第一講一元二次方程教師版

1、學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來?。?620594328235652362053939第一講一元二次方程一、 基礎(chǔ)知識(shí)1. 一元一次方程的概念定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程.由一元二次方程的定義可知,只有同時(shí)滿足三個(gè)條件:是整式方程;含有一個(gè)未知數(shù);未知數(shù)的 最高次數(shù)是 2.這樣的方程才是一元二次方程,否則,不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程.2. 一元方程的一般形式一元二次方程的一般形式是: ax2 + bx + c = 0(a ? 0) .它的特征是:等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次多項(xiàng)式.等式右邊是零.其中 ax2 叫做二次項(xiàng), a 叫

2、做二次項(xiàng)系數(shù); bx 叫做一次項(xiàng), b 叫做一次項(xiàng)系數(shù); c 叫做常數(shù)項(xiàng).3.全的一元二次方程我們把缺一次常數(shù)項(xiàng)的一元二次方程稱為全的一元二次方程. 一元二次方程可分類如下:ìï ï ï完全的一元二次方程ax2 + bx + c = 0ïïïìï ïax2 +c=0(缺一次項(xiàng))ax2 +bx=0(缺常數(shù)項(xiàng))一元二次方程ïí全的一元二次方程ïíax2 + bx + c = 0(a ? 0)ïïï ï ï

3、39; ax2 =0(缺一次常數(shù)項(xiàng))îïî4,一元二次方程的解法有:直接開平方法配方法因式分解法b2- b ?4ac2公式法 求根公式: x =(b - 4ac ? 0)2a5.一元二次方程的根的判別式與根的情況在其求根公式的推導(dǎo)中.我們可以知道,一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ? 0) 是否有實(shí)數(shù)根,完全取決于b2 - 4ac 的值的符號(hào),因此我們把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判別式,通常用“”來表示，即= b2 - 4ac .判別式定理及逆定理:D > 0 ?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D 0 ?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D &l

4、t; 0 ?方程沒有實(shí)數(shù)根1學(xué)而思教育06 年秋季班初三聯(lián)賽班第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來?。?620594328235652362053939D 馳0方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根6.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(定理)如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ? 0) 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x , x ,12cax =那么1 2a定理的兩個(gè)重要推論:推論 1:如果方程 x2 + px + q = 0 的兩個(gè)根是 x , x ,那么x =-p, x x = q.1221 2推論 2:以兩個(gè)數(shù) x1 , x2 為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為 1)是1 + x2 )x + x1 ?x20 .

5、7.二次三項(xiàng)式的因式分解與一元二次方程的關(guān)系ax2 + bx + c = a(- x ) .2其中 x , x 是 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 的兩個(gè)根.12二、 例題1選擇題(2005.河南)三角形兩邊長分別是 8 和 6,第三邊長是一元二次方程x2 - 16x + 60 = 0 的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則該三角形的面積是：(B)B.24 或8 5D. 8 5A.24C.48點(diǎn)撥： x2 - 16x + 60 = 0 ， x= 6, x = 10 .兩個(gè)三角形分別為 6,6,8 和 6,8,10.12則 m 的值為:） 方程 (m + 2)xm + 3mx + 1=0

6、是關(guān)于 x 的一元二次方程,（ 2006. 中考(B )A. m = ? 2B. m = 2C. m = - 2m = 2 .D. m 貢 2m = 2 且 m + 2 筡0點(diǎn)撥:(2005.杭州)若t 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ? 0) 的根,則判別式= b2 - 4ac 和完全平方式 M = (2at + b)2 的關(guān)系是:(A)A. D= MB. D> MC. D < MD.大小關(guān)系不能確定點(diǎn)撥:at2 + bt + c = 0, M = (2at + b)2 = 4a2t 2 + 4abt + b2 ,而:D = b2 - 4a(- at 2 -

