圓冪定理講義

1、圓冪定理1:進(jìn)門考 理念：1.檢測(cè)垂徑定理的基本知識(shí)點(diǎn)與題型2. 垂徑定理典型例題的回顧檢測(cè)。3. 分析學(xué)生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。(1)例題復(fù)習(xí)1. (2015?夏津縣一模)一副量角器與一塊含 30°銳角的 三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點(diǎn)C落在量角器的直徑上， 頂點(diǎn)A, B恰好都落在量角器的圓弧上，且/.若 8,則量角器 的直徑.【考點(diǎn)】M3垂徑定理的應(yīng)用；：勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作丄于點(diǎn) D,取圓心O連接，作丄于點(diǎn) E,首先求得 的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)，在直角中，利用勾股定理求得半徑的長(zhǎng)，貝V即 可求解.【解答】解：作丄于點(diǎn) D,取圓心O連接，作丄于點(diǎn)E.在直角中，/ 30

2、°,貝V亍4,在直角中，/ 90°-/ 60°,-?4X 二=2(),二 2.：；,在中，丄4,則 i | ：' I'2 7 (),則 24().故答案是：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，在半徑或直徑、弦長(zhǎng)以及弦心距之間的計(jì)算中，常用的方法是轉(zhuǎn)化為解直角三角形.2.,則折痕的長(zhǎng)為（D.2 -；故選：D.（2017?阿壩州）如圖將半徑為 2的圓形紙片折疊后，【考點(diǎn)】M2垂徑定理；：翻折變換（折疊問(wèn)題）【分析】通過(guò)作輔助線，過(guò)點(diǎn) O作丄交于點(diǎn)D,根據(jù)折疊的性質(zhì) 可知2,根據(jù)勾股定理可將的長(zhǎng)求出，通過(guò)垂徑定理可求出的長(zhǎng).【解答】解：過(guò)點(diǎn) O作丄交于點(diǎn)

3、D,連接，T 22,-'.-()【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用， 正確應(yīng)用勾股 定理是解題關(guān)鍵.3. （2014?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OP的圓 心坐標(biāo)是（3, a）（ a> 3）,半徑為3，函數(shù)的圖象被O P截得A. 4 B .： C【考點(diǎn)】M2垂徑定理；F8: 次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；：勾股定理.【專題】11 :計(jì)算題；16 :壓軸題.【分析】丄x軸于C,交于D,作丄于E,連結(jié)，由于3,易得 D點(diǎn)坐標(biāo)為（3, 3）,則為等腰直角三角形，也為等腰直角 三角形.由丄，根據(jù)垂徑定理得 寺2近，在中，利用勾股定理 可計(jì)算出1,則一：，所以3+】:.【解答】解：

4、作丄x軸于C,交于D,作丄于E,連結(jié)，如圖，vO P的圓心坐標(biāo)是（3, a）,二3, 把3代入得3,二D點(diǎn)坐標(biāo)為（3, 3）,二3,二為等腰直角三角形，二也為等腰直角三角形,在中，3,二和三一律近嚴(yán)二1，二/，二3+衛(wèi). 故選：B.7A0C、【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并 且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的 性質(zhì).4. (2013?內(nèi)江)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A (13, 0)，直線-34與O O交于B、C兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)的最小值為.【考點(diǎn)】：一次函數(shù)綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】根據(jù)直線-34必過(guò)點(diǎn)D (3, 4),

5、求出最短的弦是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直的弦，再求出的長(zhǎng)，再根據(jù)以原點(diǎn)0為圓心的圓過(guò)點(diǎn) A(13， 0)，求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出，即可 得出答案【解答】解：T直線-34 (x - 3) +4, 二 k (x - 3)- 4,t k有無(wú)數(shù)個(gè)值，二x - 3=0, y - 4=0,解得3, 4,二直線必過(guò)點(diǎn)D(3, 4),最短的弦是過(guò)點(diǎn) D且與該圓直徑垂直的弦,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3, 4),二5,以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A (13, 0),二圓的半徑為13, 13,12, 的長(zhǎng)的最小值為24;故答案為：24.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的綜合， 用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、 勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是求

