高中數(shù)學(xué)常見的知識(shí)類比

1、專題 高中數(shù)學(xué)常見的知識(shí)類比一、類比的定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征，和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理的一般步驟： 找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；一般地，事物之間的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個(gè)事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們?cè)诹硪恍┬再|(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。類比推理的特點(diǎn)：類比

2、是人們已經(jīng)掌握了事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，它以已有認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；類比是從一種事物的特殊屬性推測出另一種事物的特殊屬性；類比的結(jié)果是猜測性的，不一定可靠，但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能二、常見的幾種類比：代數(shù)方面：加乘，減除，乘乘方，除開方，實(shí)數(shù)與向量.數(shù)與式（分?jǐn)?shù)對(duì)分式、整數(shù)對(duì)整式、有理數(shù)對(duì)有理式）.等式不等式，等差數(shù)列等比數(shù)列等等。幾何方面：平面（二維）立體（三維），線段面，面積體積，平面角二面角.解析幾何方面：圓橢圓，橢圓雙曲線【1】 類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，并列出它們類似的性質(zhì)。類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若a,bR,則a+bR 若a,bR,則abR運(yùn)算律

3、(交換律和結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c) ab=ba(ab)c=a(bc)逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a 乘法的逆運(yùn)算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a單位元a+0=a a·1=a【2】根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)：(1) a=bÞa+c=b+c; (1) abÞa+cb+c;(2) a=bÞ ac=bc; (2) abÞ acbc;(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) abÞa2b2;等等【3】實(shí)數(shù)系

4、與向量系的類比：實(shí)數(shù)系向量系實(shí)數(shù)0、單位1 數(shù)a的相反數(shù)a實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值| a |零向量、單位向量向量的相反向量向量的模|運(yùn)算規(guī)律：交換律：abba結(jié)合律：(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)分配律：a(bc)abac消去律：若abac，a0，則bc若ab0，則a0，或b0公式：(ab)(ab)=a2b2(a±b)2a2±2abb2 | a·b | a |·| b |運(yùn)算規(guī)律：交換律：結(jié)合律：()() (·)(·)（乘法不滿足）分配律：·()··不滿足消去律：若··，那么與不一定

5、相等.若·0，那么不一定或. 公式：()·()22 (±)22±2·2 |·|·| a | b | a±b | a | b |±|【4】利用平面向量的性質(zhì)類比空間向量的性質(zhì)【5】平面幾何與立體幾何的類比：平面幾何立體幾何角及角平分線二面角及角平分面線段的垂直平分線線段的垂直平分面三角形的三條邊四面體的四個(gè)面平行四邊形對(duì)角線相交一點(diǎn)，并且被平分平行六面體的對(duì)角線相交于一點(diǎn)，并且被平分【6】試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長

6、的點(diǎn)的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長表面積面積體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓的周長Cpd（d為直徑）球的表面積Spd2（d為球直徑）圓的面積Spr2（r為半徑）球的體積Vpr3（r為球半徑）（這一點(diǎn)不是很好的類比）圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩條弦長相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩截面圓的面積相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切

7、線的直線必經(jīng)過圓心經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心引申：試通過圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積為最大，最大值為2R2 ”，猜測關(guān)于球的相應(yīng)命題為_【7】三角形與四面體的性質(zhì)類比：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半四面體的中位面（同一頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱中點(diǎn)確定的截面）平行于第四個(gè)面，面積等于第四個(gè)面的三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)是三角形外接圓的圓心（外心）四面體的六條棱的中垂面（經(jīng)過棱的中點(diǎn)且垂直于棱的平面）交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)是四面體外接球的球心，（或經(jīng)過各個(gè)面三角形

8、外心且垂直該面的垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是四面體外接球的球心）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心）四面體的四個(gè)面構(gòu)成的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心三角形的三條中線相交于一點(diǎn)（重心），這點(diǎn)把每條中線分成2：1.四面體的每個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面三角形的重心的連線相交于一點(diǎn)（重心），且被該點(diǎn)分成3：1三角形的面積Sah四面體的體積VSh三角形的面積為（r為三角形內(nèi)切圓的半徑，a,b,c為三角形三邊長）則四面體的體積為V=R(S1+S2+S3+S4)（R為四面體內(nèi)切球半徑，S1,S2,S3,S3分別為四個(gè)面的面積【8】直角三角形與直角四面體的類比：直角三

9、角形直角四面體（在四面體中，若有一頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱兩兩互相垂直，則改四面體成為直角四面體）如圖，RtCAB中，C90°，OABcabhH如圖，在四面體OABC中，OAOB，OBOC，OCOA，O為直角頂點(diǎn)：OABCHabcAB2OA2OB2（c2a2b2）S2ABCS2OABS2OBCS2OCAcos2Acos2B1cos2acos2bcos2g1（a、b、g是側(cè)面與底面所成的角）外接圓半徑R外接球半徑R內(nèi)切圓半徑r內(nèi)切球半徑r【9】等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比：等差數(shù)列an（公差為d）等比數(shù)列bn（公比為q）通項(xiàng)：ana1(n1)d通項(xiàng)：bnb1·qn1aman(mn)dqm

