《微積分》(下)復習大綱

1、微積分（下）復習大綱第六章 定積分教學目的和要求：1、了解定積分的概念及存在定理，理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理2、掌握牛頓-萊布尼茲公式，掌握定積分的換元法和分部積分法3、理解兩種廣義積分的概念并掌握它們的求法4、理解定積分的應用并掌握它們的求法重點：1、 牛頓-萊布尼茲公式2、 定積分的換元法和分部積分法難點：1、 定積分的概念2、 積分上限函數(shù)的概念與應用3、 定積分的換元法和分部積分法中的技巧第一節(jié) 定積分的概念和性質(zhì)教學目的和要求： 1、通過曲邊梯形的面積以及變速直線運動的路程實例引入定積分的概念，從中領會從有限到無限、特殊到一般的數(shù)學思想，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和利用數(shù)學解決實際問

2、題的能力。2、使學生掌握定積分的概念和存在定理，并通過例題使學生學會如何處理和解決相應的數(shù)學問題。3、理解定積分的基本性質(zhì)和中值定理重點：定積分的概念教學過程：一、問題的提出1、 幾何上，曲邊梯形的面積2、物理上，變速直線運動的路程二、定積分的定義1、定積分的定義2、定積分存在的條件3、定積分的幾何意義三、定積分的性質(zhì) 1、線性性質(zhì)（1）2、線性性質(zhì)（2）3、區(qū)間可加性4、用定積分求矩行面積的公式5、定積分的不等式性質(zhì)6、定積分的估值不等式7、定積分的中值定理第二節(jié) 微積分基本定理教學目的和要求：1、掌握積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)2、掌握微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式），會用這個公式求一些

3、函數(shù)的定積分重點：1、積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)2、牛頓-萊布尼茨公式教學過程：一、積分上限函數(shù)的定義及其性質(zhì)1、積分上限函數(shù)的定義2、積分上限函數(shù)的性質(zhì) 3、原函數(shù)存在定理二、牛頓-萊布尼茨公式第三節(jié) 定積分的積分法教學目的和要求：1、使學生掌握定積分的換元積分法、分部積分法。重點：定積分的換元積分法、分部積分法。一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法第四節(jié) 定積分的應用教學目的和要求：1. 理解定積分的應用于求面積、體積。重點：在直角坐標系中列出所求問題的積分式一、平面圖形的面積 二、體積1. 平行截面面積為已知的立體的體積2.旋轉(zhuǎn)體的體積 一般情況，閉區(qū)間a,b上連續(xù)曲線構成的曲邊梯形

4、繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，閉區(qū)間c,d上連續(xù)曲線構成的曲邊梯形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，叫旋轉(zhuǎn)體。 第五節(jié) 廣義積分教學目的和要求：1、使學生理解廣義積分實際上是普通定積分的極限，并會求解廣義積分2、培養(yǎng)學生對廣義積分尤其是無界函數(shù)廣義積分的識別能力重點：1、廣義積分的識別與計算一、廣義積分的計算1、無窮限的廣義積分廣義積分當時收斂，時發(fā)散2、無界函數(shù)的廣義積分 廣義積分當時收斂，當時發(fā)散第七章 無窮級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)教學目標：1、理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念.2、掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)收斂和發(fā)散的條件.重點難點：級數(shù)概念及其斂散性教

5、學活動：一、級數(shù)的概念1、級數(shù)的定義2、級數(shù)的收斂與發(fā)散存在(不存在)二、基本性質(zhì)1、級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.2、收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.3、級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.4、收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.5、收斂的必要條件第二節(jié) 正項級數(shù)的斂散性判別教學目標：1、掌握正項級數(shù)的比較判別法、比值判別法，會用根值判別法.2、掌握p級數(shù)的收斂與發(fā)散條件.重點難點：常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法一 正項級數(shù)及其審斂法1、正項級數(shù)的定義2、正項級數(shù)收斂的充要條件:3、比較判別法（極限判別法）4、比值判別法(達朗貝爾DAlembert判別法)5、根值判別法

6、 (柯西判別法)第三節(jié) 任意級數(shù)的斂散性判別教學目標：1、掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法。 2、掌握絕對收斂與條件收斂的概念及性質(zhì).重點難點：萊布尼茲判別法、絕對收斂與條件收斂的判別。一、 交錯級數(shù)及其審斂法1、定義：2、萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件:();(),則級數(shù)收斂,且其和,其余項的絕對值.二、 絕對收斂與條件收斂第四節(jié) 冪級數(shù)教學目標：1、了解冪級數(shù)收斂域的結構及冪級數(shù)的和函數(shù)的概念.2、掌握一些冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，會求一些簡單冪級數(shù)的和函數(shù). 重點：冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間及冪級數(shù)的和函數(shù)一、冪級數(shù)及其收斂性1、定義，2、收斂性定理：收斂半徑、收斂區(qū)間；二、冪級