6、出最短時(shí)的位置.2: 新課講解1、熟練掌握?qǐng)A冪定理的基本概念 2、熟悉有關(guān)圓冪定理的相關(guān)題型，出題形式與解題思路。3、能夠用自己的話敘述圓冪定理的概念。4、通過(guò)課上例題，結(jié)合課下練習(xí)。掌握此部分的知識(shí)一、相交弦定理相交弦定理jt I:（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等I? 一基引本題型:各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）.I幾何語(yǔ)言：若弦、交于點(diǎn) P,則？（相交弦定理）（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)相的兩條線段的比例中項(xiàng).幾何語(yǔ)言：若是直徑，垂直于點(diǎn)p,則2?（相交弦定理推論）A. 6 B. 12 C. 8 D.不能確定【例1】（2014秋?江陰市期中）如圖，O O的弦、【考點(diǎn)】M7

7、相交弦定理.【專題】11 :計(jì)算題.可得出的長(zhǎng),【分析】由相交線定理可得出？，再根據(jù)3, 4, 2, 從而得出即可.【解答】解：？,CPt 3, 4, 2,-6,二 2+6=8.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交線定理，圓內(nèi)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.【練習(xí)1】（2015?南長(zhǎng)區(qū)一模）如圖，矩形為O O的內(nèi)接四邊形，2, 3,點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且1,延長(zhǎng)交O O于點(diǎn)F,則線段的長(zhǎng)為（ ）【考點(diǎn)】M7相交弦定理.【分析】由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，再由相交弦定理求出, 即可得出的長(zhǎng).【解答】解：四邊形是矩形，:丄 90°廠丁 I： 一：. w .- 3, 1,. 2, 由相交弦定

8、理得：？,BE-CE 1*225AEV&5故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相交弦定理；熟練 掌握矩形的性質(zhì)和相交弦定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的 關(guān)鍵.?綜合題型例2】（2004?福州）如圖，是O O的直徑，M是O O上一點(diǎn)，丄, 垂足為N. P、Q分別是“、Y上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），如 果ZZ,下面結(jié)論：/仁/2;/ 180° ;/;2?.其中正確的是（）一dA方丿A. B. C. D.【考點(diǎn)】M7相交弦定理；M2垂徑定理；M4:圓心角、弧、弦 的關(guān)系；M5圓周角定理；S9:相似三角形的判定與性質(zhì).【專題】16 :壓軸題.【分析】根據(jù)圓周角定理及已知對(duì)

9、各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而得到答案.【解答】解：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn) W延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E,延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)F,連接，,丄，/仁/ 2 （故正確），/ 2與/是對(duì)頂角，/ 仁/,T是直徑，二可得， 同理，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，？ 2?（故正確），5/（故正確）故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂 徑定理求解.?與代數(shù)結(jié)合的綜合題【例3】（2016?中山市模擬）如圖，正方形內(nèi)接于O Q點(diǎn)P在劣弧上，連接，交于點(diǎn) Q.若，則一的值為（）A. 2島-1 B. 2聽 C 冋近 D. V3+2【考點(diǎn)】M7相交弦定理；：勾股定理.【專題】11 :計(jì)算題.【分析】設(shè)O 0的半徑為r，貝V,- m利用相交弦定

10、理，求 出m與r的關(guān)系，即用r表示出m即可表示出所求比值.【解答】解：如圖，設(shè)O 0的半徑為r,則，在OO中，根據(jù)相交弦定理，得？.2 2 即(r - m)() ?，所以 ”ID連接，由勾股定理，得2225所以,2 2匚)2二卉#JO箸獸*2故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理，即“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”.熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.?需要做輔助線的綜合題例 4】(2008秋?蘇州期末)如圖，O O過(guò)M點(diǎn)，O M交OO于A,延長(zhǎng)O O的直徑交O M于C,若8, 1,則.【考點(diǎn)】M7相交弦定理；：勾股定理；M5圓周角定理.【分析】根據(jù)相交弦定理可證?

