復變函數(shù)總結完整版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第一章 復數(shù)1 =-1 歐拉公式 z=x+iy 實部Re z 虛部 Im z2運算 共軛復數(shù) 共軛技巧運算律 P1頁3代數(shù)，幾何表示 z與平面點一一對應，與向量一一對應輻角 當z0時，向量z和x軸正向之間的夾角，記作=Arg z= k=123把位于-的叫做Arg z輻角主值 記作=4如何尋找arg z例：z=1-i z=i z=1+i z=-1 5 極坐標： ， 利用歐拉公式 可得到 6 高次冪及n次方凡是滿足方程的值稱為z的n次方根，記作 即 第二章解析函數(shù)1極限2函數(shù)極限 復變函數(shù)對于任一都有 與其對應注：與實際情況相比，定義域，值域變化例 稱當時以A為極限 當時

2、，連續(xù)例1 證明在每一點都連續(xù)證： 所以在每一點都連續(xù)3導數(shù) 例2 時有 證：對有 所以例3證明不可導解：令 當時，不存在，所以不可導。定理：在處可導u，v在處可微，且滿足C-R條件 且例4證明不可導解： 其中 u,v 關于x,y可微 不滿足C-R條件 所以在每一點都不可導例5 解： 不滿足C-R條件 所以在每一點都不可導例6： 解： 其中 根據(jù)C-R條件可得所以該函數(shù)在處可導4解析若在的一個鄰域內都可導，此時稱在處解析。用C-R條件必須明確u,v四則運算 例：證明 解： 則 任一點處滿足C-R條件所以處處解析 練習：求下列函數(shù)的導數(shù) 解: 所以 根據(jù)C-R方程可得 所以當時存在導數(shù)且導數(shù)為0

3、，其它點不存在導數(shù)。初等函數(shù)常數(shù)指數(shù)函數(shù) 定義域 對數(shù)函數(shù) 稱滿足的叫做的對數(shù)函數(shù)，記作分類：類比的求法（經驗）目標：尋找 幅角主值可用： 過程： 所以 例：求 的值 冪函數(shù) 對于任意復數(shù)，當時例1：求的值解： 例2：求三角函數(shù) 定義：對于任意復數(shù)，由關系式可得的余弦函數(shù)和正弦函數(shù) 例：求 解：第三章復變函數(shù)的積分1復積分定理3.1 設C是復平面上的逐段光滑曲線在C上連續(xù)，則在C上可積，且有注：C是線 方式跟一元一樣方法一：思路：復數(shù)實化把函數(shù)與微分相乘，可得方法二：參數(shù)方程法 核心：把C參數(shù)C： 例： 求 C：0的直線段；解：C： 結果不一樣2柯西積分定理例： C：以a為圓心，為半徑的圓，方

4、向：逆時針解：C： 積分與路徑無關：單聯(lián)通 處處解析例：求，其中C是連接O到點的擺線：解：已知，直線段L與C構成一條閉曲線。因在全平面上解析，則即把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于故 關鍵：恰當參數(shù) 合適準確帶入z3不定積分定義3.2 設函數(shù)在區(qū)域D內連續(xù)，若D內的一個函數(shù)滿足條件 定理3.7 若可用上式，則 例： 計算解：練習：計算解：4柯西積分公式定理 處處解析在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內則例1：解：例2：解：例3：解： 注：C： 一次分式找到 在D內處處解析例4：解：5 解析函數(shù)的高階導數(shù)公式： n=1，2應用要點： 精準分離 例：6 調和函數(shù)若滿足則稱叫做D內的調和函數(shù)

5、若在D內解析所以把稱為共軛調和函數(shù)第四章 級數(shù)理論1復數(shù)到 距離談極限 對若有使得 此時 為的極限點 記作 或 推廣：對一個度量空間都可談極限2 極限的性質 3 4 級數(shù)問題 部分和數(shù)列若 則收斂，反之則發(fā)散。性質：1若 都收斂，則收斂2若一個收斂，一個發(fā)散，可推出發(fā)散 3 若 絕對收斂 若 但收斂 ，為條件收斂等比級數(shù) ： 時收斂，其他發(fā)散冪級數(shù) 則 求收斂域 例：求的收斂半徑及收斂圓解：因為 所以級數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂圓為泰勒級數(shù)泰勒定理：設函數(shù)在圓K：內解析，則在K內可以展成冪級數(shù) 其中， ，（n=0,1,2），且展式還是唯一的。例 1：求在處的泰勒展式解 ：在全平面上解析， ，所

6、以在處的泰勒展式為 例2： 將函數(shù)展成的冪級數(shù)解：羅朗級數(shù)羅朗定理 若函數(shù)在圓環(huán)D：內解析，則當時，有其中 例：將函數(shù)在圓環(huán)（1） （2）內展成羅朗級數(shù)。解：（1）在內，由于，所以（2）在內，由于，所以孤立奇點定義：若函數(shù)在的去心鄰域內解析，在點不解析，則稱為的孤立奇點。例 ： 為可去奇點 為一級極點 為本性奇點第5章 留數(shù)理論（殘數(shù)）定義： 設函數(shù)以有限項點為孤立奇點，即在的去心鄰域內解析，則稱積分的值為函數(shù)在點處的留數(shù)記作：其中，C的方向是逆時針。例1：求函數(shù)在處的留數(shù)。解：因為以為一級零點，而，因此以為一級極點。例2：求函數(shù)在處的留數(shù)解：是的本性奇點，因為所以可得第7章 傅里葉變換 通過一種途徑使復雜問題簡單化，以便于研究。定義：對滿足某些條件的函數(shù) 在上有定義，則稱為傅里葉變換。同時 為傅里葉逆變換注：傅里葉變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)傅里葉逆變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關鍵是計算積分兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分復習積分： 注