具非齊次線性部分的高階非線性拋物型方程組初值問題的整體解

1、具非齊次線性局部的高階非線性拋物型方程組初值問題的整體解3 3崔 尚 斌3提要本文研究具有非齊次線性局部并且非線性局部不含低階導數(shù)項的高階非線性拋物型偏微分方程組小初值問題整體經(jīng)典解的存在性.關鍵詞 非線性, 拋物型方程組, 初值問題, 整體經(jīng)典解M R ( 1991) 主題分類 35K 45中圖法分類 O 175. 261. 主要結果在 1中, 我們研究了具齊次線性局部的一般高階非線性拋物型偏微分方程組小初值問題整體解的存在性. 在 2中, 我們研究了具非齊次線性局部的高階非線性拋物型偏微分方程組小初值問題整體解的存在性. 本文是以上兩文的繼續(xù), 將研究具非齊次線性局部并且非線性局部不含低階

2、導數(shù)項的高階非線性拋物型偏微分方程組小初值問題整體經(jīng)典解的存在性. 我們將要證明, 在線性局部滿足與 2相同的條件下, 如果非線性局部不含低階導數(shù)項, 那么小初值問題整體解的存在性條件可以減弱. 下面陳述主要結果.考慮以下初值問題:at u (x , t) = P (ax ) u (x , t) + F (ax s u ,u (x , 0) = 0(x ) ,x R n , ax r u ) ,x R n ,(1. 1)(1. 2)t 0,其中 u (x , t) 表示定義在 R n R + 上的 m維復向量值未知函數(shù),P (ax ) 表示由 r 階復常系數(shù)線性偏微分算子組成的 m m 矩陣,

3、 F (ax s u , ax r u ) 表示以 ax u (x , t) : s r 為變元的 m維復向量值函數(shù),為定義在 R n 上的 m維復向量值函數(shù). 我們知道,算子 P0 (x )1(P ( i)P ( i) 3 )(ax )的符征為 P ( i). 現(xiàn)在令 + () 表示 H e rm ite 矩陣的最大特征+2值. 假設以下條件成立:(A )P (ax ) 所含最低階導數(shù)為 k 階的 (1 k r) , 且存在常數(shù) c 0 使成立+ () - c ( r + k ) ,函數(shù) F 充分光滑且存在整數(shù) 1 使成立 R n;(1. 3)(B ) F (w ) = O ( w 1+ )

4、 ,當 w 0 時.(1. 4)本文的主要結果為本文1994年12月6日收到.3 蘭州大學數(shù)學系, 蘭州730000.3 3 甘肅省科學基金資助的工程.數(shù) 學 年 刊17 卷 A 輯746定理1. 1在上述條件 (A ) ,(B )下, 如果還成立 (n + s) + s k , 那么存在常數(shù) 0使當初值函數(shù) 0 對某整數(shù) N n + 2 r+ 1滿足 I 0I H N + r/2 (R n ) + I 0IW N , 1 (R n ) 時,(1. 2) 存在唯一的整體經(jīng)典解 u , 而且該解還滿足以下形式的衰減估計:問題 (1. 1) -t) - n/k ,0,I u ( , t) IW N

5、 - r- n- 1, (R n ) C (1 + t t 0,(1. 5)(1. 6)(1. 7)I u ( , t) IW N , 1 (R n ) C ,6I au ( ,(n + s) /kt)(R ) C (1 + t) - t IW N - r- s- n- 1, n,0,x = s6I au ( ,t) - s/k ,t)IW N - s, 1 (R n ) C (1 + t 0,(1. 8)x = s其中 C 表示與 n , r, s, k ,0, F 及 P 有關的常數(shù).特別, 如果 P (ax ) 是齊次的, 那么 k = r, 應用以上定理可得推論1. 1設 P (ax

