函數的單調性知識點匯總與典型例題(高中一年級必備)

1、第二講：函數的單調性一、定義：1 .設函數y f(x)的定義域為I ,如果對于定義域I的某個區(qū)間D的任意兩個自變量的值X1,X2,當X1 X2時，都有f(Xi) f(X2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增 函數.區(qū)間D叫y f (x)的單調增區(qū)間.注意：增函數的等價式子：(Xi X2)f(Xi) f(X2) 0f(Xl) f(X2) 0;X1 X2難點突破：(1)所有函數都具有單調性嗎？(2)函數單調性的定義中有三個核心x1 x2f(X1) f(X2) 函數f(X)為 增函數，那么中任意兩個作為條件，能不能推出第三個?2 .設函數yf(x)的定義域為I ,如果對于定義域I的某個區(qū)間D的任意兩個

2、自變量的值X1,X2,當X1 X2時，都有f(x1) f(X2)，那么就說f (x)在區(qū)間D上是減 函數.區(qū)間D叫y f (x)的單調減區(qū)間.注意：(1)減函數的等價式子：(X1 X2)f(X1) f (X2 ) 0f(X1) f(X2) 0；X1 X2(2) 若函數f(x)為增函數,且x1 x2,則f(x1) f(x2).題型一：函數單調性的判斷與證明例1.已知函數f(x)的定義域為R,如果對于屬于定義域某個區(qū)間I上的任意兩個不同的自變量Mx,都有f(X1) f(X2) 0.則()X1 X2A. f (x)在這個區(qū)間上為增函數B.f (x)在這個區(qū)間上為減函數C. f (x)在這個區(qū)間上的增

3、減性不變D. f(x)在這個區(qū)間上為常函數變式訓練：定義在R上的函數f(x)對任意0 X2 xi都有f(x1)f(x2)X X2例3.證明:函數f (x) x3 x在R上是增函數.數y f(x)的圖象關于原點對稱，若f(2) 2,則不等式f(x) x 0的解集為變式訓練:變式訓練:易錯點:討論f(x) x a(a 0)的單調性.并作出當a 1時函數的圖象. x已知f(x 1) x2 2x,判斷函數g(x)f 在(0,1)上的單調性，并用定 x義證明.題型二：函數的單調區(qū)問難點突破：(1)函數在某個區(qū)間上是單調函數，那么它在整個定義域上也是單 調函數嗎？易錯點：區(qū)間端點的 確認多個單調區(qū)間的寫

4、法1 .一(2)函數f(x)的單調減區(qū)間是(，0) (0,)上嗎?x例1.(圖像法)求下列函數的單調區(qū)問(1) f(x) |x 1| |x 2|.(2)f(x) x2 2|x| 3.(3) f(x) | x2 4x 5.例2.(直接法)求函數f(x) 3 的單調區(qū)間.1 x例3.(復合函數)(2017全國二)函數f(x) ln(x2 2x 8)的單調遞增區(qū)間是 ()A. (, 2) B. (,1)C.(1,) D. (4,)易錯點：變式訓練：求下列函數的單調區(qū)間.，八1(1) y - (2) y v x 5x 6x x 31(3)y 1 一之 .3 2x x2題型三：抽象函數的單調性問題例1.

5、設函數f(x)是實數集R上的增函數，令F(x) f(x) f (2 x).(1)證明：F(x)是R上的增函數；若 F(x1) F(x2) 0,求證：x1 x2 2.例2定義在(0,)上的函數f (x)滿足下面三個條件：對任意正數a,b,都有f(a) f(b) f(ab);當x 1時，f(x) 0； f(2)1.(1)求f的值；(2)使用單調性的定義證明：函數 “*)在(0,)上是減函數;(3)求滿足f(3x 1) 2的x的取值集合.題型四：函數單調性的應用(1)利用函數的單調性比較大小在解決比較函數值大小的問題時，要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區(qū)間上. 正向應用：逆向應用:例1. f x

6、在0, 上單調遞減，那么f a2a 1與f 3的大小關系是4變式訓練：已知函數f(X)滿足f(1 X) f (1 X),且對任意的Xi，X21(xi X2),有x1)(X2) 0.設 a f( -), bf(2), c f (3)，則 a,b,c 的大小關系.X1 X22(2)利用函數的單調性解不等式例2.設f (x)是定義在1,1上的增函數，且f(X 2) f(1 X)成立，求X的取值圍.易錯點：變式訓練.設f(x)是定義在3,3上的偶函數，當0 x 3時，f(x)單調遞減,若f(1 2m) f (m)成立，求m的取值圍.(2015全國二)設函數f (x)的取值圍是().1_1A.(-,1)

7、 B. (，-) (1,331ln(1 x) 2,則使得 f(x) f (2x 1)成立的 x1 x)C.1 13,3)D.)3) (2018全國一)設函數f xf 2x的x的取值圍是()A.,1B.0 ,C.1,0D. , 0(3)根據函數的單調性求參數的取值圍例1.如果函數f(x) 2x2 4(1 a)x 1在區(qū)間3,)上是增函數，則實數a的取值圍是()A. (1,2) B. (0, 2) C. (0, 1) D. 2,變式訓練：如果函數f (x) x2 2(1 a)x 2在區(qū)間,4)上是減函數，求實數a的 取值圍.例2.若函數f (x)(2b 1)x b 1.x 0.2,在R上為增函數，

