數(shù)學(xué)建模研究――存貯問題

1、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程綜合性教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)與研究 胡京爽(青島理工大學(xué)理學(xué)院,青島 2660331、引言數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)方法應(yīng)當(dāng)是豐富多彩的, 主要的教學(xué)方法一般都是案例 式教學(xué),通過剖析各種各樣的建模案例,讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的實(shí)際過程, 積累經(jīng)驗(yàn)。 但是案例式教學(xué)內(nèi)容不應(yīng)當(dāng)太過分散, 不能完全就是一個一個案例講 解, 而是應(yīng)當(dāng)從眾多的案例中總結(jié)出蘊(yùn)含在其中的某些共性和可遵循的規(guī)律, 這 種共性規(guī)律對于啟發(fā)學(xué)生在解決類似問題時(shí)將會起到重要的作用。存貯模型從最簡單的微積分優(yōu)化模型, 到具有隨機(jī)需求、 隨機(jī)供貨以及多供 應(yīng)商的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型, 通過詳細(xì)解剖分析這些模型的特點(diǎn), 能讓學(xué)生體會到從簡 單

2、到復(fù)雜的循序漸進(jìn)的建模過程;人口模型則是微分(常微和偏微方程、差分 方程、 隨機(jī)微分方程模型的綜合體現(xiàn), 能夠體現(xiàn)出利用客觀的平衡規(guī)律, 對同一 個背景下的問題可以從不同的角度進(jìn)行分析, 用不同的數(shù)學(xué)理論與方法進(jìn)行描述 和求解的過程; 0-1變量方法的使用則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模方法中具有一定普遍意義 的專門方法,用這種方法可以解決一系列的問題。本文探討的是在教學(xué)過程中, 在學(xué)生掌握了一些基本的數(shù)學(xué)建模知識的基礎(chǔ) 上,如何設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)模型方法的漸進(jìn)性、靈活多樣性、層次性、 統(tǒng)一性等規(guī)律, 讓學(xué)生得到良好的建模實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練, 全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的綜合 素質(zhì)和能力。下面介紹三個實(shí)例,可以選為數(shù)學(xué)

3、建模教學(xué)的參考案例。2 教學(xué)案例及分析2.1 系列存貯優(yōu)化模型存貯模型是一類重要的數(shù)學(xué)模型。 要根據(jù)市場需求量狀況、 存貯費(fèi)用、 訂購 費(fèi)用、供貨方的生產(chǎn)能力和供貨時(shí)間、缺貨的損失代價(jià)等,綜合分析,確定使得 費(fèi)用最小或者使得盈利最大的計(jì)劃。該類模型類型豐富,層次分明,多種模型體現(xiàn)了有機(jī)的統(tǒng)一。其數(shù)學(xué)理論 方法涉及到簡單的優(yōu)化分析、 綜合的規(guī)劃分析、 隨機(jī)優(yōu)化分析等, 特別是在計(jì)算離散數(shù)量的和時(shí), 用到了將離散和轉(zhuǎn)換成定積分計(jì)算、 并進(jìn)而轉(zhuǎn)換成計(jì)算幾何圖 形面積的方法,在目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建上,利用平均值作為優(yōu)化目標(biāo)的建模方法等。 存貯模型從大的方面分類,可以分成兩大類:確定進(jìn)貨周期和隨機(jī)進(jìn)貨周 期兩

4、類,前類指的是,確定一個周期時(shí)段,到了時(shí)間就進(jìn)貨,一般都要等該次進(jìn) 的所有物品都用完以后, 馬上進(jìn)貨或者過一段時(shí)間再進(jìn), 這就是不允許缺貨與允 許缺貨的模型; 或者是規(guī)定在本次進(jìn)的貨用到一定的數(shù)量后再進(jìn)貨, 這在本質(zhì)上 是一樣的。 這種模型的一個重要條件是要求準(zhǔn)確知道單位時(shí)間的固定需求量, 依 此就可以確定一個周期內(nèi)要進(jìn)多少貨, 以及多長時(shí)間完成一個周期。 確定進(jìn)貨周 期的模型還有一種情形, 就是進(jìn)貨的過程不是一次完成的, 而是有一個時(shí)間過程, 這也有兩種情況, 一是周期開始時(shí)每個單位時(shí)間進(jìn)一批, 邊進(jìn)邊用, 并且由于單 位時(shí)間內(nèi)進(jìn)貨的數(shù)量大于使用的數(shù)量, 因此, 積累達(dá)一定的數(shù)量以后, 就不