6、) 是 r 階齊次的,且存在常數(shù) c 0 使成立+ () c r , R n.-又設條件 (B )滿足. 那么, 如果還成立 (n + s) + s r, 那么存在常數(shù) 0 使當初值函數(shù)0 對某整數(shù) N n + 2 r+ 1 滿足 I 0 I H N + r/2 (R n ) + I 0 IW N , 1 (R n ) 時, 問題 (1. 1) - (1. 2) 存在唯一的整體經(jīng)典解 u , 而且該解滿足當 k = r 的所有衰減估計 (1. 5) - (1. 8).把定理1. 1和推論1. 2分別與 2和 1的兩個定理1. 1相比擬, 我們看到在非線性部分不含低階導數(shù)項的情形下, 拋物型方程

7、組小初值問題整體經(jīng)典解的存在條件可以減弱.把定理1. 1應用于形式更一般的高階非線性拋物型方程組6A (ax s u , ax ru ) au +x F (ax s u , ax r u ) ,(1. 9)矩陣值函數(shù).at u =其中 F 同前, A (ax s u ,k rx表示以 au s r 為變元的復 m m, ar u )x6A (0,令 P (ax )0) ax ,那么有=,k r定理1. 2設 A 和 F都充分光滑, P (ax ) 滿足條件 (A ) , 當 w 0 時, F (w ) = O ( w 2 ).F 滿足又設還成立 n + 2s k. 那么存在 0 使當初值函數(shù)

8、0 對某 N n + 2 r+ 1 滿足定理1. 1的條 件時, 初值問題 ( 1. 9) , ( 1.(1. 6) 和2)存在唯一的整體經(jīng)典解, 且該解滿足衰減估計( 1. 5) ,6I au ( ,(n + ) /kt)(R ) C (1 + t) - t (1. 10)IW N - r- - n- 1, n,0,x = 6I au ( ,t) - /k ,t)IW N - , 1 (R n ) C (1 + t 0,(1. 11)x = 其中 = m in (k , s).2. 主要結果的證明以下用符號 + s r u 表示 au:這時問題 (1. 1) - (1. 2) 可改寫成x s

9、 r.at u (x , t) = P (ax ) u (x , t) + F (+ s r u (x , t) ) ,x R n , t 0,(2. 1)(2. 2)x R n.u (x , 0) = 0(x ) ,6期崔尚斌具非齊次線性局部的高階非線性拋物型方程組初值問題的整體解747對給定的 0 和整數(shù) N n + 2 r+ 1, 用 X N , 表示由 R n R + 上滿足以下條件的 m量值可測函數(shù) v 組成的集合:維復向對任意滿足 = s 的 Z + n 有( i)t) (n + s) /k a (N - r- s- n- 1, (1 +x v x , t L 0,()+ ; Wn

10、 ) )R ;( ii) 對任意滿足 = s 的 Z + n 有(1 + t) s/k ax v (x , t) L 0, (+ ; WN - s, 1 (n ) )R ;( iii) 對任意滿足 k N + r 的 Z + n 有ax v (x , t) L 2 (0, + ; L 2 (R n ) ) ;(1+ t) n/k v (x , t) L (0, + ; W N - r- n- 1, (R n ) ) ;v (x , t) L (0, + ; W N , 1 (R n ) ) ;( iv)(v)(v i) D N (v ) , 這里 D N (v ) 定義如下(n+ s) /k

11、6D N (v ) = su p (1 + t)t 0I 5 v ( , t)IW N - r- s- n- 1, (R n ) = st) s/k 6I 5v ( , t)+ su p (1 +t 0IW N - s, 1 (R n ) = s+ su p (1 + t) n/k I v ( ,t) IW N - r- n- 1, (R n )t 0+ su p I v ( , t) IW N , 1 (R n )t 01+ 0262 2I 5 v ( , t)IL (R ) d t+,nk N + r其中 5v 表示函數(shù) (x , t) ax v (x , t) (下同). 在 X N ,