11、()(-)2- 2=8，又由直徑對(duì) 的圓周角是直角，用勾股定理即可求解 6.【解答】解：作過(guò)點(diǎn) M B的直徑，交圓于點(diǎn)E、F, 則,由相交弦定理知，？（）（-）2-2=8,是圓0的直徑，:丄 90°由勾股定理得，222=64,二 6.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相交弦定理，直徑對(duì)的圓周角是直角，勾股 定理求解.r、割線定理n割線定理本題型圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積 :相等.【幾何吾言：1998?紹興）如圖，過(guò)點(diǎn)P作O O的兩條割線分別交O O于點(diǎn)A B和點(diǎn)C、D,已 域3線定理）則的長(zhǎng)是（） 由上可知：2?A. 3 B. 7.5C. 5 D. 5.5【考

12、點(diǎn)】：切割線定理.【分析】由已知可得的長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理得 ？?即可求得的長(zhǎng).【解答】解：T 3, 2,-5,/ ?5二 7.5 ,故選B.【點(diǎn)評(píng)】主要是考查了割線定理的運(yùn)用.【練習(xí)2】（2003?天津）如圖，中，/ 90°, 3, 4,以點(diǎn)C為圓心、為半徑的圓與、分別交于點(diǎn)D E.求、的長(zhǎng).c£【考點(diǎn)】：切割線定理；：勾股定理.【分析】中，由勾股定理可直接求得的長(zhǎng);延長(zhǎng)交O C于點(diǎn)F,根據(jù)割線定理，得？，由此可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng).【解答】解：法1:在中，3, 4;根據(jù)勾股定理，得5.延長(zhǎng)交O C于點(diǎn)F,則有:3 （O C的半徑）， -1, 7;由割線定理得，？，于是

13、于疋匸；所以-二；5法2:過(guò)C作丄，交于點(diǎn)M如圖所示,由垂徑定理可得 M為的中點(diǎn)，s丄?丄?,且 3, 4, 5,.二在中，根據(jù)勾股定理得：222,即卩92+ （牛）2解得：亠，【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理及割線定理的理解及運(yùn)用.?綜合題型例 6】（2015?武漢校級(jí)模擬）如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為16n,過(guò)小圓上任意一點(diǎn)P作大圓的弦，則？的值是（）A. 16 B. 16 n C. 4 D. 4n【考點(diǎn)】：切割線定理.【分析】過(guò)P點(diǎn)作大圓的直徑，如圖，設(shè)大圓半徑為 R,小圓半 徑為r，根據(jù)相交弦定理得到？（-）？（）2- r2,再利用nR2- nr2=16n 得到 R2- r2=16

14、,所以?16.【解答】解：過(guò)P點(diǎn)作大圓的直徑，如圖，設(shè)大圓半徑為 R小圓半徑為r,/ ?5二? (-) ?()=(R- r)()2 2-r ,兩同心圓間的圓環(huán)(即圖中陰影部分)的面積為16n,'nR -nr =16 n, R2- r2=16, ?16.故選A.B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且 平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了相交弦定理.【思考】觀察講義課后練習(xí)最后一道題，是否有思路?三、切割線定理切割線定理【働7直定理2從圓?長(zhǎng)清區(qū)二模割線女如圖一點(diǎn)到每條割線O圓的交線!兩條線段長(zhǎng)切點(diǎn),111吧等）的割線過(guò)點(diǎn)0與O O分別交于B、C,8,4, 幾何語(yǔ)言：:求是OQ

