)比平面向量的概念及其運(yùn)算。知識(shí)要點(diǎn)梳理國(guó)知識(shí)點(diǎn)一：空間向

2、量的相關(guān)概念國(guó)1 .空間向量的定義：圉在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。與平面向量一樣，空間向量也用有向線(xiàn)段表示；記作：樂(lè)或孩。注意：（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱(chēng)之為自由向量。2.空間向量的長(zhǎng)度（模）:國(guó)表示空間向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作I9司或133.空間向量的有關(guān)概念：國(guó)零向量：長(zhǎng)度為0或者說(shuō)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，記為6。單位向量：長(zhǎng)度為1的空間向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共線(xiàn)向量：如果表示

3、空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量.1平行于信記作3 / 12空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量。兩個(gè)規(guī)定：（1）6與任意向量平行；（2）6與任意向量垂直。注意：當(dāng)我們說(shuō)向量彳、玉共線(xiàn)（或王石）時(shí)，表示彳、玉的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn).向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，因此我們說(shuō)空間任意兩個(gè)向量是共面的.4.兩個(gè)向量的夾角圖已知兩非零向量左方，在空間任取一點(diǎn)0,作向量3=之，OB=b,則4408叫做王與W的夾角，記作3法）。當(dāng)母，0或*時(shí),向量彳與信平行，記作當(dāng)

4、2時(shí)，向量a與小垂直，記作知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的加減法國(guó)因?yàn)榭臻g任意兩個(gè)向量是共面的.定義空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量及運(yùn)算律與平面向量一樣。(1)空間向量的加減法運(yùn)算囪如圖，若0A = a,AB =b3 / 12則OB=OAAB=a+b如圖，若OA = a QB =ba則&4蝮-苫（指向被減向量），（2）空間向量的加法運(yùn)算律：圉加法交換律：加法結(jié)合律：G+=3+區(qū)艮）注意：空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn):首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,即：44+4A+AA,卜4.i4=AA因此，求空間若干向量之和時(shí).，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量;首尾相接的

5、若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量,即：石+而+冢+-+x+石二百:空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算4兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則.平行四邊形法則知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)乘閡(1)實(shí)數(shù)與空間向量的積的定義：畫(huà)實(shí)數(shù)丸與向量”的積是一個(gè)向量，記為41，模和方向規(guī)定如下:4 / 12Aa=Aa(AeR)當(dāng)；10時(shí)，4】與向量段的方向相同、與/I=0時(shí)，2以=0當(dāng)兄0時(shí)，溫與向量的方向相反(2)實(shí)數(shù)與空間向量的積的運(yùn)算律：國(guó)設(shè)入為實(shí)數(shù)，則有結(jié)合律：gaff第一分配律：6+出&=m+RQfff第二分配律：父S+與二期+助(3)共線(xiàn)向

6、量定理和共面向量定理國(guó)共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量左、三(Ww6),曰E的充要條件是存在實(shí)數(shù)4,使曰二焉.共面向量定理：如果兩個(gè)向量1、舌不共線(xiàn)，則向量夕與王、石共面的充要條件是有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、ff為使# = 4+48知識(shí)點(diǎn)四:空間向量的數(shù)量積15 / 12(1)數(shù)量積定義國(guó)空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算已知空間兩向量左方，則.圖為叫做的數(shù)量積，記作一E,即西4=|茨HMcos注意：空間兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與空間向量的積是一個(gè)向量。（2）空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律圖Q）a-b=ba（交換律）;茂國(guó)+為二左篇+其2（分配律）；:：（朝彳二為易二茨.（焉）（4及）(3)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)國(guó)設(shè)”

7、是非零向量，一是單位向量，則：，：e=e-a=acqs（點(diǎn)殍.&JlE今A=0；|開(kāi)二寸高或|町五;f河川w司.網(wǎng)規(guī)律方法指導(dǎo)西1.空間向量的加法與減法如何進(jìn)行運(yùn)算？國(guó)空間向量中兩個(gè)向量的加、減可以直接用三角形法則或平行四邊形法則解決。而多個(gè)向量的加減運(yùn)算，通?？梢岳萌切畏▌t進(jìn)行推廣，在解決立體兒何問(wèn)題時(shí)，其中的某個(gè)向量經(jīng)常多次使用三角形法則的方法用其他向量來(lái)表示，首尾順次相接的向量如果能?chē)煞忾]的圖形，那么和向量為零向量。2.共線(xiàn)向量定理的用途是什么？國(guó)空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算判定兩條直線(xiàn)平行；證明三點(diǎn)共線(xiàn)。注意：證明平行時(shí)，先從兩直線(xiàn)上取有向線(xiàn)段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算證明向量

8、共線(xiàn)，進(jìn)而可以得到線(xiàn)線(xiàn)平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。3.如何利用向量知識(shí)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度？圉將所求線(xiàn)段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來(lái)求解。選擇基底時(shí)，應(yīng)注意三個(gè)基向量?jī)蓛芍g的夾角應(yīng)該是確定的、已知的或可以求出的。具體求模時(shí)，可分為兩種不同情況：（1）不建坐標(biāo)系，直接進(jìn)行向量運(yùn)算；（2）建立坐標(biāo)系，用距離公式求線(xiàn)段長(zhǎng)度。4.如何利用空間向量知識(shí)求異面直線(xiàn)所成的角？國(guó)異面直線(xiàn)所成的角可以通過(guò)選取直線(xiàn)的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到，具