5、再進(jìn) 了,開始消化使用,一直到全部用完,再開始下一個周期的循環(huán)。另一種是開始 可以缺貨, 然后過一段時(shí)間在開始逐步進(jìn)貨, 首先要補(bǔ)足前面的欠賬, 然后開始 和前面的這個過程相同的過程,見后面的模型。另一類存貯模型是有隨機(jī)需求的存貯模型,除了需求量是隨機(jī)變化的外, 其它條件基本上相同,但是由于計(jì)算存貯費(fèi)需要用到累積存貯量 ,嚴(yán)格分析起 來需要利用多元隨機(jī)分布, 因此簡化起來看就用一個周期內(nèi)每個單位時(shí)間內(nèi)的需 求量的平均值, 這樣就化成了前面的有確定需求量的存貯模型; 另外還可以這樣 處理,假設(shè)一批貨進(jìn)來以后,一次性地銷售,剩下的存貯起來,直到本周期進(jìn)行 完。然后?？紤]兩種情形,一種是余下的全部退

6、回,一種是余下的作為下一個周 期初始存貨, 再來決定進(jìn)多少, 使得對于所有的這種周期下的費(fèi)用或者盈利考慮 平均值,達(dá)到優(yōu)化的目標(biāo)。 t1C :單位時(shí)間單位物品的存貯費(fèi) ; :一次訂購的固定費(fèi) ; 3C R:單位時(shí)間內(nèi)消耗的物品數(shù)量0Q :使得在一個生產(chǎn)周期內(nèi) , 平均費(fèi)用最小的初始存貨量 ; 0t :使得平均單位時(shí)間內(nèi)費(fèi)用最小的生產(chǎn)進(jìn)貨周期 . 312130RC C C C (2C t +=21320C C R C 2C S +=最優(yōu)解 其中 : 1C :單位時(shí)間單位物品的存貯費(fèi) ;: 單位時(shí)間單位物品的缺貨損失費(fèi)C 23C :一次訂購的固定費(fèi) ;R: 單位時(shí)間內(nèi)消耗的物品數(shù)量0S :使得在一

7、個生產(chǎn)周期內(nèi) , 平均費(fèi)用最小的初始存貨量 ; 0t :使得平均單位時(shí)間內(nèi)費(fèi)用最小的生產(chǎn)進(jìn)貨周期 . R P (P C R 2C P Rt T 1300=1C :單位時(shí)間單位物品的存貯費(fèi) ; :一次訂購的固定費(fèi) ; 3C R:單位時(shí)間內(nèi)消耗的物品數(shù)量;P: 單位時(shí)間生產(chǎn)的物品數(shù)量;0Q :使得在一個生產(chǎn)周期內(nèi) , 平均費(fèi)用最小的初始存貨量 ;:使得平均單位時(shí)間內(nèi)費(fèi)用最小的生產(chǎn)進(jìn)貨周期 . ; 0t :使得平均單位時(shí)間內(nèi)費(fèi)用最小的生產(chǎn)時(shí)間; t , 01:時(shí)間內(nèi)存貯為 0, B 表示最大的缺貨量;t , t 21:除了滿足顧客的每人需求外,還要補(bǔ)回原來缺少的物品;t , t 32:時(shí)間內(nèi)滿足需求

