金融工程課后題習(xí)題解答zhoujiaLite

1、CH 7一位投資者購買了一個執(zhí)行價格為 X 的看漲期權(quán)并出售了一個相同執(zhí)行價格的看跌期權(quán)。請描述他的頭寸情況。解：投資者頭寸狀況為： max（ ST X,0） max（ X ST,0）此頭寸相當(dāng)于執(zhí)行價格為 X 的遠期合約。當(dāng) X 與遠期合約價格相同時，合約價值為0，此時看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價值相等。7.2 請說明為什么歐式期權(quán)總是不如有相同標(biāo)的物、相同執(zhí)行價格、相同到期日的美式期權(quán)值錢。解： 美式期權(quán)持有者除具有歐式期權(quán)持有者所擁有的所有權(quán)利外， 還有提早執(zhí)行權(quán)。因此，美式期權(quán)至少應(yīng)與相應(yīng)的歐式期權(quán)有相同的價值。7.3 請解釋為什么美式期權(quán)的價值總是大于等于它的內(nèi)在價值。解：美式期權(quán)的持有者有

2、立即執(zhí)行期權(quán)，實現(xiàn)期權(quán)內(nèi)在價值的權(quán)利，因此，美式期權(quán)的價值至少應(yīng)等于其內(nèi)在價值。7.4 列舉影響期權(quán)價格的 6 個因素。解： 影響期權(quán)價格的 6 個因素有： 標(biāo)的資產(chǎn)價格、 期權(quán)的執(zhí)行價格、 無風(fēng)險利率、 資產(chǎn)價格的波動率、期限以及持有期間收益。7.5 基于無紅利支付股票的看漲期權(quán)，期限為 4個月，執(zhí)行價格為$25，股票價格為 $28，無風(fēng)險利率為8。該看漲期權(quán)價格下限為多少解：該看漲期權(quán)的價格下限為：28 25X e0.08*0.3333基于無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)，期限為 1 個月，股票價格為$12，執(zhí)行價格為$15，無風(fēng)險年利率6，該期權(quán)的價格下限為多少解：該看跌期權(quán)價格下限為：15

3、X e 0.06*0.083333 12= $請給出兩個原因說明為什么早執(zhí)行無紅利支付股票的美式看漲期權(quán)不是最好的。第一條原因應(yīng)包括貨幣時間價值。第二條原因在利率為零時也成立。解： 1）推遲執(zhí)行可推遲支付期權(quán)的執(zhí)行價格，期權(quán)持有者可賺取執(zhí)行價格更長時間的時間價值；2）推遲執(zhí)行可提供保值價值，避免執(zhí)行日時股價低于執(zhí)行價格。假設(shè)期權(quán)購買者有現(xiàn)金X ，且利率為0。提早執(zhí)行會使期權(quán)購買者頭寸在到期日為ST , 而推遲執(zhí)行買方頭寸在到期日則為 max（ X, ST ）“提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)是在貨幣的時間價值與看跌期權(quán)的保險價值之間的權(quán)衡。 ” 請解釋這句話。解： 美式期權(quán)能為其標(biāo)的股票提供保險，它可使股

4、票以執(zhí)行價格 X 出售。如果期權(quán)提早執(zhí)行，則保險消失，但期權(quán)多頭立即獲得股票價格，并可獲得提早執(zhí)行日至到期日間資金X 的時間價值。執(zhí)行價格為$20， 3 個月后到期的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，售價都為$3。無風(fēng)險年利率為10，股票現(xiàn)價為$19， 預(yù)計 1 個月后發(fā)紅利 $1。請說明對投資者而言，存在什么樣的套利機會。解：因為P S03 19 22 ，而 C Xe rtD3 20* e 0.10*0.251* e 0.10*0.0833所以， P S0 CXe rt D 。 因而存在套利機會，可通過買看跌期權(quán)，賣空股票及看漲期權(quán)來進行套利。請解釋為什么對歐式看漲期權(quán)平價關(guān)系的討論用于美式期權(quán)不

