微積分求極限的方法(2

1、專(zhuān)題一求極限的方法【考點(diǎn)】求極限1、近幾年來(lái)的考試必然會(huì)涉及求極限的大題目，一般為 2-3題12-18分左右，而用極限的 概念求極限的題目已不會(huì)出現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)涉及到的方法主要涉及等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則和利用定積分的概念求極限，使用這些方法時(shí)要注意條件，如等價(jià)量代換是在幾塊式 子乘積時(shí)才可使用，洛必達(dá)法則是在0比0,無(wú)窮比無(wú)窮的情況下才可使用，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算時(shí)要各部分極限存在時(shí)才可使用等。2、 極限收斂的幾個(gè)準(zhǔn)則：歸結(jié)準(zhǔn)則(聯(lián)系數(shù)列和函數(shù))、夾逼準(zhǔn)則(常用于數(shù)列的連加)、 單調(diào)有界準(zhǔn)則、子數(shù)列收斂定理(可用于討論某數(shù)列極限不存在)3、要注意除等價(jià)量代換和洛必達(dá)法則之外其他輔助方法的運(yùn)用，比如

2、因式分解，分子有理 化，變量代換等等。.sin x14、 兩個(gè)重要極限lim1 lim(1)x lim(1 x)x e，注意變形，如將第二個(gè)式x 0 xxxx 01子x叫(1 x) e中的x變成某趨向于0的函數(shù)f(x)以構(gòu)造“ 1 ”的形式的典型求極限題目。5、一些有助于解題的結(jié)論或注意事項(xiàng)需要注意總結(jié)，如：(1) 利用歸結(jié)原則將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限(2) 函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。有時(shí)可以利用這點(diǎn)進(jìn)行解1lim ex 1題，如x 1因左右極限不相等而在這點(diǎn)極限不存在。(當(dāng)式子中出現(xiàn)絕對(duì)值和e的無(wú)窮次方的結(jié)構(gòu)時(shí)可以考慮從這個(gè)角度出發(fā))(3) 遇到無(wú)限項(xiàng)和式求極限時(shí)想三

3、種方法： 看是否能直接求出這個(gè)和式 (如等比數(shù)列求和)再求極限 夾逼定理 用定積分的概念求解。(4) 如果f(x)/g(x)當(dāng)Xix0時(shí)的極限存在，而當(dāng) Xix0時(shí)g(x)0，則當(dāng)xx0時(shí)f(x)也 宀0(5) 一個(gè)重要的不等式：sinx x ( x 0)*其中方法考到的可能性較大。6、有關(guān)求極限時(shí)能不能直接代入數(shù)據(jù)的問(wèn)題。7、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最值定理、根的存在性定理、介值定理)8、此部分題目屬于基本題型的題目，需要盡量拿到大部分的分?jǐn)?shù)?！纠}精解求極限的方法】方法一：直接通過(guò)化簡(jiǎn)，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算【例1】求極限lim(x 1)(xm1xm21) = m1) nJim( X2

4、1, x2 x)x 1 (x 1)( xn 1主：此題通過(guò)洛必達(dá)法則進(jìn)行求解也非常方便。還可通過(guò)變量代換構(gòu)造等價(jià)量?！纠?】求極限lim （Jx21x.x2 x)注：1、遇到“根號(hào)加減根號(hào)”基本上有兩種方法一一有理化和采取倒變量的方法。2、一個(gè)最基本的多項(xiàng)式極限limxnn 1axa?xmm 1b|Xb2x色（系數(shù)均不為0）：bn 若n>m，則極限為正無(wú)窮； 若*m，則極限為0； 若n=m，則極限為a1。（本質(zhì)為比較次數(shù)）b11要注意的是x是趨向于正無(wú)窮，而且分子分母遇到根號(hào)時(shí)要以根號(hào)里x的最高次的次來(lái)2計(jì)算，如 x21的次數(shù)為1。方法二：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則來(lái)證明極限存在并求極限例 3】設(shè)

5、 U112，un 1-'12 un(n 1,2,.),證明 lim 叫存在并求之甲n方法三：利用夾逼定理一一適用于無(wú)限項(xiàng)求極限時(shí)可放縮的情況【例4】求極限lim 1 1 n 2 n'3. n n1 nn n=n n n解因 1=1 n 1 1 n2 n3. n nn n而 lim仁lim 折=1nn故由夾逼定理lim 1 1 n 2 n'3 .存n n=1方法四&方法五：等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則一一未定式極限（化加減為乘除?。纠?】nx J e e 求極限嘰tanC原式収沁）tan xex (tanx x) limx 0tan x【例6】求極限limx1x2(a

6、x1ax1)1lim x2(axx1ax 1)=limxx2ax 1 (alim x2x11 (a1)=lim x2 1xIn ax(x 1)In a【例7】求極限limx 0、1 + tanx x 1 sin xsinx x2 (3(1 x2)4 1)原式=xm0sin x x21)( 1+tanx 1 sin x)tanx sinx=limX 0.24 2 osinx x x 23limx 0xtan x(1 cosx)sin x=x叫1 4x23161 cosxcos2xcos3x 【例8】求極限limx 01 cosx解：直接運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價(jià)量代換可得1 cosx cos2x co