8、后的產(chǎn)品進(jìn)入存貯,存貯量以速度 (P-R增加。 S 表示存貯量 , 時(shí)刻存貯量達(dá)到最大 , 時(shí)刻停止生產(chǎn)。3t 3t t , t 3: 時(shí)間內(nèi)存貯量以需求速度 R 減少?；娟P(guān)系: 1Rt B = t t (R P (B 12= C t PRR P (C 21 t -t (P R R P (C t 1 t C(t,32222212+= RP P . C C C . R C 2C t 231130+= 平均費(fèi)用最小的循環(huán)周期; 00Rt Q = 平均費(fèi)用最小的需求量;PR P . C C C . C R 2C t t (R S 21213300+=:最大存貯量; PR -P . C C (CR

9、C 2C B 221310+= :最大缺貨量; p R -P . C C C .如圖所示:期初有存貯量 ;商品定貨費(fèi):;每件商品單位時(shí)間的存貯 費(fèi)為 ; 單位商品單位時(shí)間的缺貨費(fèi)為 ; 單位時(shí)間需求量為 r ; L 為固定訂貨 點(diǎn); x :表示從訂貨到全部交足貨物的時(shí)間;交貨時(shí)間的分布密度函數(shù)為 p(x。1C Q 2C 3C 基本關(guān)系模型:一個交貨周期的期望費(fèi)用為xdx (p 2r L -(rxc 2r Q cxdx (2r rx L (Q c c L (C r L 2322r L 02221+= (E r L -Q L (T x +=進(jìn)貨周期的期望:( ( (L T L C L S = 單位

10、時(shí)間的費(fèi)用: ( ( (*' *x rE Q L C L C L += 最優(yōu)訂貨點(diǎn)滿足關(guān)系: 可以由下面的圖 6用幾何方法求出來。 *L 圖 5 圖 6從一般的意義看,上面所涉及到的各種存貯模型實(shí)際上都可以將單位時(shí)間 的需求量由確定不變改為隨機(jī)需求, 這樣就將原來的一個周期內(nèi)的各種費(fèi)用的計(jì) 算進(jìn)行分類計(jì)算,然后計(jì)算出所有周期費(fèi)用的平均值。就是說,原來的費(fèi)用函數(shù)實(shí)際上是:原來的一個周期內(nèi)的每個時(shí)間單位上 的需求量是固定的, 因而只需要求出平均的存貯總量, 然后乘上單位存貯費(fèi)用即 可。 但是, 如果每天的需求量是變化的, 那么計(jì)算一個周期內(nèi)的存貯量可以用平 均每個時(shí)間單位的需求量來近似替代

11、隨機(jī)變化的需求量, 進(jìn)而計(jì)算方法與原來的 模型是一樣的。另外,還可以有下面形式的隨機(jī)需求存貯模型。(1 不考慮缺貨損失費(fèi)和單位時(shí)間內(nèi)需求量的存貯模型這樣的模型考慮的僅僅是進(jìn)貨以后,進(jìn)行一次性的消費(fèi)需求,不考慮一個周 期內(nèi)的單位時(shí)間隨機(jī)需求導(dǎo)致的存貯模型。問題:貨物的成本為 K ,貨物的 單位售價(jià)為 P ,單位貯存費(fèi)為 C 1,需求量 r 為連續(xù)的隨機(jī)變量,分布密度為 r (,分布函數(shù)為 ,訂購的數(shù)量為 Q ,確定訂購的數(shù)量 Q ,使得在單位時(shí)間內(nèi)的盈利期望值最大? 0a , dr r ( a (F a>= 計(jì)算:當(dāng)給定了購貨量后,根據(jù)市場的不同的需求量,有不同的盈利計(jì)算方 法,最后對不同

12、的情形進(jìn)行平均計(jì)算而得到平均的贏利,以作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。存貯費(fèi)用: >=Q r 0, , -Q C Q (C 11Q r r ( 盈利的期望值為:+=Q Q Qdr r r Q C KQ dr r PQ dr r Q W E 001 ( ( ( (Pr (PC K P dr r (1Q0+=計(jì)算結(jié)果: 方程 的解 就是使得贏利最大的定貨量。 *Q (2 考慮缺貨損失費(fèi)、單位時(shí)間內(nèi)的存貯模型問題:貨物的成本為 K ,貨物的 單位售價(jià)為 P ,單位貯存費(fèi)為 C ,單位缺貨 1費(fèi) 為 C 2, 需 求 量 r 為 連 續(xù) 的 隨 機(jī) 變 量 , 分 布 密 度 為 r (, 分 布 函 數(shù) 為

