為什么要用等式的性質(zhì)解方程

1、數(shù)學(xué)課程改革推進(jìn)到小學(xué)高年級(jí)之后，部分教師對(duì)教材，依據(jù)等式性質(zhì)解方程的意義不很理解，對(duì)由此生成的一些問題感到困惑，總覺得還是原來依據(jù)四則運(yùn)算關(guān)系解方程，便于教、便于學(xué)。本文僅就與此相關(guān)的一些問題，談?wù)剛€(gè)人的有關(guān)認(rèn)識(shí)與體會(huì)，供大家參考。一、為什么要用等式基本性質(zhì)解方程    在我國，九年制義務(wù)教育已經(jīng)基本普及，小學(xué)由原先具有相對(duì)獨(dú)立性降低為九年義務(wù)教育的一個(gè)學(xué)段。順應(yīng)著基礎(chǔ)教育的這一發(fā)展，新一輪課程改革中推出的各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，都將小學(xué)、初中視為一個(gè)整體，予以通盤考慮，這是一大進(jìn)步。數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)然也不例外。可以說，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研制、頒布為我們研究和踐

2、行中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，提供了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求等多方面的支撐和保障。我們應(yīng)該基于這樣的背景，展開有關(guān)的討論。    其實(shí)解方程的依據(jù)，嚴(yán)格說來，應(yīng)該是方程的同解定理。但由于中小學(xué)數(shù)學(xué)的理論要求不高，再說在陳述等式的第一條性質(zhì)時(shí)，只要指出等式兩邊都乘或除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，這兩條等式的基本性質(zhì)就可以作為同解定理來使用。所以，多年以來，即使是中學(xué)數(shù)學(xué)教材，也大多采用等式的基本性質(zhì)作為解方程的依據(jù)。這樣處理可以避開“同解方程”等概念，減少教學(xué)的麻煩。    過去，在小學(xué)教學(xué)解方程，依據(jù)的是四則運(yùn)算之間的關(guān)系，如“加數(shù)

3、=和-另一個(gè)加數(shù)”，“因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)”等等。由于這些關(guān)系小學(xué)生在學(xué)習(xí)加減法、乘除法時(shí)早就不斷有所感知，積累了比較豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，所以到小學(xué)中高年級(jí)再加以概括就顯得水到渠成，運(yùn)用這些關(guān)系解未知數(shù)只出現(xiàn)在等式一邊的簡易方程也比較自然。    但是，這種“算術(shù)”的解方程思路畢竟走不了多遠(yuǎn)，一到中學(xué)就被徹底拋棄，取而代之的是等式的基本性質(zhì)。而且小學(xué)依據(jù)四則運(yùn)算關(guān)系解方程教得越多，練得越鞏同，初中方程教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯，入門障礙就越大。當(dāng)然，負(fù)遷移的程度也取決于初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)策略與教學(xué)藝術(shù)，但在整體上存在負(fù)遷移是一個(gè)不爭的事實(shí)。 &

4、#160;  實(shí)際上除了小學(xué)數(shù)學(xué)教師，成年人有幾個(gè)還記得小學(xué)依據(jù)四則運(yùn)算關(guān)系解方程的那些套路呢?    既然一到中學(xué)就被取代，并將徹底遺忘為什么就不能改變，尋找一條新的可持續(xù)發(fā)展的出路呢?現(xiàn)在，為了減少過渡性的、很快被淘汰的知識(shí)，為了避免中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)各自教一套，避免中學(xué)“另起爐灶”，為了促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移，將等式基本性質(zhì)作為小學(xué)解方程的依據(jù)，使中小學(xué)解方程的思路得到基本統(tǒng)一，解釋趨于一致。這是一項(xiàng)很有意義的改革，值得我們?yōu)橹畤L試、探索，積累經(jīng)驗(yàn)。 上海市的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，從上世紀(jì)90年代起就引進(jìn)了等式基本性質(zhì)。起初也有一些教師