5、可能得出同樣的結(jié)論。解：當(dāng)不可提前執(zhí)行時，我們可認(rèn)為若兩資產(chǎn)價值在T 期相同，則在前幾期也應(yīng)相同。當(dāng)可提前執(zhí)行，以上論述則不成立。假設(shè)： P S0 C Xe rt ，這并不存在套利機會。 因為如果我們買看漲期權(quán)， 賣空看跌期權(quán)并賣空股票，我們并不能確定其結(jié)果，因為我們并不確定看跌期權(quán)是否會被執(zhí)行。一個無紅利支付股票的看漲期權(quán)，期限為 6 個月，執(zhí)行價格為$75，股票價格為$80，無風(fēng)險年利率為10。它的價格下限為多少解：看漲期權(quán)價格下限為：S 0Ee 0.10*0.50$8.66一個無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)，期限為 2 個月，股票價格為$58，執(zhí)行價格為 $65，無風(fēng)險年利率為5，它的價格

6、下限為多少解：該看跌期權(quán)的價格下限為：65 e 0.1667*0.0558$6.46一個期限為 4 個月的無紅利支付股票的歐式看漲期權(quán)現(xiàn)價為 $5， 股票價格為$64，執(zhí)行價格為 $60， 1 個月后發(fā)紅利$。對所有期限的無風(fēng)險年利率為12。對套利者而言存在什么樣的機會。解 ： 執(zhí) 行 價 格 現(xiàn) 值 為 60e 0.3333*0.12$57.65 ， 紅 利 現(xiàn) 值 為0.08333*0.120.8e$0.79 。 因為， 5 64 57.65 0.79 ， 所以，應(yīng)買看漲期權(quán)的同時賣空股票，則無論如何，均將獲利。1） 如 果股價降到低于$60，套利者將在期權(quán)損失$5，但從空頭股票上至少可獲

7、得 64 57.65 0.79 $5.56（現(xiàn)值）利潤。2）如果到期日股價高于$60,套利者可獲=$（現(xiàn)值）利潤。一個期限為 1 個月的無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)現(xiàn)價為$。股票價格為$47，執(zhí)行價格為$50，風(fēng)險年利率為6。對套利者而言存在什么樣的機會解：執(zhí)行價格的現(xiàn)值為 50e 0.06*0.08333 $49.75 ，因為 < ，套利者可通過買看跌期權(quán)、賣空股票，將利潤鎖定在至少$。請直觀地解釋為什么當(dāng)無風(fēng)險利率上升且波動率減少時提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)變得很有吸引力。解：當(dāng)執(zhí)行價格的利息（時間價值）大于保險價值損失時，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)更具吸引力。1） 當(dāng) 利率上升，執(zhí)行價格的利息

8、（時間價值）增加，這會使提前執(zhí)行更具吸引力。2） 當(dāng) 波動率減少，保險價值下降，也使提前執(zhí)行更具吸引力。執(zhí)行價格為 $30， 6 個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價格為$2。標(biāo)的股票的價格為$29， 2 個月后和 5個月后分紅利$。期限結(jié)構(gòu)為水平，無風(fēng)險利率為10。執(zhí)行價格為$30， 6 個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價格為多少解：由看漲看跌期權(quán)平價公式： C Xe rt D P S0 ,則有：P C Xe rt D S 00.5*0.100.1667*0.10.4167*0.1= 2 30e 0.50.100.5e 0.16670.10.5e 0.41670.1292.51所以 6 個月后到期的歐式看

9、跌期權(quán)價格為 $在習(xí)題中，如果歐式看跌期權(quán)的價格為$4，請說明存在什么樣的套利機會。解：若上題中，歐式看跌期權(quán)為$3，套利者可買入看漲期權(quán)、賣空看跌期權(quán)、賣空股票進行套利。無論在何種情形中，均可將利潤鎖定在-=$的現(xiàn)值水平。一個無紅利支付股票的美式看漲期權(quán)的價格為$4。股票價格為$31，執(zhí)行價格為$30， 3 個月后到期。無風(fēng)險利率為8。請推出相同股票、相同執(zhí)行價格、相同到期日的美式看跌期權(quán)的價格上下限。解：由公式 S0 XS0Xe rt ，可得：31 30<4 P<31 30e 0.25*0.08即 < P<該美式看跌期權(quán)的價格上下限為： <P<在習(xí)題中，