13、,期初的存貨量為 I ,訂購的數(shù)量為 Q ,確定訂購的數(shù)量 Q ,使得在單位時(shí)間內(nèi)損失的期望值最小的?0a , dr r ( a (F a>= 模型及計(jì)算:在本階段中,需要的定貨費(fèi)為 KQ C 3+平均存貯費(fèi)為:; dr r ( r S (C SI Q 01=+ 平均缺貨的費(fèi)用為:dr r S r ( (C S3+ 總的平均費(fèi)用為:= S (C KQ +dr r ( r S (C S I Q 01=+dr r S r ( (C S 3+C 3+212S Q I 0C C K C dr r (+=+ 最優(yōu)解滿足: 現(xiàn)在考慮不訂貨的情況:因?yàn)樵谌魏蔚某跏即尜A量的情況下,都有兩種選 擇,一是訂

14、貨,根據(jù)上面的分析,必須訂到最小費(fèi)用的 S ,這時(shí)對應(yīng)一個最小費(fèi) 用值, 但是如果不訂貨的話, 費(fèi)用可能由于沒有訂貨費(fèi)而減小, 因此我們來考察 滿足下面不等式的所有的初始存貨狀況 s:Ks +dr r ( r s (C 01s dr r s r ( (C s 3+KS C 3+dr r ( r S (C S I Q 01=+dr r S r ( (CS 3+ 滿足不等式的 s 都是不訂貨時(shí)的費(fèi)用不超過訂貨時(shí)所有訂貨量對應(yīng)費(fèi)用的 最小值, 因此, 僅僅從費(fèi)用的意義上看, 這個時(shí)候就不應(yīng)該定貨, 并且容易看到, 滿足這個不等式的 s 的集合有最小值,當(dāng)期初的存貨量小于該最小值的時(shí)候就 要訂貨,否則

15、就不用訂貨。這個模型對應(yīng)的兩個數(shù) S 和 s ,就形成了訂貨的 (S,s策略。按照前面的模型, 現(xiàn)在考慮一種特殊形式的存貯模型。 一家商店進(jìn)行鋼琴銷 售,每隔一段時(shí)間就要決定進(jìn)多少鋼琴、什么時(shí)間訂、一次訂多少等等,時(shí)間周 期可以根據(jù)實(shí)際的控制情況, 根據(jù)實(shí)際的生產(chǎn)供應(yīng)渠道等來決定, 一般情況下都 是固定周期的供貨銷售模式的, 關(guān)鍵是進(jìn)多少的問題, 而這往往考慮到在每個周 期上能夠銷售多少。 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn), 平均每周只能賣出 1架鋼琴, 現(xiàn)在經(jīng)理制 定的存貯策略是每周根據(jù)檢查期末的存貨量, 來決定下周的進(jìn)貨量, 因?yàn)橐呀?jīng)知 道了每周的銷售數(shù)量, 現(xiàn)在規(guī)定了進(jìn)貨的方式, 不是一下子總要進(jìn), 實(shí)際

16、上前面 我們已經(jīng)分析了這種情況, 就是, 要么不進(jìn), 要么進(jìn)的話就要進(jìn)的使得費(fèi)用最小, 那么我們現(xiàn)在關(guān)心的是, 按照這樣的存貯、 進(jìn)貨以及銷售狀況來看, 這樣下去的 話, 每周的鋼琴數(shù)量能售出多少, 剩下多少, 就是說每周具體有多少鋼琴在等待 銷售?特別是關(guān)心, 市場需求量超過了鋼琴擁有量的情況, 在所有的銷售周期中 占多大的比例?實(shí)際上平均每天能夠賣出多少的鋼琴?假設(shè):第 n 周的銷售量為n D 第 n 周的期初擁有量n S 開始以后每一周都存在著銷售量和存貨量的關(guān)系, 每一周的情況是隨機(jī)的, 潛在的銷售數(shù)量和期初的擁有量都是隨機(jī)的數(shù)量。 這是由于每一期的擁有量與前 一期的銷售量有關(guān), 并且