10、n若a10，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有(s1)at(t1)as若b10，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有bts1bst1若mnpr，其中m、n、p、rN*，則amanapar若mnpr，其中m、n、p、rN*，則bm·bnbp·br若mn2p，其中m、n、pN*，aman2ap若mn2p，其中m、n、pN*，bm·bnbp2Sn，S2nSn，S3nS2n構(gòu)成等差數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n構(gòu)成等比數(shù)列前n項(xiàng)和：Sna1a2an前n項(xiàng)積：Tnb1·b2··bn若ak0，2kn1，k，nN*則有a1a2ana1a2a2kn1若bk

11、1，2kn1，k，nN*則有b1·b2··bnb1·b2··b2kn1若cn，則數(shù)列cn也是等差數(shù)列若dn，則數(shù)列dn也是等比數(shù)列若cn，則數(shù)列cn也是等差數(shù)列.若dn(b1····)，則數(shù)列dn也是等比數(shù)列.【10】橢圓與雙曲線的類比：橢 圓雙曲線xA1B1B2F1A2F2H2H1OyF1F2OyxA1A2B2B1H2H11（ab0）1（a0，b0）焦半徑：| PF1 |aex0，| PF2 |aex0焦半徑：左支上| PF1 |(ex0a)，| PF2 |(ex0a)右支上| PF1 |ex

12、0a，| PF2 |ex0a通徑：H1H2通徑：H1H2P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2q，則Sb2tanP是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2q，則Sb2cotP是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與圓x2y2a2內(nèi)切，如下圖：PFP是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與圓x2y2a2內(nèi)切或外切，如下圖：PF1F2過橢圓上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程為：1過雙曲線上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程為：1若P0(x0，y0)在橢圓1（ab0）外 ，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是1.若P0(x0，y0)在雙曲線1（a0，b0）外 ，過P0作

13、雙曲線的兩條切線的切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是1.橢圓的焦點(diǎn)PF1F2的旁切圓圓心M的軌跡是過長軸的端點(diǎn)且垂直于長軸的直線.PF1F2M雙曲線的焦點(diǎn)PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的軌跡是過實(shí)軸的端點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線.PF1F2AB是橢圓的長軸，O是橢圓的中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的的焦點(diǎn)，直線AC，BD是橢圓過A、B的切線，P是橢圓上任意一點(diǎn)，CD是過P的切線，則有PF1·PF2PC·PDAB是雙曲線的實(shí)軸，O是雙曲線的中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的的焦點(diǎn)，直線AC，BD是雙曲線過A、B的切線，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，CD是過P的切線，則有PF1·PF2PC&

14、#183;PD三、類比練習(xí)題：（一）選擇題：1.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵?）各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等.A. B. C. D. 試題類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖歉骼忾L相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都

15、相等解答：解：在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何性質(zhì)時(shí)，我們常用的思路是：由平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)，類比推理空間幾何中線的性質(zhì)；由平面幾何中線的性質(zhì)，類比推理空間幾何中面的性質(zhì)；由平面幾何中面的性質(zhì)，類比推理空間幾何中體的性質(zhì)；或是將一個(gè)二維平面關(guān)系，類比推理為一個(gè)三維的立體關(guān)系，故類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，推斷：各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等都是恰當(dāng)?shù)墓蚀鸢笧椋?.三角形面積公式為S(abc)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓

16、的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積公式為（ ）A.VabcB. VShC. V(S1S2S3S4)r（S1，S2，S3，S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球半徑）D. V(abbcca)h（h為四面體的高）3.已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形的面積公式為S扇（ ）A. B. C. D. 不可類比（二）填空題：4.由“等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等”可以類比推出正棱錐的類似屬性是 . 解析:等腰三角形的底與腰可分別與正棱錐的底面與側(cè)面類比. 答案：各側(cè)面與底面所成二面角相等,各側(cè)面都是全等的三角形或各側(cè)棱相等5.在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、A

17、C互相垂直，則AB2AC2BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 ”；斜邊的平方等于兩個(gè)直角邊的平方和，可類比到空間就是斜面面積的平方等于三個(gè)直角面的面積的平方和，邊對(duì)應(yīng)著面解答：解：由邊對(duì)應(yīng)著面，邊長對(duì)應(yīng)著面積，由類比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB26.從裝有n1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0mn，m、nN*），共有種取法，在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，一類是取出的m個(gè)球中有一個(gè)1黑球，所以

18、共有種，即有等式：成立. 試根據(jù)上述思想化簡下列式子： .7.在圓中有結(jié)論:如圖,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過A、B的切線，P是圓O上任意一點(diǎn),CD是過P的切線，則有”. 類比到橢圓：“AB是橢圓的長軸，O是橢圓的中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的的焦點(diǎn)，直線AC，BD是橢圓過A、B的切線，P是橢圓上任意一點(diǎn)，CD是過P的切線，則有 .” 8.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個(gè)棱長均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為 ；【】（三）解答題：9.DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22EF·EFcosDFE，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABCA1B1C1的3個(gè)側(cè)