12、 上定義度量 d如下v 1 , v 2 X N , ,d (v 1 , v 2 )=D N (v 1 - v 2 ) ,那么 (X N , ,是一個完備的度量空間.d )設 v X N , . 又設 0 是 R n 上滿足以下條件的 m維復向量值函數(shù): r(v ii) 0W N , 1 (R n ) H N + 2 (R n ) , 且 r1+ I 0IW N , 1 (R n ) + I 0I H N + 2 (R n ) ,其中 為出現(xiàn)于條件(B ) 中的正整數(shù). 考慮以下線性初值問題:atu (x , t) = P (ax ) u (x , t) + F (+ s r v (x , t)

13、 ) ,x R n , t 0,(2. 3)(2. 4)u (x , 0) = 0(x ) ,x R n.應用2, 定理3. 1 知該問題有唯一的強解 u , 且 u 可表示成tu ( , t) = S ( t) 0 + 0rS ( t - ) F (+ s v ( , ) d ,(2. 5)其中 S ( t) 為算子 at - P (ax ) 初值問題的解算子1. 2 .引理 2. 1設在條件 (A ) , (B ) 下還成立 ( n + s ) + s k. 那么存在常數(shù) 0 0 使當0 0 和M 0 使 F (w ) C 0 w 1+ ,當 w M 時.在以后的推導中我們總設 M .這樣

14、 3的第一章的定理4. 4和定理4. 5便可直接應用.把 2,推論2. 1應用于 (2. 5) 可得以下諸估計式6I 5u ( ,t) IW N - r- s- n- 1, (R n ) = st) - (n + s) /k I 0I C (1 +N - r, 1 ( n )W Rt+ C0 (1 + t - )- (n + s) /krI F (+ sv ( ,) ) IW(R ) d ,(2. 6)N - r, 1 n6I 5u ( ,t) IW N - s, 1 (R n ) = s C (1 + t) - s/k I 0IW N , 1 (R n )t+ C0 (1 + t - ) I

15、 F (+ s v ( , ) )- s/kr(2. 7)IW(R ) d ,N , 1 nI u ( , t) IW N - r- n- 1, (R n ) C (1 + t) - n /k I 0IW N - r, 1 (R n )t+ C0 (1 +- n /krt - ) I F (+ s v ( , ) )(R ) d ,(2. 8)IWN - r, 1 nI u ( , t) IW N , 1 (R n )tC I 0IW N , 1 (R n ) + CI F (+ s r v ( , ) ) IW N , 1 (R n ) d .(2. 9)0另外,應用 2,定理3. 1 結論

16、 (2) 可得1+ 026I 5 u ( , t) IL (R )n 2d t2k N + r+ (162 NI 5 u ( , t) I H (R ) d t) (此等號表示范數(shù)等價)=n20k r+ C ( I F (+12.rr2d t ) C I 0I H N + 2 (R n ) +v ( , t) )I H N (R n )()2. 10s0應用 3, 定理4. 4 ,在此定理中取 r= q= 1, p = , 并注意到 D N (v ) , 就得到I F (+ s r v ( , ) ) IW N - r, 1 (R n ) C 6 I 5v ( , ) IW N - s, 1

17、(R n ) I 5v ( , )IW r- s, (R n ) = ss + (n + s) C 1+ (1 +) -(2. 11),k代入 (2. 6)并應用條件 (v ii) 便得6I 5u ( , t)IW N - r- s- n- 1, (R n ) = stt) - (n+ s) /k + C 1+ + ss + (n + s) n(1 + t + ) - (1 + C 1+ (1 +) -d .kk06期崔尚斌具非齊次線性局部的高階非線性拋物型方程組初值問題的整體解749我們知道, 當 a 0, b 0且m ax (a , b) 1 時成立不等式t0 (1 +- a- b- m

18、in (a, b)t - ) (1 +) d C (1 + t) t 0,(2. 12),(見3,第一章 (5. 54) ). 因此, 由 s + (n + s) k 即得6I 5u ( , t)(n+ s /k ,)IW N - r- s- n- 1, (R n ) C (1 +t) -(2. 13) = s其次,再次應用 3, 定理4. 4 ,但取其 r= 1, p = q= 2, 并應用條件D N (v ) ,就得到I F (+ s r v ( ,) )IW N , 1 (R n )I H N + r- s (R n ) I 5v ( , C 6 I 5v ( ,I H r- s (R