5、感覺不適應(yīng)，特別是部分有經(jīng)驗(yàn)的老教師曾有抱怨。幾年以后，熟悉了、習(xí)慣了，也就接受了這一改革。更為重要的原因是，小學(xué)生沒有先人為主的成見，他們對(duì)以天平為直觀形象載體的等式性質(zhì)，感到新奇、有趣，樂意接受，也容易理解。這是改革能夠成功的必要條件。當(dāng)然，課程改革應(yīng)當(dāng)是一種自上而下與自下而上相結(jié)合的互動(dòng)過程，因此，教師對(duì)改革的認(rèn)同情況和承受能力，也是必須考慮的。通過實(shí)踐還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，以等式基本性質(zhì)為依據(jù)，有利于凸顯等量關(guān)系，有助于滲透初步的方程思想和初步的數(shù)學(xué)建模思想。這些則是改革初衷之外的收獲了。無須諱言，上海市前十年的小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材與本文討論主題相關(guān)的改革，也有值得反思之處。如為了徹底排除依據(jù)等式

6、基本性質(zhì)解方程的障礙，提前教學(xué)正負(fù)數(shù)四則運(yùn)算，安排成三個(gè)“循環(huán)圈”；為了解決應(yīng)用題難教、難學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)列方程解決問題，期望在小學(xué)階段就用方程解法取代算術(shù)解法。實(shí)踐表明，操之過急，利弊參半。僅就算術(shù)解法而言，它是列方程的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)方法之一。如果認(rèn)為有中學(xué)以上學(xué)歷的成年人，解應(yīng)用題時(shí)首選方程解法，算術(shù)解法早忘了，那是一種誤解。事實(shí)上，成年人只在面對(duì)教科書、習(xí)題集中的“實(shí)際問題”時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)列方程的條件反射。而在日常生活中，人人幾乎天天都在本能地使用算術(shù)方法解決那些只需簡單四則運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)問題。正因?yàn)槿绱耍M管小學(xué)生用算術(shù)方法解決實(shí)際問題的反復(fù)練習(xí)會(huì)給初中學(xué)習(xí)列方程解決問題帶

7、來一定的負(fù)遷移，我們卻不能“因噎廢食”，過早拋棄算術(shù)解法。這與解方程用等式基本性質(zhì)取代四則運(yùn)算關(guān)系具有質(zhì)的差異，不宜相提并論。 二、不出形如a-x=b與a÷x=b的方程，可行嗎考慮到在小學(xué)階段依據(jù)等式基本性質(zhì)解形如如a-x=b與a÷x=b的方程不那么方便，因此目前多數(shù)教材采取了不出這兩種類型方程的處理策略。這也是一些教師感到疑惑的問題。歷史地看，在小學(xué)數(shù)學(xué)中引進(jìn)方程由來已久。最初的目的：一是針對(duì)應(yīng)用題教學(xué)的難點(diǎn)，旨在化難為易，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力；二是加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，為中學(xué)較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)方程的知識(shí)作鋪墊。應(yīng)該說，兩方面的目的，至今仍未過時(shí)。然而

8、，在以往的教學(xué)實(shí)踐中，由于種種主客觀的原因常常異化為一招一式的解題教學(xué)。雖說教師也會(huì)對(duì)算術(shù)解法與方程解法的特點(diǎn)加以對(duì)比；引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)應(yīng)用題的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，但大家更多關(guān)注的還是方程的類型、列方程解的應(yīng)用題的類型。換句話說，以往我們更為關(guān)注的是知識(shí)點(diǎn)。如今，新一輪課程改革強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程的經(jīng)歷與體驗(yàn)，這一與時(shí)俱進(jìn)的過程觀已被越來越多的教師所認(rèn)同。既然如此，方程與實(shí)際問題就都只是“例子”，且都是讓學(xué)生經(jīng)歷過程、獲得體驗(yàn)的“載體”。也就是說，如今我們更為關(guān)注的是知識(shí)的“過程"并由此演繹、推論。既然是“例子”，就不必求全，少了a-x=b與a÷x=b這兩個(gè)例子，本應(yīng)坦然，沒什么好

9、大驚小怪的。但是，長期工作在教學(xué)第一線的教師又深知例子"、“知識(shí)點(diǎn)”的重要性，不敢掉以輕心，這也是有道理的。本來嘛，“例子"承載“過程”，知識(shí)的“點(diǎn)"與知識(shí)的“過程”相輔相成，很難說孰輕孰重。再者，舍棄了兩個(gè)“例子”，總感覺不全面、有缺失，過去教得駕輕就熟，學(xué)生掌握也沒有困難，為什么就不要了呢?因此有必要作進(jìn)一步的分析。在小學(xué)，形如a-x=b的方程與形如a+x=b的方程，不論是依據(jù)四則運(yùn)算的關(guān)系解，還是依據(jù)等式基本性質(zhì)解，都是有區(qū)別的。但是到了初中，學(xué)了有理數(shù)的四則運(yùn)算之后，它們的區(qū)別幾乎可以忽略不計(jì)，因?yàn)閍-x=b可以看做a+（-x）=b。所以即使小學(xué)不出現(xiàn)形如

