理論力學(xué)第一章習(xí)題

1、第一章習(xí)題1.4 細(xì)桿繞點(diǎn)以角速轉(zhuǎn)動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲上滑動。圖中的為已知常數(shù)，試求小球的速度及加速度的量值。解 如題1.4.1圖所示，繞點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動，在上滑動，因此點(diǎn)有一個垂直桿的速度分量點(diǎn)速度又因?yàn)樗渣c(diǎn)加速度1.5 礦山升降機(jī)作加速度運(yùn)動時，其變加速度可用下式表示：式中及為常數(shù)，試求運(yùn)動開始秒后升降機(jī)的速度及其所走過的路程。已知升降機(jī)的初速度為零。解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對等式兩邊同時積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時，故即又因?yàn)樗詫Φ仁絻蛇呁瑫r積分，可得：1.6 一質(zhì)點(diǎn)沿位失及垂直于位失的速度分別為及，式中及是常數(shù)。試證其沿位矢及垂

2、直于位失的加速度為解 由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度 (1)沿垂直于位矢速度 (2)又因?yàn)?rrl=&/v ， 即 (3) (4)對求導(dǎo) rrr2ll=&&& (5)對求導(dǎo) (6)根據(jù)課本的推導(dǎo)可知 沿位矢方向加速度 （7）垂直位矢方向加速度 （8）把（3）（4）（5）（6）代入（7）（8）式中可得1.7 試自出發(fā)，計算及。并由此推出徑向加速度及橫向加速度。解 由題可知 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對于加速度，我們有如下關(guān)系見題1.7.1圖 把代入 得同理可得1.14 一飛機(jī)在靜止空氣中每小時的速率為100千米。如果飛機(jī)沿每邊為6千米的正方形飛行，且風(fēng)速為每小時28

3、千米，方向與正方形的某兩邊平行，則飛機(jī)繞此正方形飛行一周，需時多少？解 正方形如題1.14.1圖。由題可知設(shè)風(fēng)速,當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿此邊長6正方形飛行一周所需總時間 1.17 小船被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度2u朝岸上點(diǎn)劃回。假定河流速度1u 沿河寬不變，且小船可以看成一個質(zhì)點(diǎn)，求船的軌跡。解 以為極點(diǎn)，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.船沿垂直于的方向的速度為jsinu1-，船沿徑向方向的速度為2u和1u沿徑向的分量的合成，即ïïîïïíì-=-=211cossinuudtdrudtdrjj -/得 jjjduu

4、rdr÷÷øöççèæ-=cotsin12，對兩積分：Cuur+-=jjsinln2tanlnln12設(shè)Ckuu,2,12aj=為常數(shù)，即代入初始條件時，.設(shè)有得 1.19 將質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)豎直拋上于有阻力的媒質(zhì)中。設(shè)阻力與速度平方成正比，即。如上拋時的速度為，試證此質(zhì)點(diǎn)又落至投擲點(diǎn)時的速度為解 質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題1.19.1圖，上升時 下降時題1.19.1圖則兩個過程的運(yùn)動方程為：上升 下降：22ygmkmgym&&&+-= 對上升階段:即 對

5、兩邊積分所以 即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.對下降階段：22gvk-gdyvdvdtdydydv+=即 gdyvkvdvhvòò=-022011 由=可得1.28 重為的不受摩擦而沿半長軸為、半短軸為的橢圓弧滑下，此橢圓的短軸是豎直的。如小球自長2軸的端點(diǎn)開始運(yùn)動時，其初速度為零，試求小球在到達(dá)橢圓的最低點(diǎn)時它對橢圓的壓力。解 建立如題1.28.1圖所示直角坐標(biāo). 橢圓方程 從滑到最低點(diǎn)，只有重力做功.機(jī)械能守恒.即設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對它的支持力為則有：r2vmmgN=-為點(diǎn)的曲率半徑. 的軌跡：得 ； 又因?yàn)?所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對橢圓壓力為 方

6、向垂直軌道向下.1.36 檢驗(yàn)下列的力是否是保守力。如是，則求出其勢能。 ， 解 （a）保守力滿足條件對題中所給的力的表達(dá)式 ，代入上式即 所以此力是保守力，其勢為 (b)同（a），由所以此力是保守力，則其勢能為1.38 已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為式中系數(shù)都是常數(shù)。問這些應(yīng)滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計算其勢能。解 要滿足勢能的存在，即力場必須是無旋場，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢能存在。勢能為：()()()()()()()()()()()zxayzaxyazayaxadzzayaxadyzayaxadxzayaxadFdyFdxFdVzyxyxyxxxzzyx312312231212211,0,3332310,0,0,2322210,0,0,0,013121122221+=-+-+-+-=+-=×-=òòòòòòòrF1.39 一質(zhì)點(diǎn)受一與距離次方成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動。試證此質(zhì)點(diǎn)自無窮由靜止出發(fā)到達(dá)距力心時的速率和自距力心靜止出發(fā)到達(dá)距力心時