19、n ) I 5v ( ,I - 1)W r- s, n(R ) = s C 6 I 5v ( ,I H N - r- s- n- 1 (R n ) 2 I 5v ( ,W r- s, nI - 1)(R ) = s6I 5v ( , ) IL 2 (R n ) ) ( 6 I 5v I H r- s (R n ) I 5v I - 1 (R ) )(+ CW r- s, nk N + r = s C 6 I 5v ( , )IW N - s, 1 (R n ) I 5v ( ,I )W N - r- s- n- 1, n(R ) = s 1- 16I 5v ( , ) IL 2 (R n )

20、) ( 6 I 5v IW r- s, 1 (R n ) I 5v IW r- s, (R n ) )22+ C (k N + r = ss + (n + s) r C 1+ (1 + C (1 +) -ks + (n + s) ( 2 r- 1)6I 5v ( , ) IL 2 (R n ) ,)(2. 14)2kk N + r代入 (2. 7) 并應用條件 (v ii)就得6I 5u ( , t)IW N - s, 1 (R n ) = s C 1+ (1 +t) - s/kt ( ) C 1+ st - ) - (1 +s+) -n + s+(1 +d kk0t+ C (1 + t -

21、) - s (1 + s+) - ( ) ( 2 r- 1)n+ s6I 5v ( , ) IL 2 (R n ) d .k2k0k N + r這一不等式右端第二項按 ( 2. 12 ) 知可被 C 1+ ( 1 + t ) - s/k 控制, 第三項可通過首先運用C au ch y 不等式, 再運用 ( 2. 12 ) 來估計, 易知它亦可被 C 1+ ( 1 +即得t ) - s/k 控 制.綜 合 起 來6I 5u ( , t) IW N - s, 1 (R n ) C 1+ (1 +t) - s/k.(2. 15) = s再次, 分別把 (2. 11) 和(2. 14) 代入 (2.

22、8) 和(2. 9) , 不難得到I u ( , t) IW N - r- n- 1, (R n ) C 1+ (1 +I u ( , t) IW N , 1 (R n ) C 1+ .t) - n/k ,(2. 16)(2. 17)數(shù) 學 年 刊17 卷 A 輯750最后, 再次應用3, 定理4. 4 , 但取其 r= q= 2, p = , 就得到I F (+ s rv ( , t) ) I 2 N (R n )H6 I 5v ( , t) I 2 N + r- s (R n ) I 5v ( , t) I 2r- s, (R n )HW = s2 (n + s) ( 66 C 2 (1

23、+t) -I 5v ( , t) I 2I 5v ( , t) I 2 (R ) )(R ) +kH N - r- s- n- 1 nL 2 nk N + r = s2 (n + s) C 2 (1 +( 6I 5v IW N - s, 1 (R n ) I 5v IW N - r- s- n- 1, (R n )t) -k = s6I 5v ( , t) I 2 (R ) ) ,+L 2 nk N + rs+ (n + s) ( 2 r+ 1)6 C 2 (+ 1) (1 + t) -C 2I 5v ( , t) I 2 ( ) ,(2. 18)+kL 2 R nk N + r代入 (2.

24、10) 并應用條件 (v ii) 即得+ (162I 5 u ( , t) I d t)20k N + r+ C 1+ (s(1 + t) - + ( + s) ( 2 r+ 1)n 1 C 1+ +d t)k20+ + C (16I 5v ( , t) I 2 (R ) d t) C 1+ .(2. 19)L 2 n20k N + r把 (2. 13) , (2. 15) , (2. 16) , (2. 17) 和 (2. 19) 結合起來, 最終得D N (u ) C 1+ , 其中 C 是與 1及 v 無關的正常數(shù). 現(xiàn)在取 0 = m in (M , C -X N , . 引理2. 1