10、a-x=b的方程，中學(xué)也不必補(bǔ)充例子作為新授內(nèi)容來教?？梢?，我們大可不必因?yàn)樯倭诉@個(gè)例子而不放心、放不下。再說，形如a÷x=b的方程，它本來就屬于分式方程。我們知道。解分式方程需要去分母，去分母有可能帶來“增根”。所以，解分式方程，哪怕你確信整個(gè)求解過程準(zhǔn)確無誤，也要“驗(yàn)根”即判斷你所得到的是原方程的解還是增根。這層意思超出了小學(xué)數(shù)學(xué)“驗(yàn)算”的內(nèi)涵，在小學(xué)是不大可能滲透的。因此，把這個(gè)“例子"讓給中學(xué)，以免生成誤解，是合情合理的。這樣一來，剩下形如x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b的方程，求解思路就趨于統(tǒng)一：    

11、;，x+a=b，x-a=b，都是在方程兩邊加上或減去a； ax=b，x÷a=b，都是在方程兩邊乘或除以a(aO)。    、因此，過去四種情況，四條依據(jù)，需要安排四道例題；現(xiàn)歸結(jié)為兩條依據(jù)，只需兩道例題，有利于學(xué)生舉一反三。而且，回避上述兩種形式的方程，并不影響學(xué)生列方程解決實(shí)際問題。因?yàn)楫?dāng)能列出形如a-x=b與a÷x=b的方程時(shí)，總能根據(jù)實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，改寫成形如x+b=a與bx=a的方程。這也體現(xiàn)了列方程解決問題，常?？梢曰嫦蛩季S為順向思維的優(yōu)勢?？磥恚瑢?shí)施義務(wù)教育，貫徹九年制義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，要求我們應(yīng)當(dāng)更

12、多地考慮中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的銜接，更加自覺地從中小學(xué)數(shù)學(xué)的全局、從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展著眼，分析教學(xué)內(nèi)容的地位與作用。這在某種意義上，可以說是“科學(xué)發(fā)展觀"、是“以學(xué)生發(fā)展為本”理念的實(shí)際體現(xiàn)。三、相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策以上多角度地闡述，意在講清改革舉措的原委、意圖及相關(guān)的考慮。但對(duì)于教學(xué)實(shí)踐工作者來說，理解、認(rèn)同其所以然之后，還需面對(duì)并妥善解決一系列的教學(xué)實(shí)際問題。光知道要過河，如果沒有可操作的過河方法，仍然無濟(jì)于事。從已有教學(xué)實(shí)踐來看，不少教師常感為難的問題主要有以下幾個(gè)。 1教材不出“等式基本性質(zhì)”的名稱，怎么講? 為了減少數(shù)學(xué)的名詞術(shù)語，降低數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)要求，減

13、輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，現(xiàn)行教材大多不出現(xiàn)“等式基本性質(zhì)”之類的名詞。這當(dāng)然是對(duì)的，因?yàn)樵谛W(xué)確實(shí)需要控制出現(xiàn)數(shù)學(xué)名詞術(shù)語的數(shù)量，況且不出名詞，甚至不用文字概括等式基本性質(zhì)，就讓學(xué)生用自己的語言陳述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，都是可行的。但這并不是說教材回避的語言教師就不能說。因?yàn)樵趯?shí)際教學(xué)過程中，不少教師常常感到每次提到等式基本性質(zhì)時(shí)，都要把有關(guān)的內(nèi)容說出來，如“等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)等式不變”，很不方便，最好有個(gè)名稱。于是，有的教師稱之為“等式的規(guī)律”，也有教師說成“天平保持平衡的道理”或稱“天平原理”。這些語言作為小學(xué)階段的通俗說法，并不為錯(cuò)。也有實(shí)踐表明，給出“等式基本性質(zhì)”這一名詞，小學(xué)生一般不感

