(整理)回旋曲線坐標計算事例.

1、一、盤旋線的根本特征及坐標計算盤旋線上,任意一點的曲率半徑P與該點至曲線起點的曲線長l之積為一常數(shù)圖1即p l =A2或式中,A 2為盤旋曲線常數(shù),表征盤旋曲線曲率變化緩急程度的量,稱 A為回 旋曲線參數(shù).圖 11.盤旋曲線上任意一點坐標計算由圖1曲線右旋,取盤旋線的起始點ZH處的切線方向為x軸,法 線方向為y軸,任意一點的 切線方向方位角為緩和曲線角 B.在緩和曲線上 對任意一點P取微分dl= p d 0 dx=dlcos B dy=dlsin 0考慮式(1)對B或l在區(qū)間0 , B 或0,1上積分后有下 列關系式成立1 2= 2A之 工一4 4上產(chǎn)門0十216 9 360+)尸亭陰1一號+

2、磊一 +)或者 耍六(5)F . 薩 .=而 -335戶十42 22請(6)對于公路平面線形的根本形,其緩和曲線始于直線終于圓曲線,故緩和曲線 的曲率半徑P變化于8R (圓曲半徑).設緩和曲線段長度為1 S ,那么p=段i工尸而一 336RW(8)2.盤旋線的幾何要素見圖1 ,盤旋線的幾何要素計算公式如下：任意點 P處的曲率半徑(由 式(1) 和式(2)P點的盤旋曲線長(10)P點的緩和曲線角(切線方位角,由(9)式)()1 =7=# _ i 9Q 一一之用2封一p X(11)上面導出了當參數(shù)分別為B和l時的右旋緩和曲線上任一點的坐標和幾何要素公式.顯然,緩和曲線左旋時(圖2),與右旋相比,x

3、坐標公式一致, 而y、 B反號.假設令sign= 1 ,緩和曲線右旋時取sign=1 ,左旋時取 sign=-1 ,那么坐標和方位角等符號量可統(tǒng)一表示為：(12)3.盤旋曲線的根本特征1 .幾何特性.盤旋曲線隨著曲線長度的增加,曲率按線性函數(shù)增加.起點 處l =0 ,曲率l / p = 0 ,終點處l =l s ,曲率l /p =常數(shù)2 .相似性.盤旋曲線的形狀只有一種,盤旋曲線參數(shù) A即為放大系數(shù)二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標計算按直線-緩和曲線Ai-圓曲線R-緩和曲線-圓曲線R-緩和 曲線A-直線的順序組合構成的平面線形形式 RWR,稱為卵形曲線 圖3.卵形曲線中,顯然圓曲線-緩和曲線

4、-圓曲線段的緩和曲線坐標計 算是新的課題,它成為整個卵形曲線計算的瓶頸.解決了這個問題,其他平面 線形形式的曲線坐標計算 也就迎刃而解了.圖 3解決問題的關鍵在于對兩圓曲線之間的緩和曲線的正確熟悉：1兩不等圓曲線之間的緩和 曲線仍是盤旋線；2該盤旋線是沒有起點p = 0的 盤旋線段.于是,解決問題的方案是：第一,仍須確定哪端為盤旋曲線的起點p = 0 端；第二,假定緩和曲線起點而套用平面曲線根本形計算盤旋曲線任意一點坐標 及其方位角；第三,坐標變換為大地或施工區(qū)坐標形式,而這正是高效測 設曲線的現(xiàn)代開展所需要的坐標形式.我們知道,盤旋曲線起點處曲率半徑 p二 ,隨著離曲線起點的曲線長度 增加,

5、曲率半徑由大變小.因此,卵形曲線兩圓之間盤旋線的起點必在相接圓半 徑較大的圓曲線那一端.由此再確定盤旋線的右或左旋形式以確定獨立坐標公式 sign的值的使用.根據(jù)盤旋線上特征點的大地坐標和獨立坐標,可計 算出坐標變換參數(shù),從而得到盤旋線上任意一點的大地坐標及其切向、法向方位以圖3為例,由于R i R ,可見盤旋線的起點在 R i圓曲線的那一端, 顯然,該盤旋線右旋.設盤旋曲線起點為 O ,起點處切線方向為x軸,法線方 向為y軸,建立獨立坐標系.O-YH 弧長：l i = A 2 /RO-HY 弧長：l s =li+l = A 2 /R這里,l 0=1yh-hy為緩和曲線段長度.緩和曲線上任意點

6、P至起點O的弧長為l= l 1 +l這里,l為P至圓緩點YH的弧長.將l 1 , l s, T 分別替代l代入式(7)、式(8)得到圓緩點YH、緩圓 點HY、任意點P獨立坐 標系坐標x yh, 丫丫耳Xhy yHY Xp, yp(注意,計算時式中R =R 2 ) o設獨立坐標系xOy原點O的大地坐標為(%Y) , x軸的大地方位角為 a 0 ,由YH、HY點的大地坐標和獨立坐標可分別反算直線 YH-HY的坐標方 位角 a i , a 2 ,那么a o a i- a 2(13)于是,獨立坐標系中任意一點 P (x,y)的大地坐標X , Y為X = X 0 +xcos a 0- ysin a 0(

7、14)Y = Y 0 +xsin a o+ycos a 0(15)這里,X o,Y)可由點YH或HY坐標數(shù)據(jù)(大地、獨立)用上兩式求得. P點切線大地方位角a = a o+sign B(16)法線大地方位角r = ( a-sign90) 180(17)三、算例廣東某高速公路一段卵形曲線設計數(shù)據(jù)的特征點大地坐標見表 1 ,緩和曲 線參數(shù)A = 30 0 ,緩和曲線長度l o =157.50 m ,兩相接圓曲半徑見圖4. 求緩和曲線內兩里程樁號點的大地坐標及法向方位角.表1 局部設計數(shù)據(jù)點 號)/(里程樁號)/( X/m)/( Y / m)/(其他數(shù)據(jù)圓緩點(YH)/( K+327.43)/(3

8、961.506)/(4 033.679)/(Ti=59.95交 點(JD)/( K+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/( F=97.98緩圓點(HY)/( K+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/(8 = 10 54 13簡要計算如下：因R 2 R ,可見盤旋線起點在 R 2端且左旋sign=-1,建立獨立坐標 系如圖4 .那么l 1 =A/R2=30 ml s=l i+1 o=A2/ Ri = 187.50 m由此代入式(7)、式(8)并注意到R = R 1 =480得HY , YH點獨立坐標為- 0- 0512.174由直線HY-YH的大地方位角 a i和獨立方位角a 2得獨立坐標軸x的大地方 位角a =a 1- a 2 = 138 51 05那么X o = 4 094.145 Y 0 = 3 901.605于是緩和曲線上點K 0 +420處、K 0 +380處坐標與方位角數(shù)據(jù)可得K 0 +420 : ( l =1 1+484.93-420=94.93)x =94.906 y =-1.584 B = 2 52 06X =4 0