7、s3x lim=x 01 cosxlimsinxcos2xcos3x limx 0x4cos x sin 2x cos3xxsin xcos2xcos3x limx 0sin xsin xcos2xcos3x limx 02x2cos xs in 2xcos3x limx 0lim9cosxcos2xsin3x -x 0xsin xcos2xcos3x limx 0si nx2cos xs in 2xcos3x limx 0x4cos xs in 2xcos3x limx 02x【例9】求極限lim logx(xa xb)x解：由換底公式，limxa b ln(x x )ln xlimxaxb

8、xbbx=limx3x3cosxcos2xs in3x limx 0sin x3cosxcos2xs in3x limx 0x9cosxcos2xs in3x limx 0a | bax bxa bx x3x=1+4+9=14方法六:幕指函數(shù)求極限一一取對(duì)數(shù)再取指數(shù)【例10】limn1nsin 一nn2(1limn 1 nsin nn2=limx 1 xsin xx2limt 01sint Q【例11】limx +limx +limt 0limet 0sintsint t 0t301ln xarcta n x2(00)ln xsint t 1sint t t 孑limet 0cost 13t2

9、arcta nx2=elim:+In arcta nx2()In xlimx(一 arctanx2limx-arctanx2lime1 x21 x2【例12】求極限ximZVarc cotxex 1?注意x是趨向正無(wú)窮, 向于正無(wú)窮。但是指數(shù)此時(shí)需要先分析底數(shù)和指數(shù)分別趨向于多少，分析底數(shù)易知底數(shù)趨arccotx這個(gè)函數(shù)不是很熟，可以通過(guò)圖像先分析cotx再分析arccotx趨向于多少，最后得出結(jié)論是指數(shù)趨于0。故是一個(gè)“0 ”型，所以要用“先取對(duì)數(shù)再取指數(shù)”的方法。對(duì)于之后 arccotx的處理，若用羅比達(dá)對(duì)其求導(dǎo)則會(huì)發(fā)現(xiàn)再接下來(lái)比較難做, 這里給出一個(gè)轉(zhuǎn)化為熟悉的， 間的轉(zhuǎn)換有很深的熟悉度

10、?？傻燃恿看鷵Q的式子的方法,方法較靈活,需要對(duì)三角函數(shù)之解原式=limxarccot x ln -xelimx=earccot xl nex 1limx1arctaA Inxex 1ln ex 1 ln xlimx=elimx=exeex 1=e?關(guān)于第三個(gè)等號(hào)左右的變化：令y arc cotx，貝Ucot y，故 tantan y1y arctan，綜上， arc cot xxarctanx方法七：運(yùn)用泰勒定理求極限 適用于直接洛必達(dá)不好算時(shí)考慮的方法?！纠?3】求極限lim0x 0x22 2 1 x2x2(cosx ex )(cosx ex )解1+xx2x4o(x4),x 0 ,cosx

11、x22!o(x3), x 0ex2x2 0(x2),0代入原式可得,XmoH X4X方法八：通過(guò)定積分的概念來(lái)求極限【例14】求limn(&解由于此題無(wú)法直接對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，也無(wú)法用夾逼定理，故想到用定積分的概念來(lái)求解，即即原式=limnn2122nn2n 4 n 9n2n2lim (n11111lim2 2nn1, 211 -nnn11lim2ni 1in1n此時(shí)由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數(shù)112 . 2,3 n1 -1 -nnf (x)在0,1上的定積分，故1 xnn2 4nn2 9_)=2 2 n n1 101 x2dx=4【例15】求極限nlim(n!)n二 lim

12、n1n(n 1)(n 2).2 療n1ilim lnn n i 1 nelim l(n!)n= limnn1n(n 1)(n 2).2 疔n1n(n 1)( n 2).2 1 n limnnlim (23n 11nnnnnn1ni1ln xdx0limnni 1ln nee.1 . z 1 2 3 lim In (-n 1 n、)ennn n nn n1(xlnx x)|o1eelimnk2 2 sin k, ln n【分析】此題看似復(fù)雜，其實(shí)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)仍為無(wú)限項(xiàng)的和式求極限，故再次想到用定積分的概念求解。故我們需要找到定積分概念中和式極限的“-”和 “ f( i) ”。 n1&qu

13、ot;”我們可以類(lèi)似【例 5】，自己把這一項(xiàng)構(gòu)造出來(lái)，而f（ J這一項(xiàng)不同于我們以往做n過(guò)的題目中f（ i）經(jīng)常取小區(qū)間的左端點(diǎn) 丄或右端點(diǎn) 丄，而是取了中間一個(gè)點(diǎn)，但是無(wú)nn論如何，由于“取點(diǎn)的任意性”，只要能表示成f（! 1）, f（-）, f（ i）中的一種即可看作為n n到1上f （x）的定積分。1 n k2sin2 k .lim 2In1nn k 1n1112xln xdxxdx002解：原式=2 2k sink1y In yHy2入11 1入u入0n故原式=11xln xdx042 1x In x 0 o (xln x x)dx【一些核心問(wèn)題&問(wèn)的很多的題目】1、求極限的時(shí)候到底什么時(shí)候可以直接代進(jìn)去?V1 xsin x cosx【例子1】”叫）2xsin 21 cosxcos2xcos3x 【例子2】limx 01 cosx【例子3】