高中數(shù)學競賽平面幾何講座四點共圓問題

1、第四講 四點共圓問題“四點共圓”問題在數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點共圓”作為證題的目的，二是以“四點共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材幾何二冊所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導出來的其他判別方法也可相機采用.1“四點共圓”作為證題目的例1給出銳角ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與AC邊的高BB及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點共圓.(第19屆美國數(shù)學奧林匹克)分析：設PQ，MN交于K點，連接AP，AM. 欲證M，N，P，Q四點

2、共圓，須證MK·KNPK·KQ，即證(MC-KC)(MC+KC)(PB-KB)·(PB+KB) 或MC2-KC2=PB2-KB2 . 不難證明 AP=AM，從而有AB2+PB2=AC2+MC2.故 MC2-PB2=AB2-AC2 =(AK2-KB2)-(AK2-KC2) =KC2-KB2. 由即得，命題得證.例2A、B、C三點共線，O點在直線外，O1，O2，O3分別為OAB，OBC，OCA的外心.求證：O，O1，O2，O3四點共圓.(第27屆莫斯科數(shù)學奧林匹克)分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察OBC及其外接圓，立得OO2

3、O1=OO2B=OCB.觀察OCA及其外接圓，立得OO3O1=OO3A=OCA.由OO2O1=OO3O1O，O1，O2，O3共圓.利用對角互補，也可證明O，O1，O2，O3四點共圓，請同學自證.2以“四點共圓”作為解題手段這種情況不僅題目多，而且結論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個方面.(1)證角相等例3在梯形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分別在AD，BC上，DAMCBK.求證：DMACKB.（第二屆袓沖之杯初中競賽）分析：易知A，B，M，K四點共圓.連接KM，有DABCMK.DAB+ADC180°，CMK+KDC180°.故C，D，K，M四點共圓CMDDKC.但已

4、證AMBBKA，DMACKB.(2)證線垂直例4O過ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).ABC 外接圓和BKN外接圓相交于B和M.求證：BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國際數(shù)學競賽題，曾使許多選手望而卻步.其實，只要把握已知條件和圖形特點，借助“四點共圓”，問題是不難解決的. 連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G.易得GMC=BAC=BNK=BMK.而COK=2·BAC=GMC+BMK=180°-CMK， COK+CMK=180°C，O，K，M四點共圓. 在這個圓中，由 OC=OK OC=OKOMC=OMK.

5、但GMC=BMK， 故BMO=90°.(3)判斷圖形形狀例5四邊形ABCD內接于圓，BCD，ACD，ABD，ABC的內心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學奧林匹克國家集訓選拔試題)分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得AICB=90°+ADB=90°+ACB=AIDBA，B，ID，IC四點共圓.同理，A，D，IB，IC四點共圓.此時AICID=180°-ABID =180°-ABC，AICIB=180°-ADIB=180°-ADC，AICID+AICIB=360

6、6;-(ABC+ADC)=360°-×180°=270°.故IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個內角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計算例6正方形ABCD的中心為O，面積為19892.P為正方形內一點，且OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=_(1989，全國初中聯(lián)賽)分析：答案是PB=42.怎樣得到的呢？連接OA，OB.易知O，P，A，B四點共圓，有APB=AOB=90°. 故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7設有邊長為1的正方形，試

7、在這個正方形的內接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯(lián)賽)分析：設EFG為正方形ABCD 的一個內接正三角形，由于正三角形的三個頂點至少必落在正方形的三條邊上，所以不妨令F，G兩點在正方形的一組對邊上. 作正EFG的高EK，易知E，K，G，D四點共圓KDE=KGE=60°.同理，KAE=60°.故KAD也是一個正三角形，K必為一個定點. 又正三角形面積取決于它的邊長，當KF丄AB時，邊長為1，這時邊長最小，而面積S=也最小.當KF通過B點時，邊長為2·，這時邊長最大，面積S=2-3也最大.例8NS是O

8、的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線交O于Q.求證：RSMQ.(1991，江蘇省初中競賽)分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交O于Q.連接MQ，SQ. 易證N，M，R，P四點共圓，從而，SNQ=MNR=MPR=SPQ=SNQ. 根據(jù)圓的軸對稱性質可知Q與Q關于NS成軸對稱MQ=MQ. 又易證M，S，Q，R四點共圓，且RS是這個圓的直徑(RMS=90°)，MQ是一條弦(MSQ90°)，故RSMQ.但MQ=MQ，所以，RSMQ.練習題1.O1交O2 于A，B兩點，射線O1A交O2 于C點，射線O2A交O1 于D點.求證：點A是

9、BCD的內心.(提示：設法證明C，D，O1，B四點共圓，再證C，D，B，O2四點共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點共圓.)2.ABC為不等邊三角形.A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2. (提示：設法證ABA1與ACA1互補造成A，B，A1，C四點共圓；再證A，A2，B，C四點共圓，從而知A1，A2都是ABC的外接圓上，并注意A1AA2=90°.)3.設點M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：M1M2M3也是正三角形.4.在RtABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點，過A點作PC的垂線交過B所作AB的