14、到生僻，他們完全能夠接受。鑒于此，筆者以為，既然是規(guī)范的數(shù)學(xué)術(shù)語，學(xué)生又能接受，就不必刻意回避，如果教師覺得需要，教學(xué)中引入這一名詞也未嘗不可。2初學(xué)解方程時(shí)，學(xué)生不習(xí)慣運(yùn)用等式的基本性質(zhì)，怎么辦? 首先，教學(xué)等式基本性質(zhì)時(shí)，可以安排一些口答練習(xí)，如：a8=39，a=(  )，"÷7=85÷7，=(  )，以便從一開始就盡可能地幫助學(xué)生初步體會(huì)等式基本性質(zhì)的優(yōu)勢，逐步熟悉依據(jù)等式基本性質(zhì)解方程的思路。其次，教學(xué)解方程時(shí)，可以先通過復(fù)習(xí)，讓學(xué)生再現(xiàn)、復(fù)述等式基本性質(zhì)的內(nèi)容，為新授作好鋪墊；給出例題后，再用天平的教具或

15、者圖示表示例題的方程；同時(shí)通過明確的指導(dǎo)語予以思維定向如“從今天起，我們將學(xué)習(xí)怎樣用天平保持平衡的道理來解方程”。這些都是行之有效的措施，一般來說，會(huì)有學(xué)生想到運(yùn)用等式的基本性質(zhì)來解方程。 由于教材在設(shè)計(jì)例題時(shí)，為了直觀，選用的數(shù)據(jù)都比較小學(xué)生一眼就能看出方程的解。這時(shí)要求學(xué)生說出解方程的根據(jù)，顯得有些“畫蛇添足”，而且往往會(huì)有學(xué)生想到的根據(jù)是“求加數(shù)，用和減去另一個(gè)加數(shù)"。對(duì)此，教師可以強(qiáng)調(diào)新的思考方法以后到中學(xué)解更復(fù)雜的方程時(shí)一直有用，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)掌握根據(jù)等式基本性質(zhì)解方程的積極性。 有必要指出：學(xué)生自發(fā)地想到運(yùn)用四則運(yùn)算間的關(guān)系解方程，教師應(yīng)給予肯定，但以

16、根據(jù)教材突出用等式性質(zhì)解的思考方法為宜。實(shí)踐表明，教學(xué)中兩類不同依據(jù)、兩種不同思路同時(shí)并存，由著學(xué)生“喜歡什么，選用什么"，則中下水平的學(xué)牛容易產(chǎn)生混淆，容易出現(xiàn)兩種方法都沒掌握好的現(xiàn)象。這里，我們可以通過練習(xí)，如x+3.2=4.6，x-1.8=3，1.6x=6.4x÷7=0.35等，讓學(xué)生說說，哪幾題是在方程兩邊加上或減去一個(gè)數(shù)，哪幾題是在方程兩邊乘或除以一個(gè)不等于零的數(shù)，從而使學(xué)生初步體會(huì)用天平保持平衡的道理來解方程思路比較統(tǒng)一的優(yōu)點(diǎn)。還可以告訴學(xué)生，以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)解更復(fù)雜的方程時(shí)這一優(yōu)勢會(huì)更加明顯。3解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生列出形如a-x=b與ax=b的方程，怎么辦?&#

17、160;   。這是列方程解決實(shí)際問題時(shí)學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象。對(duì)此，常用的對(duì)策有兩條。其一，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，將可用加減法表示的等量關(guān)系統(tǒng)一成用加法表示的等量關(guān)系；將可用乘除法表示的等量關(guān)系統(tǒng)一成用乘法表示的等量關(guān)系。例如，路程÷速度=時(shí)間，路程÷時(shí)間=速度，可以歸結(jié)為速度×時(shí)間=路程。有些教師顧慮這是不是有違“算法多樣化”的精神，其實(shí)這種顧慮是對(duì)課改理念的誤讀。首先，同一等量關(guān)系的不同表達(dá)形式，常常并無本質(zhì)差異：其次，一題多解與多題一解，算法多樣化與算法優(yōu)化，發(fā)散思維與收斂思維，都是相輔相成的，不應(yīng)偏廢。而且，這里的收斂思維、多題一“式”，恰恰體現(xiàn)了列方程解決問題思路統(tǒng)一的特點(diǎn)，是必須讓學(xué)生初步感悟、有所體會(huì)的。其二，如果學(xué)生感興趣，也可引導(dǎo)他們自己嘗試解形如a-x=6與a=6的方程。試舉一例：李老師買了2支同樣的鋼筆付50元，找回1 8元求鋼筆的單價(jià)。學(xué)生設(shè)鋼筆每支x元，得50一2x=18或者(5018)÷x=2。怎么解呢?不妨聯(lián)想天平，兩邊盤子內(nèi)的物品