7、 bt) = b2 + 4a2t2 + 4abt , D = M . 選 A.)已知 a、b、c 是 ABC 三條邊的長,那么方程(2007.中考2學(xué)而思教育06 年秋季中考沖刺班初三第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來?。?620594328235652362053939c =4cx2 + (a + b)x +A.沒有實(shí)數(shù)根0 的根的情況是:(C )B.有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根點(diǎn)撥:結(jié)合a 、b 、c 為三角形的三邊,可得: D > 0,> 0, x1 + x2 < 0 .選 C. (2005. 遼寧) 關(guān)于 x 的方程 x2

8、+(C )2 k x + 1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 則 k 的取值范圍是:A. k > - 1B. k ?1C. k > 1k > 1.選 C.D. k ³ 0點(diǎn)撥:依題意得D> 0 且k ³ 0,的方程 x2 + (2005. 杭州 ) x , x 關(guān)于 xpx + q = 0 的兩根, x + 1, x + 1 是關(guān)于 x 的方程1212x2 + qx +p = 0 的兩根,則分別等于:(D )A.1, 3B. 1,- 3C. - 1, 3D. - 1,- 3ìï (x + 1) + (x + 1) = - qì

9、;ï - p + 2 = -點(diǎn)撥:由12得q可求出 p, q ,選 D.íïíï q - p + 1 = p(x + 1)?(x1) = pîî12(2005. 常德) 已知方程 x2 + (2k + 1)x + k 2 -2 = 0 的兩實(shí)根的平方和等于 11,則 k 的取值是:(C )B. - 3C. 1D. 3A. 3 或 1k ?9 .選 C.4,那么 x +的值是: (xD. - 1或2點(diǎn)撥:由根與系數(shù)的關(guān)系k = 1 和 k = - 3 ,又由D? 01(2005.蘭州)已知實(shí)數(shù) x 滿足B)A. 1或- 2B.

10、 - 2y ,方程可化為 y2 +C. 11 =xy = 1或 y = - 2 .當(dāng) x + 1 = 1時(shí),x點(diǎn)撥:令 x +y -2 =0 ,x2 - x + 1= 0 , D < 0 無解, y = - 2 選 B.(2004.聊城)使一元二次方程 x2 + 7x + c =0 有實(shí)數(shù)根的最大整數(shù)c 是:(C)A. 8B.10C.12D.13點(diǎn)撥: D = 72 - 4c 常0, c12 1 .4)已知 x 為實(shí)數(shù),) = 2 ,則 x2 + 3x 的值為:(2007.中考A )A.1C. 3D. -1或3B. 3 或 13學(xué)而思教育06 年秋季中考沖刺班初三第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)

11、，思考成就未來?。?6205943282356523620539393 -y點(diǎn)撥:令 x2 + 3x = y ,方程可化為:y = 2 ,y = 1或y = - 3, 但當(dāng) y = - 3 時(shí),3x = - 3, x2 + 3x + 3 = 0, D < 0, 無解. x2 + 3x = 1.選 A.2.(2000.(a - 1)x2 -(b - 1)x2 -聯(lián)賽)首次系數(shù)不相等的兩個(gè)二次方程(a2 + 2)x + (a2 + 2a) = 0(b2 + 2)x + (b2 + 2b) = 0(1)ab + ba（其中 a、b 為正整數(shù)）有一個(gè)公共根，求值.(2)a- b + b- a分別

12、觀察兩個(gè)方程的系數(shù),可利用因式分解法求得兩個(gè)方程的解.解:由題意知: a > 1, b > 1且 a ¹ b .a + 2;a)(a -(a + 2)=由(1)得: (x -1)x -0, x = a, x =12a + 1b + 2.b)(b -(b + 2)=由(2)得: (x -1)x -0, x = b, x =12b + 1b +2或b =a +2.兩式化簡為: ab - a - b - 2 = 0, 即(a - 1)(a - 3) = 0a =由題意有:b + 1a + 1ìï a - 1 = 1 或ìï a -

13、6;ï a = 2 或ìï a =1 =3解之得:4,代入所求.原式=216 =65536 .íï b - 1 = 3íï b -íï b = 4íï b = 21 = 1îîïîïî"試題）已知關(guān)于 x 的方程(4- k)(8- k)x2 - (80- 12k)x + 32 = 0 的3.（2000."是整數(shù)，求整數(shù)k 的值.解:當(dāng) k = 4 時(shí),原方程可化為- 32x + 32 = 0 此時(shí)有整數(shù)根