8、則實數b的取值圍是x2 (2 b)x,x 0易錯點:例3.若函數y |x a|在區(qū)間(，4上是減函數，求實數a的取值圍.易錯點:第三節(jié)：函數的奇偶性一、知識梳理1 .函數的奇偶性奇偶性定 義圖象特點備注奇函數設函數y f(x)的止義域為D ,如果 對D的任意一個x ,都有x C D,且 f x f x ,則這個函數叫做奇函 數關于原點 中心對稱函數f (x)是奇函數且在x 0處有定義，則f(0) 0隅函數設函數y f (x)的止義域為D ,如果對D 的任意一個x,都有 xD,且 f x f x ,則這個函數叫做偶函數關于y軸對稱例1 (2014全國二)偶函數y f(x)的圖象關于直線x 2對稱

9、，f(3) 3,則f( 1) :例2 (2017全國二) 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x (,0)時，f(x) 2x3 x2,則 f(2) .例3 (2012全國二)設函數f(x) (x 1)： sin x的最大值為M ,最小值為m, x 1貝U M + m =.2 .函數的圖象(1)平移變換：“上加下減，左加右減”例4 (2010 全國二)設偶函數 f(x)滿足 f(x) 2x 4(x 0),則xf(x 2) 0A. x|x 2或x 4B. x|x 0或x 4x | x 2或x 4C.x|x2或 x 2 D.(2)對稱變換y f (x)關于x軸對稱y f(x);y f (x)關于

10、y軸對稱y f( x)；y f (x)關于原點稱y f( x)； yax(a0且a1)關于yx對稱ylogax(a0且a1);奇函數的圖象關于坐標原點對稱；偶函數的額圖象關于 y軸對稱.(3)翻折變換yf(x)保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去y I f (x) |.|lgx|,0 x 10例5 (2010全國二)已知函數f(x) 1,若a,b,c均不相等，J-x 62f(a) f(b) f (c),則a b c的取值圍是()A. (1,10) B. (5,6) C (10,12) D. (20,24)例6 (2011全國二)已知函數y f(x)的周期為2,當* 1,1時f(x) x2

11、,；么函數y f(x)的圖象與函數y 11gxi的圖象的交點共有()A. 10 個 B . 9 個 C . 8 個D . 1 個 y f (x) 保留y軸右邊圖象，并作其關 于y軸對稱的圖象(去掉原f(x)在y軸左側的圖象)y f (| x |)例7(2011全國二)下列函數中，既是偶函數又在(0,)單調遞增的函數是(A. y x3B. y | x| 1 C. yx2 1 D . y 2 |x|例8 (2010大綱)直線y 1與曲線y x2 |x | a有四個交點，則a的取值圍是(4)函數圖象的幾種對稱關系f(x),x R滿足f(a x) f (a x) y f(x)圖象關于直線x a為軸對稱

12、；例9 ( 2018全國二)已知f(x)是定義域為(,)的奇函數，滿足f(1 x) f(1 x),若 f(1)=2,則 f(1) f(2) f(3) . f(50)()A. - 50 B . 0 C . 2D . 50a bf(a x) f(b x)f(x)圖象關于x 為軸對稱；2b a函數y f(a x)與函數y f(b x)的圖象關于直線x 3 對稱.21如：y f(x)和y f (1 x)的圖象，關于直線x 1為軸對稱.2例10(2015全國二)已知函數f(x) ax3 2x的圖像過點(-1,4) /tja=二、真題演練1. (2014全國一)設函數f (x),g(x)的定義域為R ,且

13、f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(B.|f(x)|g(x)是奇函數A. f(x)g(x)是偶函數C. f(x)|g(x)|是奇函數D.| f (x)g(x)|是奇函數2. (2015全國一)已知函數f (x)2x 12,xlog2(x11),x 1f(a) 3,則 f (6 a)=()3.f(4.A.- 74(20152) f(A.-1B.-C.-D.-全國一)設函數yf(x)的圖像關于直線yx對稱，且4) 1,則 aB.1C.2D.4(2017全國一)函數y -s吟1 cosx的部分圖像大致為()5. (2017全國一)已知函數f(x)ln xln(2 x),則()A

14、. f(x)在(0,2)單調遞增B.f(x)在(0,2)單調遞減1對稱D. yf(x)的圖像關于點(1,0)對稱xC. y f(x)的圖像關于直線的部分圖像大致為()B.D.二、課后作業(yè)1.若奇函數f(x)在3,7上是增函數且最大值為5,那么f(x)在A.增函數且最小值是5C.減函數且最大值是5B.D.增函數且最大值是減函數且最小值是7, 3上是()552 .若 f(x) (m 1)x2 2mx 3是偶函數，則 f(x)在 4, 1 上(A.是增函數B.是減函數C.不具有單調性 D.單調性由m的值確定，一一1,，一 3 .已知函數f x a;,若f x為奇函數，則a.2x 1ax b 124

15、.函數f (x) 是定義在(1,1)上的奇函數，且f (-),求函數f(x)的1 x225解析式.第四節(jié)：函數的零點一、知識梳理零點：方程f(x) 0的解；函數f (x)圖象與x軸交點的橫坐標.函數F(x) f (x) g(x)的零點是函數f (x)與函數g(x)圖象交點的橫坐標零點存在定理：函數f(x)在定義域a,b上連續(xù)，若f (a) f (b) 0,則f(x)在定義域a,b上一定存在零點.例(2011全國二)在下列區(qū)間中，函數f(x) ex 4x 3的零點所在的區(qū)間為()A 1A ( 7，0)4(0,1)41 1)4,2二、真題演練1. (2017全國三)已知函數f(x) x2x2x a(