17、顯然是由遞推關(guān)系決定的。 這是一個隨機(jī)的過程, 考慮 了隨機(jī)變化的每個隨機(jī)變量。當(dāng)然,也要研究隨著時(shí)間的延伸,這樣的過程能否穩(wěn)定下來,可以考慮穩(wěn) 定狀態(tài)下的分布規(guī)律。 考慮相鄰兩個時(shí)間段上的潛在的數(shù)量的分布規(guī)律, 就是概 率分布。因?yàn)闋顟B(tài)是前后相聯(lián)接的?？紤]概率轉(zhuǎn)移矩陣:計(jì)算出來得到368. 0 0( 11(111=+n n n D P S S P p0 12(112=+n n S S P p362. 0 1( 13(113=+n n n D P S S P p368. 0 1( 2(121=+n n n D P S S P p368. 0 0( 22(122=+n n n D P S S P

18、 p264. 0 2( 23(123=+n n n D P S S P p184. 0 2( 31(131=+n n n D P S S P p368. 0 1( 32(132=+n n n D P S S P p448. 0 3( 0( 33(133=+=+n n n D P D P S S P p=448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0P ( (i S P n a n i =, (, (, ( (321n a n a n a n a =P n a n a ( 1(=+452. 0, 263. 0, 285. 0( , , (321

19、=穩(wěn)態(tài)概率為:計(jì)算結(jié)果 1:計(jì)算失去銷售機(jī)會的概率=>=>31 ( ( (i n n n n n i S P i S i D P S D P105. 0452. 0019. 0263. 008. 0285. 0264. 0=×+×+×=這就是在每一天喪失銷售機(jī)會的概率, 實(shí)際上就是這一天潛在的各種數(shù)據(jù)中 的一種情況的比例數(shù),當(dāng)然也是從長期來看,在銷售的時(shí)間里,不夠賣的比例。 計(jì)算結(jié)果 2:計(jì)算該存貯策略下平均銷售量。用條件數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法,得到:( (3111i S P i S i D iP i S j D jP R n i n n i j n n

20、n =+=<1857. 0452. 0977. 0263. 0896. 0285. 0632. 0=×+×+×=因平時(shí)賣的數(shù)量是在供貨充足的情況下實(shí)現(xiàn)的, 而現(xiàn)在的平均數(shù)則是還要根 據(jù)當(dāng)天的實(shí)際的供貨量, 因此存在著不夠賣的情況, 因而導(dǎo)致了平均銷售量小于 平均的需求量的情況。我們可以通過分析上面各個模型的共性和差異性, 系統(tǒng)、 全面、 深入地了解 和掌握存貯模型的基本規(guī)律,作為我們教學(xué)的重要內(nèi)容。我們在教學(xué)過程中要善于對這些模型進(jìn)行分析和總結(jié), 或者根據(jù)問題的 不同特點(diǎn),在講了一個或幾個有代表性的模型以后,根據(jù)教師提示讓學(xué)生進(jìn) 行討論、擴(kuò)充和完善,這有助于

21、訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維能力,自然這里面也 體現(xiàn)了創(chuàng)新性的思維能力訓(xùn)練。2.2 人口系列模型在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中, 加強(qiáng)綜合性模型的教學(xué)是非常重要的。 存貯模型體現(xiàn)的 是同類型的實(shí)際問題, 由于問題的細(xì)節(jié)有所不同, 導(dǎo)致了不同的數(shù)學(xué)模型, 存貯 模型有不同的各種類型, 然后基于不同的條件得到不同的數(shù)學(xué)模型, 這體現(xiàn)了一 個大類模型下的各種不同情形下的不同數(shù)學(xué)模型。人口模型則體現(xiàn)了對統(tǒng)一個實(shí)際問題可以用不同的模型描述分析。我們可 以從這樣的成批的數(shù)學(xué)模型中體會到數(shù)學(xué)模型的多樣性、 層次性, 加強(qiáng)系統(tǒng)性的 訓(xùn)練教學(xué),這對于全面提高數(shù)學(xué)建模的能力非常重要。(1 一般指數(shù)模型考慮某個特定地區(qū),在時(shí)間 t 時(shí)的