14、1;當(dāng) k = 8 時(shí),原方程為16x + 32 = 0 ,此時(shí)有整數(shù)根- 2 ;8 時(shí),原方程化為 輊(4- k )x -輊(8- k )x -當(dāng) k ¹ 4 且 k ¹84 =0 .可:臌臌84x =, x =.而 x , x 是整數(shù)根且 k 為整數(shù).12124- k8- k4 - k = 北1,2, 4,? 8k = 3, 5, 2, 6, 0,- 4,128- k = 北1,2,? 4k = 7, 9, 6,10,12綜上所述,當(dāng)k = 4, 6,8,12 時(shí),方程的是整數(shù).4.(2000.重慶市競賽)設(shè)方程 x2 -2x - 1 - 4 = 0, 求滿足該方程的所

15、有根之和.解:若 x < 1 ,則 2x -20 ,原方程化為: x2 + 2x -1<5 = 0 x = - 1+6, x = - 1-6 ,121又 x < x = - 1-26 ;4學(xué)而思教育06 年秋季中考沖刺班初三第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來！： 620594328235652362053939若 x ³ 1 ,則 2x-1 ,21? 0 ,原方程化為: x2 -2x - 3 =0 . x = 3, x = -1 ,又x ³ x = 3則所122求的和為: - 1-6 + 3 = 2-6 .5.(2001.陜西省競賽)已知矩形 A 的邊

16、長分別是 a 和b ,如果總有另一矩形 B,使得矩形 B 與矩形 A 的周長之比與面積之比都等于 k ,試問: k 是否存在最小值?若存在,求出最小值,若不存在,說明理由.解: 設(shè)矩形 B 的邊長分別是 x, y ， 由題意得： x +y = k(a + b), xy = kab 故 x, y 是關(guān)于 t 的方程t2 + k(a + b)t + kab = 0D = k 2 (a + b)2 - 4kab ? 0k0的 兩 個(gè) 實(shí) 根 . 則 有 :,有 :故4abk(a + b)2 - 4ab ? 0 即 k ³,又 k(a + b) > 0, kab > 0 x &g

17、t; 0, y > 0 .(a + b)24ab所以k 的最小值為.(a + b)26.(2002.江蘇競賽)已知a, b 是方程 x2 - x - 1= 0 的兩實(shí)根,求a 4 + 3b 的值.解:由根與系數(shù)的關(guān)系得a + b = 1又a 是方程 x2 - x - 1= 0 的根, a 2 = a + 1 所以:a 4 + 3b = (a + 1)2 + 3b = a 2 + 2a + 1+ 3b = (a + 1) + 2a + 1+ 3b = 3(a + b ) + 2 = 57.(2001.初中數(shù)學(xué)競賽"創(chuàng)新杯"廣西賽區(qū))已知關(guān)于 x 的方程2驏x驏x(a2

18、- 1)瓏鼢- (2a + 7)+ 1 = 0 有實(shí)數(shù)根.1鼢瓏桫x -桫x - 1(1) 求 a 的取值范圍.(2) 若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x1, x2 ,且x1x23+=,求 a 值.x1 - 1x2 - 111解：x= t ，當(dāng)t = 1時(shí)無解，當(dāng)t ¹ 1時(shí)，原方程可化為(a2 - 1)t 2 -(2a + 7)t + 1=0, 當(dāng) a2 -1 = 0 時(shí)(1)設(shè)x - 1x1x1或，x = 1 或 x = - 1 .故當(dāng)a = ? 1 ，方程變?yōu)? 9t + 1= 0 或- 5t + 1= 0 即=x -19x - 15841時(shí),原方程有實(shí)根.當(dāng) a2 -a = ? 1