10、 如果美式看跌期權(quán)的價格高于所計算的上限值， 請說明存在什么樣的套利機會。解：如果美式看跌期權(quán)價格高于$，則套利者可通過賣空看跌期權(quán)、買進看漲期權(quán)、并賣空股票的操作進彳T套利，并至少可獲得3+31 4= $30的資金進行無風(fēng)險利率投資機會。假設(shè) c1、 c2、 c3 分別是執(zhí)行價格為X1、 X2、 X3 的歐式看漲期權(quán)的價格。且X3 X2 X1 ， X3 X2 X2 X1 。所有的期權(quán)有相同的到期日。證明：c20.5(c1c3)解： 構(gòu)造一投資組合： 買進一份執(zhí)行價格為 X1 的期權(quán) c1 及一份執(zhí)行價格為 X3 的期權(quán)為c3 、 賣空 2 份執(zhí)行價格為 X2 的期權(quán)c2 ， 到期日股票價格為

11、ST ,則組合價值為：ST 的數(shù)值ST X 1X1 ST X 2X 2 ST X 3X 3 STmax（ STX1 ，0）max（ STX3 ，0）2max（STX2 ， 0）組合價值0ST X 12X 2 X1 ST2X2 X1 X3ST 的數(shù)值如何，該組合的價值均大于等于零。根據(jù)無套利定價理論，在期初，組合價值也應(yīng)大于等于0，即c1 c3 2c2 應(yīng)大于等于0所以，c20.5(c1c3) 成立。如果習(xí)題中期權(quán)為美式看跌期權(quán)，會有何結(jié)果解：同樣構(gòu)造一投資組合：買進一份執(zhí)行價格為 X1 的看跌期權(quán)p1 ，一份執(zhí)行價格為X3的看跌期權(quán)p3同時賣空2份執(zhí)行價格為X2的看跌期權(quán)p2,到期日股票價格為

12、ST ,則組合價值為：max(X1ST,0)+max(X3ST,0) 2max(X 2ST，0)ST 的數(shù)值組合價值STX 1X1STX 2X 2STX 3X 3STX1X3 2X2STX 3 2X 2X 3 ST0因此，在期初該組合價值p1 p3 2 p2應(yīng)大于等于0,即p2 0.5( p1 p3)成立。假設(shè)你是一家杠桿比例很高的公司的經(jīng)理及唯一所有者。 所有的債務(wù)在1 年后到期。 如果那時公司的價值高于債務(wù)的面值， 你就可以償還債務(wù)。 如果公司的價值小于債務(wù)的面值，你就必須宣布破產(chǎn)，讓債務(wù)人擁有公司。a) 將公司的價值作為期權(quán)的標(biāo)的物，描述你的頭寸狀況。b)按照以公司價值為標(biāo)的物的期權(quán)的形式，描述債務(wù)人的頭寸狀況。cM爾應(yīng)當(dāng)如何做來提高你頭寸的價值解： a) 擁有一份看漲期權(quán)多頭，頭寸為 max( VT D ,0)其中，VT 為公司價值，D 為債務(wù)面值；b)擁有一份看跌期權(quán)空頭及債券多頭，其頭寸價值為 D - max (D Vt , 0)c)應(yīng)通過努力經(jīng)營公司，使公司價值提高。經(jīng)理股票期權(quán)是公司向它的經(jīng)理們發(fā)行的看漲期權(quán)。 通常期權(quán)執(zhí)行價格接近于期權(quán)發(fā)行時的股票市場價格。如果期權(quán)被執(zhí)行，公司發(fā)行新的庫