22、人口數(shù)量的總數(shù)的變化規(guī)律。根據(jù)人口數(shù) 量的變化規(guī)律的內(nèi)在特征,我們可以表現(xiàn)出人口數(shù)量的內(nèi)在的變化規(guī)律 .rx dtdx =0 0(x x = 結(jié)果:rt e x t x 0 (=(2 阻滯增長模型考慮到當(dāng)人口增長到一定的程度以后,人口的增長率會發(fā)生變化,將依賴于 當(dāng)前的數(shù)量,因此變化規(guī)律模型要分開來討論。1( (mx x r x x r dt dx =0 0(=x 模型:rtm me x x x t x += 1(1 (0計(jì)算結(jié)果 : 研究某個特定地區(qū)的特定時(shí)間段內(nèi)的時(shí)刻 t 時(shí)人口數(shù)量按層次的數(shù)量分布的 結(jié)構(gòu)關(guān)系,以及這種結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律。引入下面的記號:t p(r, 表示 t 時(shí)刻的人口密度

23、; , (t r 表示 t 時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)人口死亡數(shù); drdt t r p t r dr dt t dr r p dr t r p , ( , ( , ( , (1=+ 基本關(guān)系滿足:重組分析并取極限計(jì)算以后得到模型:, ( , (t r p t r tp r p =+, ( , (t r p t r t p r p =+ 偏微分方程模型: ( 0, (0r p r p =( , 0(t f t p =計(jì)算的結(jié)果為: >=r t et r f r t e t r p t r p rrn k k x i ,., 2, 1, 0, (=2、時(shí)段 k 上第 i 年齡組的人口數(shù)為 ,3、時(shí)段

24、k 上第 i 年齡組的平均繁殖率為 ,就是在一個時(shí)段上的平均生育數(shù)量,i b 4、 時(shí)段 k 上第 i 年齡組死亡率為 , 就是一個時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)之比, i d i i d s =15、 就是存活率;=+ni i i k x b k x 11 ( 1(數(shù)學(xué)模型:1,., 2, 1, ( 1(1=+n i k x s k x i i iT n k x k x k x k x (,., (, ( (21=矩陣 =000000121121n n n s s s b b b b L O O L L ,. 2, 1, 0, ( 1(=+k k Lx k x 向量模型結(jié)果:,. 2, 1, 0( (=

25、k x L k x k *1 (lim cx k x k k = 是矩陣 L 的唯一正的特征值1* (x c k x k ( 1(k x k x +穩(wěn)定分布為:假設(shè):時(shí)刻 t 時(shí)的人口數(shù)量為 ,取整數(shù),是隨機(jī)變量,概率分布為:(t X . 2, 1, 0, ( (=n n t X P t P n ,就是比例數(shù);在人口為 n 時(shí),出生一個人的概率與時(shí)間長度成正比,即為 t b n ,出生兩個以上的概率為 ;(t o 在人口為 n 時(shí),死亡一個人的概率與時(shí)間長度成正比,即為 t b n ,出生兩個以上的概率為 ;(t o n d n b n n =,為單位時(shí)間內(nèi) n=1時(shí)一個人的出生和死亡的概率;

26、, 模型:( 1( ( ( (1111t o t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n +=+( ( ( (1111t nP t P d t P b dtdP n n n n n n +=+ ,即開始時(shí)只有一種情況,而后就 =00, 0, 1 0(n n n n P n 考慮的是各種可能的變化數(shù)量;考慮均值:=1 ( (n n t nP t E ( (t E dtdE =0 0(n E = 得到模型: 1 ( ( (10+=+=t t N e n t D 在教學(xué)中我們可以利用上面的模型案例進(jìn)行集中教學(xué),由于數(shù)學(xué)模型課 程都是在學(xué)完了一些