19、?0 時(shí), D? 0 ,即5328- (2a + 7)2 -時(shí) ,(a2 - 1)-4(a2 -(2a + 7)+ 1 =,1) ? 0a ?. 又當(dāng) t = 10,535328a = 1? 2 2 .由于1?2 2-.綜上:當(dāng) a ?28且 a 貢12 2 時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.x1x2(2a + 7)t + 1= 0, 的兩根,即有 2a + 7 =3是方程(a2 - 1)t 2 -,(2)依題意,a2 - 111x - 1 x - 1125學(xué)而思教育06 年秋季中考沖刺班初三第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來！： 620594328235652362053939a = 10, a = -

20、 8 ,根據(jù)(1) a < - 53 (舍去),a = 10 .1223288.(2000.黃石市競賽)大數(shù)學(xué)家在<<代數(shù)論>>里有一個(gè)關(guān)于農(nóng)婦賣雞蛋的題目:兩個(gè)農(nóng)婦一共帶有 100 個(gè)雞蛋上市,兩個(gè)所帶蛋數(shù)不同,但是賣得的一樣,一個(gè)農(nóng)婦對第二個(gè)說:"20如果你的雞蛋換給我,我可以賣得 15 個(gè)銅板."第二個(gè)農(nóng)婦答道:"但是你的雞蛋換給我,我只能賣得個(gè)銅3板."試問,這兩個(gè)農(nóng)婦各有多少個(gè)雞蛋?解:設(shè)第一個(gè)農(nóng)婦有 x 個(gè)雞蛋,則第二個(gè)農(nóng)婦有(100- x) 個(gè)雞蛋.15x20(100- x)化簡得 x2 + 160x - 80

21、00 = 0 , x = 40 或 x = - 200 ,經(jīng)檢驗(yàn) x = 40 ,=依題意:(100- x)3x100- 40 = 60 .答:兩個(gè)農(nóng)婦分別帶 40 個(gè),60 個(gè)雞蛋.三、練習(xí)題1.(2004.河南選拔賽)已知方程 x2 - 3x + 1= 0 的兩根a, b 也是方程x4 - px2 + q = 0 的根,求 p,q.(3x - 1)2 =解： x2 = 3x - 1則9x2 - 6x + 1代入方程得9x2 -0 故 9- p = - 6 = q + 1 ，6x + 1- px2 + q = 0整理可得(9- p)x2 -6x + (q + 1) =： p =7, q =

22、1.1- 312.(2000.聯(lián)賽預(yù)賽)已知方程 x2 + a x + a a = 0 與方程 x2 + a x + a a = 0 有且只有一個(gè)公12 321 3共根,求證:這兩個(gè)方程的另兩個(gè)根(除公共根外)是方程 x2 + a x + a a = 0 的根.31 2解：設(shè) x2 + a x + a a = 0 的兩根為a , b ，方程 x2 + a x + a a = 0 的兩根為a , g ，其中a 為兩個(gè)方程12 321 3的公共根，則：a 2 + a a + a a = 0 a 2 + a a + a a = 0 ，-得(a - a )a + a (a - a ) = 0.12 3

23、21 312321因?yàn)閮蓚€(gè)方程只有一個(gè)公共根， 所以 a1 ¹ a2 ，a = a3 . 由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系有得:a3 + b = - a1, a3b = a2a3 , a3g = a1a3 , b = a2 ,(a)=g = a , a + a + a = 0 .b 2 + a b + a a = a 2 + a a + a a = a+ a+ a0 ,112331 223 21 22123a (a)=g 2 + a g + a a = a 2 + a a + a a =+ a+ a0 ,31 213 11 21123 b , g 是方程 x2 + a x + a a =

24、0 的兩根.31 23.(2002.山東省初中競賽)關(guān)于 x 的方程kx2 - (k - 1)x + 1= 0 有有理根,求整數(shù) k 的值.解:1)當(dāng) k = 0 時(shí), x = - 1,符合題意.2)當(dāng) k ¹ 0 時(shí), D = k 2 - 6k + 1= m2 (m 為正整數(shù))即:6學(xué)而思教育06 年秋季中考沖刺班初三第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來?。?620594328235652362053939(k - 3)2 -m2 =8 故(k - 3+ m)(k -m)=3-8 ,因?yàn)閗 -3+ m, k - 3-m 同奇偶,又ì k -k - 3+ m > k

