(完整word版)極化恒等式

1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù)學(xué)。極化恒等式秒殺秘籍： 極化恒等式：122a ?ba ba b .4AM1 ACAB ,在ABC 中，若 AM 是ABC 的 BC 邊中線，有以下兩個(gè)重要的向量關(guān)系：2BM1ACAB .2定理 1 平行四邊形兩條對(duì)角線的平分和等于兩條鄰邊平分和的兩倍.以此類(lèi)推到三角形，若AM 是ABC 的中線，則 AB 2AC 22AM2BM2.定 理2（極化恒等式的三角形模式）在ABC中，若M是 BC的中點(diǎn)，則有AB?ACAM21 BC222AMBM .4例 1：（2014年高考全國(guó)新課標(biāo) II卷文（理） 科第 4（ 3）題）設(shè)向量 a, b 滿足 ab10, ab6 ，則 a

2、?b等于 （）A.1B. 2C. 3D. 5a226解：由極化恒等式，即得a ? bba b101.44例 2: （ 2014 江蘇）在平行四邊形ABCD 中，已知 AB8, AD5,CP3PD, AP? BP 2, 則 AB ? AD 的值是.解: PA?PB22PE 218CP3PD, CD8PE AE22222AFAE2PE40PD2, AE4, 故DP為FAE中位線AP222AF ?AE AB?AD22APPE例 3： .設(shè)點(diǎn) P 是邊長(zhǎng)為2 的 ABC三邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA ? (PB ? PC) 的取值范圍是解：如圖，設(shè)BC 的中點(diǎn)為 D，則 PBPC2PD ,設(shè) AD 的中點(diǎn)為

3、M ，則 PA? (PB PC)2(PM 21AD 2 ) ,顯然，當(dāng) P 在 B 點(diǎn)時(shí)， PM 的值最大，此時(shí)49 .PA?(PBPC )2；當(dāng) PMAB 時(shí)， PM 的值最小， 此時(shí) PA ? (PB PC)98所以 PA ? (PBPC) 的取值范圍是 ,2 .8例 4：正方形 ABCD-A1B 1C1D1 的棱長(zhǎng)為2，MN 是它的內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱(chēng)為球的弦）， p 為正方形表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN 最長(zhǎng)時(shí)， PM ? PN 的最大值為解：設(shè)球心為 O，球半徑為 R，則 R=2, 根據(jù)極化恒等式： 4PM ? PN2R24 PO24 PO4又因?yàn)?P 為正方形表面

4、上的動(dòng)點(diǎn)，所以PO 的最大值為正方體體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即3，所以PM ? PN 的最大值為 2例 5：. ABC 中， C= 90 ,AC=4,BC=3,D 是 AB 的中點(diǎn)，E,F 分別是邊 BC ，AC 上的動(dòng)點(diǎn)，且 EF=1，則 DE ? DF的最小值等EF2151解： DE ?DFDH2（ H 為 EF 的中點(diǎn)）。又因?yàn)?CH DHCD,所以 DH CD CH24所以 DE ?DFDH4415 。22211444一、求數(shù)量積的值1.（2016年高考江蘇卷第13 題）如圖，在ABC中， D是 BC的中點(diǎn)， E,F 是 AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)， BA? CA4,BF ?CF1，則 BE ?CE

5、.2.（2012年高考浙江卷理科第15 題）在 ABC 中， M 是 BC 的中點(diǎn)， AM3, BC 10,則AB?AC.3.（2011年高考上海卷理科第11 題）在正ABC 中， D 是 BC 上的點(diǎn)， AB3, BD1,則AB?AD.4.（2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)預(yù)賽第11 題）在矩形 ABCD 中， AB3, AD4, P 為矩形 ABCD 所在平面上一點(diǎn)，滿足PA2, PC21,則 PB ? PD.二、界定數(shù)量積的取值范圍5.（2015年鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)理科第11 題）在 Rt ABC 中， CA CB3, M , N 是斜邊 AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 MN2, 則 CM

6、 ?CN 的取值范圍為（）A.2, 5B.2,4C.3,6D.4,62三、探求數(shù)量積的最值6.（2017年高考全國(guó) II卷理科第 12 題）已知 ABC 是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形， P 為平面內(nèi)一點(diǎn)，則PA? PBPC 的最小值是（）A.2B.3C.4D.1237. （ 2018?天津）如圖，在平面四邊形ABCD 中， AB BC ，AD CD， BAD=120° ，AB=AD=1 若點(diǎn) E 為邊 CD 上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A B CD 38. （ 2016 年高考浙江卷理科第15 題）已知向量 a, b, a1, b2, 若對(duì)任意單位向量e，均有 a ? eb ? e6, 則

7、 a ?b 的最大值是.四、處理長(zhǎng)度問(wèn)題9. （ 2008 年高考浙江卷理科第9 題）已知 a, b 是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c 滿足ac ? b c0, 則 c 的最大值是（）A.1B. 2C.2D.22110.（2013 年高考重慶卷理科第10 題）在平面內(nèi)， AB1AB2 , OB1 OB21, AP AB1AB2. 若 OP,則OA2的取值范圍是（）A.0,5B.5 ,7C.5 , 2D.7 ,22222211. （ 2017年高考浙江卷理科第15 題）已知向量 a,b 滿足： a1, b 2, 則 abab 的最小值是，最大值是.12. （ 2013 年高考天津卷文（理