27、必備的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程以后開設(shè),因此我們就可以通過對 人口問題進(jìn)行建模分析,讓學(xué)生體會到一個實(shí)際問題可以用不同的數(shù)學(xué)理論 和方法進(jìn)行分析,建立不同的數(shù)學(xué)模型,而達(dá)到相同的解決問題目的。當(dāng)然 人口模型還有其它的形式,也可以作為課后作業(yè)留給學(xué)生,讓學(xué)生課后進(jìn)行 查閱分析,進(jìn)行不同模型的分析對比,這對于提高學(xué)生的深入分析問題解決 問題的能力是顯而易見的。2.3 0-1變量方法在規(guī)劃等問題建模中的應(yīng)用我們知道,在數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中, 0-1變量的使用是非常有用的,通過引入 0-1變量,能夠非常巧妙地將數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)出來。我們不妨就把這種方法叫做 0-1變 量法, 實(shí)際上可以看成是數(shù)學(xué)建模方法中的一個子方法。 下

28、面我們通過一些例子 來看 0-1變量法的使用。某公司有兩種原油 A , B ,要混合加工成兩種汽油甲和乙。甲、乙兩種汽油 含原油 A 的最低比例分別為 50%和 60%,每頓的售價(jià)為 4800元和 5600元,該公司現(xiàn)在有原油 A 和 B 的庫存量為 500噸和 1000噸,還可以從市場上購買到不 超過 1500噸的原油 A 。原油 A 的市場價(jià)格為:購買量不超過 500噸時(shí),單價(jià)為10000元 /噸,購買量超過 500噸但不超過 1000噸時(shí),單價(jià)為超過 500噸的 8000元 /噸,購買量超過 1000噸時(shí),超過的部分 6000元 /噸。問題:該公司如何安排 原油的采購和加工,使得利潤最大

29、?符號引入 :原油 A 的采購量為 ; 采購的和原來有的原油 A 用于甲和乙 的數(shù)量為 和 ;原油 B 用于甲和乙的數(shù)量為 和 ;原油 A 的購買費(fèi)用 為:c(x;x 11x 12x 21x 22x x (c x x (5.6 x x (8. 4z Max 22122111+= 規(guī)劃模型為:+0x , x , x , x , x 6+=15000x 1000, 6x 30001000x 500, 8x 1000500x 0, 10x x (c 為了化成線性規(guī)劃模型,將變量 x 進(jìn)行分解:設(shè)購買的原油 A 分成三部分:為 10千元 /噸的, 為 8千元 /噸的, 為 6千元 /噸的, 則 。 它

30、們的取值范圍是有特定要求的, 就是說這樣的三個變量取值需要滿足:只能取 到三種組合形式321x x x x +=3x 1x 2x , , , x , 500, 500(3 , 500x 03 0, 0, x (1 0, x , 500(2500x 01500x 02, 那么如 何通過數(shù)量關(guān)系式將這樣的取值狀態(tài)表現(xiàn)出來呢?方法 1、實(shí)際上就是對變量組 (, , 的幾種選擇, 也可以看成是以這 三個未知數(shù)形成的不等式組的解。我們引入 0-1變量:,用它們與原來 的變量 , , 建立不等式組關(guān)系式, 使得當(dāng) 取遍所有的組合值時(shí), 分別得到我們所需要的變量 , , 的取值。3x 1x 2x 321y

31、, y , y 3x 321y , y , y 1x 2x 3x 1x 2x關(guān)系式為: =10y , y , y 500y x 500y x 500y 500y x 500y 32133223112或 例如: 0,正好對應(yīng)著不等式的解為, 0, 1321=y y y 0, 0, x (1 正好對應(yīng)著不等式的解為 0, 1, 1321=y y y 0, x , 500(2 正好對應(yīng)著不等式的解為 1, 1, 1321=y y y x , 005, 500(3 的其它組合都使得不等式組無解。在這里,三個變量 起到 了重要的選擇作用, 因?yàn)樵谟?jì)算時(shí), 計(jì)算機(jī)會對這三個變量的取值進(jìn)行組合搭配, 然后帶