25、 - 3- m 只有ïm = 4ìï k - 3 + m = - 2或3 +k = 6(k = 0 舍去), 綜合 1)2) 得:íï k -3- m = 2íï k - 3- m = - 4ïîïîk = 0 或 k = 6 .4.(江蘇第 17 屆初三數(shù)學(xué)競賽)已知實(shí)數(shù) a,b,c,滿足a + b + c = 0 , a2 + b2 + c2 = 6則 a 的最大值為多少?a2 + b2 + - (a + b)2 = 6 即 b2 + ab + a2 -解:由題意得: c = -

26、(a + b) ,于是有:3 =0 ,從而 b 是方程b2 + ab + a2 - 3 = 0 的實(shí)數(shù)根.故有D = a2 - 4(a2 - 3) ? 0 得- 2 a足題意, a 的最大值是 2 .2 且當(dāng)a = 2 時(shí), b = c = - 1,滿初中數(shù)賽) a 是大于零的實(shí)數(shù),已知存在惟一的實(shí)數(shù) k ,使得關(guān)于 x 的二次方程5.(2001.x2 + (k 2 + ak)x + 1999 + k 2 + ak = 0 的兩根均為質(zhì)數(shù),求 a 的值.()解:設(shè)方程的兩根為 x 、 x ，則有 x + x = -k + ak x x = 1999 + k 2 + ak 212121 2由+，

27、得x + x x = 1999 有: (x + 1)(x + 1)= 24 ? 53 由知 x 、 x 顯然均不為 2,則必為奇21 21212x + 1 x + 1x + 1 x + 1數(shù),故 1, 2必為整數(shù),且 1? 222 ? 53 ,若 x1 + 1 為奇數(shù),則必有 x1 + 1 = 5r (r = 1, 2, 3) ,222222x + 1x + 1x + 1 x + 1.因此,1必為偶數(shù);同理,2必為偶數(shù).所以 1, 2均為偶從而 x = 2? 5r1 為合數(shù),122或 5. 當(dāng)4時(shí) ,4x2 + 1 =x1 + 1?x2 + 1x1 + 1 = 1x1 + 1 = 15353不

28、 妨 設(shè) x £ x , 則數(shù) , 且得1244444x = 19, x = 499 .當(dāng) x1 + 1 = 5 時(shí),x2 + 1 =52 得 x = 19, x = 99 不合題意.故,把 x = 19, x = 499 代12121244入得:k 2 + ak + 502 = 0 此方程有唯一的實(shí)數(shù)解.所以: D = a2 - 4? 502 ,且前提a > 0a = 2502 .7學(xué)而思教育06 年秋季中考沖刺班初三第一講教師版學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，思考成就未來?。?620594328235652362053939 人生的秘訣 30 年前，一個(gè)年輕人離開故鄉(xiāng)，開始創(chuàng)造的前途.他動(dòng)身

29、的第一站，是去拜訪本族的族長，請求指點(diǎn).老族長正在練字，他聽說本族有位后輩開始踏上人生的旅途，就寫了 3 個(gè)字：不要怕.然后抬起頭來，望著年輕人說：“孩子，人生的秘訣只有 6 個(gè)字，今天先告訴你 3 個(gè)，供你半生受用.” 30 年后，這個(gè)從前的年輕人已是人到中年，有了一些成就，也添了很多傷心事。歸程漫漫，到了家鄉(xiāng)，他又去拜訪那位族長.他到了族長家里，才知道老人家?guī)啄昵耙呀?jīng)，家人取出一個(gè)密封的信封對他說：“這是族長生前留給你的，他說有一天你會(huì)再來.”還鄉(xiāng)的游子這才想起來，30 年前他在這里聽到人生的一半秘訣，拆開信封，里面赫然又是 3 個(gè)大字：不要悔.補(bǔ)充：1、解關(guān)于 x 的方程： ax2 + bx + c = 0 ；（本題簡單卻不易得滿，方法思想一定要提煉）- 2 +1 = 0 （數(shù)學(xué)美拾趣 P68）2、解方程3、