常微分方程期末試卷(A)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上廣西師范大學(xué)漓江學(xué)院試卷（2008 2009 學(xué)年第二學(xué)期）課程名稱：常微分方程 課程序號(hào)： 開(kāi)課院系：理學(xué)系任課教師：陳迪三 年級(jí)、專業(yè)：07數(shù)學(xué) 考試時(shí)間：120分鐘 考核方式：閉卷 開(kāi)卷 試卷類型：A卷 B卷 得 分評(píng)卷人一、 填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)(請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分) .1、方程有積分因子的充要條件為.2、連續(xù)是保證對(duì)滿足利普希茨條件的 充分條件 條件3、函數(shù)組的朗斯基行列式值為 4、若是二階齊次線性微分方程的基本解組，則它們 無(wú) (有或無(wú))共同零點(diǎn) 5、若矩陣具有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值分

2、別為，那么常系數(shù)線性方程組的一個(gè)基解矩陣=.得 分評(píng)卷人二、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.)(請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的括號(hào)中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分)1、形如的方程是（ D ）.A歐拉方程 B貝塞爾方程 C黎卡爾方程 D伯努力方程 2、設(shè)連續(xù)，是在上的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，且，則（ A ）. （A） （B） （C） （D） 3、二階非齊次線性微分方程的所有解（ C ） （A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間 （B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間 （C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間 （D）構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間 4、如果，都在平面上連續(xù)，而且有界，則方程 的任一解的存在區(qū)間（ A ） （A）必為 （B）必為 （C）必

3、為 （D）將因解而定 5、若是齊次線性方程組的一個(gè)基解矩陣，為非奇異常數(shù)矩陣，那么是否還是此方程組的基解矩陣（ B ）. (A) 不是 (B) 是 (C) 也許是 (D) 也許不是得 分評(píng)卷人三、 計(jì)算題(本題共4小題，每小題6分，共24分)(求下列微分方程的通解) .得分1、 ； 1、解：將方程變?yōu)?.（2分） 則有 .（1分）從而得 (為任意的常數(shù)） （3分）2、 ；解：由于，所以原方程是恰當(dāng)方程 （2分 ） 假設(shè)存在使得它同時(shí)滿足方程： 和 （1分 ） 則有且，所以 （2分 ），即原方程的通解為： .（1分）3、 ； 解：齊次方程的特征方程為 齊次方程的通解為 （2分） 令 ，并求其特解

4、如下：由于是單根，故設(shè)特解為 代入原方程比較系數(shù)得 所以 則原方程有特解 （3分） 故原方程的通解為 （1分）4、 ；解：令方程的解為，代入原方程有 （3分） 于是（二重）（1分）故原方程的通解為 （2分）得 分評(píng)卷人四、 解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)(寫(xiě)出解題的詳細(xì)步驟) .得分（1）設(shè)函數(shù)連續(xù)且滿足，求.解：兩邊關(guān)于求一階導(dǎo)數(shù)，有 （2分） 兩邊關(guān)于再求一階導(dǎo)數(shù)，得 （2分）即 而且 （1分）而方程的解表示為 （3分）由，可得 （2分）（2） 求方程組滿足初始條件的解.解：方程組的特征方程為，所以特征根為（二重） （2分）對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣 （3分）滿足初始條件的特解 （2分） （3分）得 分評(píng)卷人五、證明題(本大題共2小題，每小題13分，共26分)(寫(xiě)出解題的詳細(xì)步驟，空間不夠請(qǐng)將答案寫(xiě)在試卷背后) .1、假設(shè)是二階齊次線性方程的解，其中在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：，其中為常數(shù), .證：（） （6分）（）因?yàn)闉榉匠痰慕?，則由劉維爾公式 （3分） 兩邊都乘以則有：，于是： （4分）2. 設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù).證明：因?yàn)榉匠痰娜我鈨蓚€(gè)解 所以， （4分）于是構(gòu)成的伏朗斯基行列式 （5分）由于和是方程的解，因此，所以，故 （4分）學(xué) 號(hào)： 姓 名： 所屬院系