32、入不等式組中,求出滿足不等式的 , , ,得到我們需要的取值形 式和范圍。321y , y , y 321y , y , y 3x 1x 2x 方法 2 利用將一個 n 段線性連續(xù)函數(shù) f(x寫成一個統(tǒng)一表達(dá)式的形式。分 點(diǎn)為:,將每一小區(qū)間段上的點(diǎn)坐標(biāo)用一個統(tǒng)一表達(dá)式來 表示:,其中 1n n 21b b b b +L +=1n 1k k k b z x 1z 0i ,則有:,但是計(jì)算時(shí)要分成不同的情況分別用不同計(jì)算公式 . 實(shí)際上就是要用到變量 的組合形 式:+=1n 1k ( x (f k k b f z 1n 1z , z +L 00, z , z (21L , , ,并且使得;00,

33、 z , z , 0(32L z , z , 0, , 0(1n n +L +=1n 1k k 1z如何通過表達(dá)式的計(jì)算得到這樣的形式的組合呢?可以通過構(gòu)造含有這些 變量的不等式組,使得它們的解就是這樣的形式,也可以通過引入 0-1變量,通 過它們的取值組合,得到不同的不等式組,正好對應(yīng)著相應(yīng)的解。令n k ,., 2, 1, 10y k =或 n n n n n y z y z y y z y y z y z +1132321211, y ,., ,. , 使得 , (*并且對于這些 0-1變量也不是任意取值的,還要加上限制條件,確保由相應(yīng)的這 些 0-1變量構(gòu)造的不等式的解正好是我們需要的

34、。即=n 1k k 1y就是當(dāng) 取到n k ,., 2, 1, 10y k =或 0,., 0, 1(, , 時(shí),對應(yīng)的不等式組 (*正好得到了所有 我們那需要到 ,0 ,. 0, 1, (0 1, 0,., 0, 0( 00, z , z (21L z , z , 0, , 0(1n n +L 這就是 0-1變量的作用, 用它們參與運(yùn)算, 計(jì)算出我們需要的變量組合形式。 通過本例模型可以看出, 0-1變量可以用來將不同的計(jì)算形式, 進(jìn)行統(tǒng)一化處理, 化成一個統(tǒng)一的表達(dá)式,然后再利用其中的參數(shù)的特殊搭配,實(shí)現(xiàn)不同的計(jì)算, 而這種特殊的搭配是通過引入 0-1變量構(gòu)造相應(yīng)的不等式組, 進(jìn)而得到所需

35、要到 數(shù)據(jù)組合搭配形式。問題:某個學(xué)校規(guī)定, 某個專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)時(shí)必須至少學(xué)習(xí)過 門 類課 程, ?，F(xiàn)在給出了 n 門具體課程,以及對于這些課程的類型屬性和先 后次序上的要求。每門課程都有相應(yīng)的學(xué)分等,確定一個學(xué)生要正常畢業(yè)的話, 應(yīng)當(dāng)如何選課程,使得滿足這些要求并且學(xué)習(xí)課程門數(shù)最少,并且學(xué)分最多?i a i s m ,., 2, 1i =問題分析:由于一門具體的課程可能屬于不同的類型, 因此存在著門數(shù)較少 的可能,而在較少的門數(shù)中,存在著學(xué)分?jǐn)?shù)多的情況。實(shí)際上這個問題就是選擇問題, 就是從所給的課程中選擇某些課程, 使得符 合要求, 那么如何表示選擇的課程, 并且對他們的特征進(jìn)行量化分析呢?就要給 相應(yīng)得課程進(jìn)行量化,首先課程有學(xué)分?jǐn)?shù),我們可以給每個課程一個符號名稱, 但是它們不能參