7、數(shù)的和函數(shù)1、冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù).2、冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積,且對可逐項積分.3、冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導, 并可逐項求導任意次.第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開教學目標：1、了解函數(shù)展開為冪級數(shù)的充分必要條件，掌握， 的麥克勞林展開式，并利用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù).重點：函數(shù)展開為冪級數(shù)一、 泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1、直接法2、間接法利用已知函數(shù)的展開式作間接展開時，必須注意已知展開式的收斂區(qū)間問題。第八章 多元函數(shù)微積分學第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念教學目標：理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何表示、極限、連續(xù)的概念，以及有

8、界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).重點：多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的概念1、平面點集（鄰域、聚點、區(qū)域），n維空間2、二元函數(shù)的概念（定義、圖形）二、 多元函數(shù)的極限三 多元函數(shù)的連續(xù)性第三節(jié) 偏導數(shù)教學目標：1、理解多元函數(shù)偏導數(shù)的概念，掌握偏導數(shù)和高階偏導數(shù)的求法.2、了解偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系以及的幾何意義，了解混合偏導數(shù)與求導次序無關的充分條件.重點：偏導數(shù)的計算一、偏導數(shù)的定義及其計算法1、定義注意: 2、有關偏導數(shù)的幾點說明：（1） 偏導數(shù)是一個整體記號，不能拆分;（2） 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；（3） 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系一元函數(shù)中在某點可導則該點連續(xù)

9、，而多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在，則未必在該點連續(xù)，二、 高階偏導數(shù)第四節(jié) 全微分教學目標：1、理解多元函數(shù)全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分在近似計算中的應用.重點：全微分的概念一、全微分的定義1、全增量的概念2、全微分的定義二、可微的條件三、全微分的計算第五節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則教學目標：掌握各種情況下的多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法.重難點：復合函數(shù)偏導數(shù)一、復合函數(shù)的求導法則二、全微分形式不變性全微分形式不變形的實質(zhì)：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.三、隱函數(shù)的求導法則第六節(jié) 多元函數(shù)極值及其求法教學目標：1、理解

10、多元函數(shù)極值和條件級值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解多元函數(shù)極值存在的充分條件.2、掌握求二元函數(shù)的極值以及運用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法.3、會求二元函數(shù)的最大值和最小值，并解決一些實際問題.重難點：二元函數(shù)極值及其求法一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義2、多元函數(shù)取得極值的條件（1）定理1（必要條件）注：仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.（2）（2）定理2（充分條件）3、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.4、例題二、條件極值

11、拉格朗日乘數(shù)法1、條件極值：對自變量有附加條件的極值2、拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況第七節(jié) 二重積分教學目的和要求：1、 通過對曲頂柱體體積以及平面薄片質(zhì)量的計算實例引入二重積分的概念，從中領會“有限到無限”、“特殊到一般”的數(shù)學思想，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和利用數(shù)學知識解決實際問題的能力。2、 使學生掌握二重積分的定義和性質(zhì)，并通過例題學會如何處理和解決相應的數(shù)學問題。重點：二重積分的概念一、二重積分的定義1、曲頂柱體體積的計算2、二重積分的定義3、二重積分存在的充分條件4、二重積分的幾何意義二、二重積分的性質(zhì)1、 線性性質(zhì)2、 積分區(qū)域的可加性3、 用二重積分求

12、平面區(qū)域面積的公式4、 二重積分的比較性質(zhì)5、 二重積分的估值性質(zhì)6、 二重積分的中值定理二重積分的計算方法教學目的和要求：掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）重點：直角坐標和極坐標下二重積分的計算。難點：坐標系的選取。直角坐標下積分次序的交換和對稱性的運用。一利用直角坐標計算二重積分：1型和型積分域的特點。注：一般區(qū)域總可以分割成型區(qū)域和型區(qū)域。2積分限的確定方法：1）先畫出積分區(qū)域。2）定積分限的原則：先積后定限，外層常數(shù)見，域內(nèi)畫條線，先交寫下限，后交寫上限。1 二重積分的計算方法公式累次積分法。2 二重積分計算時注意的問題：1） 確定坐標系選擇、選擇積分次序、確定積分限是關鍵。2） 注意何時、何類型的題目要交換積分次序。3） 如何利用奇偶性、對稱性簡化計算。4） 被積函數(shù)絕對值的處理：分塊積分；利用對稱性。5） 何時必須用分塊積分。二利用極坐標計算二重積分1 公式注：換成。2 積分限的確定：注：1）極點在之外。2）極點在之內(nèi)。3）極點在的邊界上。3 極坐標計算適合的類型：1） 積分域為圓域或圓域的一部分（包括環(huán)形域）