25、證畢. ) , 那么當0 0 時就有 D N ( u ) , 進而 u 從以上引理可知, 如果0 0 , 那么對 R n 上任意固定的、滿足條件 (v ii) 的函數(shù) 0, 由B 0: v u = (2. 3) 和(2. 4) 的解,定義了一個映 X N , 到其自身的映射B 0. v X N , 引理2. 2在引理2. 1的條件下, 存在正數(shù) 0 0 使當0 0,x R n ,tu 3 ( , t) = S ( t - ) F (+ s r v 1 ( , ) ) - F (+ s rv 2 ( , ) ) d .06期崔尚斌具非齊次線性局部的高階非線性拋物型方程組初值問題的整體解751這樣

26、應用2,推論2. 1 便得以下諸估計式6I 5u 3 ( , t) IW N - r- s- n- 1, (R n ) = st C0 (1 +n + s-rrt - )I F (+ s v 1 ) -F (+ s v 2 ) IW(R ) d ,kN - r, 1 n6I 5u 3 ( , t) IW N - s, 1 (R n ) = st C0 (1 +s-rrt - )I F (+ s v 1 ) -F (+ s v 2 ) IW(R ) d ,kN , 1 nI u 3 ( , t) IW N - r- n- 1, (R n )t C0 (1 +nt - )-I F (+ s v 1

27、 ) -rF (+ s v 2 ) IWr(R ) d ,kN - r, 1 ntI u 3 ( , t) IW N , 1 (R n ) CI F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) IW N , 1 (R n ) d .0另外, 應用2, 定理3. 1 結論 (2) 可得+ (16 32 2I 5 u ( , t) IL (R ) d t)n20k N + r+ C (1rr 2 NI F (+ s v 1 ) -F (+ s v 2 ) I H (R ) d t).n20類似于 (2. 11) , (2. 14) 和(2. 18) 的推導, 運用3, 定理4. 5 可

28、得以下各估計I F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) IW N - r, 1 (R n )s+ (n + s) D N (v 3 ) , C (1 + ) -kI F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) IW N , 1 (R n )s+ (n + s) C (1 + ) -D N (v 3 )ks+ (n + s) ( 2 r- 1)6+ C - 1 (1 + ) -D N (v 3 )I 5v 1 IL 2 (R n )2kk N + rs+ (n + s) ( 2 r- 1)+ C - 1 (1 + ) -D N (v 3 )6I 5v 2 IL

29、 2 (R n )2kk N + rs+ (n + s) ( 2 r- 1)6+ C (1 + ) -I 5v 3 IL 2 (R n ) ,2kk N + rI F (+ s rv 1 ) - F (+ s rv 2 ) I 2 (R )H N ns+ (n + s) ( 2 r+ 1) C 2 (1 + t) -D N (v 3 ) 2k6C 2 (- 1)Dv 3 22N ()I 5 v 1 IL 2 (R n )+k N + rC 2 (- 1)Dv 3 262+N ()I 5 v 2 IL 2 (R n )k N + rC 26I 5v 3 I 2 (R ).+L 2 nk N +

30、r數(shù) 學 年 刊17 卷 A 輯752把這三個不等式代入前面得到的五個不等式, 即得n + s6I 5u 3 ( , t) IW N - r- s- n- 1, (R n ) C (1 + t) - k D N (v 3 ) , = s s6I 5u 3 ( , t) IW N - s, 1 (R n ) C (1 +k D N (v 3 ) ,t) - = s nI u 3 ( , t) IW N - r- n- 1, (R n ) C (1 + t) - k D N (v 3 ) ,I u 3 ( , t) IW N , 1 (R n ) C D N (v 3 ) ,+ (16 32 23 )I 5 u ( , t) IL (R ) d t) C D N (v.n20k N + r結合起來即得 D N ( u 3 ) C D N ( v 3 ) , 其中 C 是與 及 v 1 , v 2 無關的常數(shù).現(xiàn)在取 0 =1D1d1m in (0 , (2C ) - ) , 那么當0 0充分小時B 0 在