8、）科第12 題）在平行四邊形ABCD 中， AD1,BAD60 ,E為CD的中點(diǎn) .若 AC ?BE1，則 AB.13. （ 2012 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南賽區(qū)預(yù)賽第11 題）若邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折成平面角大小為 60 的二面角，則邊 BC 的中點(diǎn)與點(diǎn) A 的距離為.14. （ 2012 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽黑龍江預(yù)賽題）設(shè)x2y2F1,F2 分P 是橢圓1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，169學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù)學(xué)。O為中心，則PF1 ? PF22.別是其左右焦點(diǎn)，PO五、解決綜合性問(wèn)題15. （2012年高考江西卷理科第7 題）在 Rt ABC 中，點(diǎn) D 是

9、斜邊 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為線段 CD的中點(diǎn)，則PA22PBPC2等于（）A. 2B. 4C. 5D. 1016.（2013年高考浙江卷理科第7 題）已知在ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)， 滿足P B1AB，且對(duì)于邊AB04上任一點(diǎn) P，恒有 PB ? PCP0B? P0C ，則（）A.ABC90B.BAC90C.ABACD.ACBC17.（ 2013 年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第5 題）已知直線AB與拋物線 y 2x 交于點(diǎn) A, B ，點(diǎn) M為 AB 的中點(diǎn)，C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) C0 滿足 C0 A ? C0B min CA ?CB ，則下列一定成立的是 （其中 l 是拋物線過(guò)點(diǎn) C

10、0的切線）（）A. C0M ABB.C0 M lC. C0MC 0BD.C0M1 ABx, xy,y, xy,218.（ 2014 年高考浙江卷理科第8 題）記 max x, ymin x, y設(shè) a, b為平面向量，則y, xy,x, xy,（）A.min ab , abmin a , bB.min ab, abmin a , bC.max a2222D.max a2222b , a babb , abab19.（浙江省魯迅中學(xué)等六校2016 屆高三下學(xué)期聯(lián)考理科第8 題）如圖 5，在等腰梯形ABCD 中， AB2, CD4, BC5 ,點(diǎn) E, F 分別為 AD , BC 的中點(diǎn) . 如果

11、對(duì)于常數(shù)，在等腰梯形 ABCD 的四條邊上， 有且只有8 個(gè)不同的點(diǎn) P，使得 PE ? PF成立，那么的取值范圍是（）A.5 ,9B.9 ,11C.9 ,1D.5 ,114202042044420. （ 2005 年高考湖北卷理科第18 題）在 ABC 中，已知 AB466AC 邊上的中線 BD5 ，3cos B，6，求 sin A 的值 .1. 7；BA CAADBD4, BF CF12BD21;解得： AD245, BD213,AD2283882故BE CE2 AD27.BD382.-16；AB AC2BM225 16.AM93.15 ；法一： ABADAB1 AC2 AB1AB AC2

12、215AB.2333324.0； 定理：在矩形 ABCD中 ， P為矩形平面內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè) AC與 BD交點(diǎn)為 O,一定有PA PCPB PD2222AC2PB PD0 .POAO ；故此題由于PAPC,PA PC5.D；取 MN 中點(diǎn) P， CM22CP21，故當(dāng) P 位于 AB 中點(diǎn)時(shí)， CP 取得最小值3 2 ，CN CPMP22當(dāng) M 位于 A（ B）點(diǎn)時(shí)， CP 取得最大值， 根據(jù)余弦定理，2222213CAAPCPCA AP cos45 ，CP，選 D 。2226.B；取 AB 中點(diǎn) E，AC 中點(diǎn) F，連接 EF，PAPB PCPA PBPA PC2AB2ABPE2PF22PE

13、PF 2，當(dāng) PEPF 時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)P 位于 EF 中點(diǎn)時(shí)， 2 PE PF2 111取得最小，答案3222為。217.A ；取 AB 中點(diǎn) F，連接 EF， AE BE2AF22，根據(jù)幾何條件， 當(dāng) EFCD時(shí)，EF最EFEF4小，過(guò)B作BG CD交CD于G， C60,BC3，BGBC cos603，此時(shí)EFAD BG522，4選 A 。8.設(shè)= ， =， =，則=+ ，= ，由絕對(duì)值不等式得|? |+| ?|?+ ? |=|；（ + ）? |，于是對(duì)任意的單位向量，均有 |（ +） ?| ，由題設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)（+ ）2 取得最大值6，由于 | +|2+| ）2（|22） =10，于是（ ）2|=2|+| |取得最小值4，則 ?=， ? 的最大值是9. C；a cb c2a c b c2a b 2c 2a b 2ac bc0 ab2ca b224，由于 abab2 ，而 c 與ab反向時(shí)，取得最大值， 此時(shí)c2。210.如圖在三角形 OPA 中 M 為 AP 中點(diǎn)，及 2(OM 2MP2) OP2OA2 ，又因?yàn)?OMB1B2 , MB 2PM，OM 2MB 22OB221，即 OP 2OA22 ，即7OP22 ，即7OP24211.425； 12.113. 22