15、的半徑 ?（割線定理）由上可知：2?【考點(diǎn)】：切割線定理.【專題】11 :計(jì)算題.【分析】連接，設(shè)o 0的半徑為，由勾股定理，列式計(jì)算即可.【解答】解：連接，設(shè)OO的半徑為，（2分）則 r2+8= （4） 2,（ 4 分）解得6,二0 0的半徑為6.（2 分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟 練掌握.【練習(xí)3】(2013秋?東臺(tái)市期中)如圖，點(diǎn) P是O O直徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切O O于點(diǎn)C,已知3, 2.則等于()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【考點(diǎn)】：切割線定理.【專題】11 :計(jì)算題.【分析】根據(jù)題意可得出 S,再由3, 2,則8，代入可求出.【解答】解：、

16、分別為O 0的切線和割線，二2?,2/ 3, 2,二 8,二?2X 8=16,二 4.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式2?.p四、切線長(zhǎng)定理切割線定理(1) 圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這梯8】圓的切線長(zhǎng)315?秦皇島校級(jí)模擬)如圖，一圓內(nèi)切四邊形，且(2) 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.(3) 注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的 雪長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.C(D)(4)切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含

17、結(jié)論:A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考點(diǎn)】：切線長(zhǎng)定理.【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可以證明圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外 切四邊形的兩組對(duì)邊和相等，從而可求得四邊形的周長(zhǎng).【解答】解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等，所以四邊形的周長(zhǎng)=2X（ 7+10） =34.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理， 熟悉圓外切四邊形的性質(zhì): 圓外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等是解題關(guān)鍵.【練習(xí)4】（2015?岳池縣模擬）如圖，切O O于A, B兩點(diǎn)，切O O于點(diǎn)E交，于C, D,若O O的半徑為r，的周長(zhǎng)為3r,連接，則一的值是（）DA.r- - B-C.【考點(diǎn)】：切線長(zhǎng)定理；：切線的性質(zhì).

18、【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出，進(jìn)而得出_,求出即可.【解答】解：，切O O于A, B兩點(diǎn)，切O O于點(diǎn)E交，于C,555二 23r,:,則二的值是：L丄.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理，得出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.例9】（2014秋?夏津縣校級(jí)期末）如圖， P為O O外一點(diǎn)， 分別切O O于A, B,切OO于點(diǎn)E,分別交，于點(diǎn)C, D.若5, 則的周長(zhǎng)和/分別為（）+P7, 90° +|D. 10, 90°C.10 , 90°【考點(diǎn)】：切線長(zhǎng)定理.【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理，即可得到，,從而求得三角形的周長(zhǎng)=2;連接、根據(jù)切線性質(zhì)，/180°,再根據(jù)為切線

19、可知.【解答】解：、切O O于A B,切OO于E, 二 10, 二的周長(zhǎng)2,即的周長(zhǎng)=210,;如圖，連接、.由切線性質(zhì)得，丄，丄，丄，5易證(),(),/ 180°/ P,丄/ P.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或 論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)， 利用垂直構(gòu)造直角三角 形解決有關(guān)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題型.五、圓冪定理請(qǐng)嘗試解出下列例題：例 10】（2005?廣州）如圖，在直徑為6的半圓上有兩動(dòng)點(diǎn)M N,弦、相交于點(diǎn)P,則？?的值為.【考點(diǎn)】M7相交弦定理；：勾股定理；M5圓周角定理.【專題】16 :壓軸題；25 :動(dòng)點(diǎn)型.【分析】連接、，根據(jù)圓周角定

20、理，由是直徑，可證/90。，由勾股定理知，222，由相交弦定理知，？，原式（）（）2?2?22+2?222+2?2+（）2222=36.【解答】解：連接、，T是直徑，/ 90°.222原式（）（）2222+2?222+2?2+ ()2222=36.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四條定理統(tǒng)稱為圓冪定理。（部分參考書以前三條為圓冪定理）圓冪定理：過(guò)平面內(nèi)任一點(diǎn) P （P與圓心O不重合）做O O的（切）割線，交O 0與點(diǎn)A、B,則恒有PA PB0P2“ 0P2被稱為點(diǎn)P到OO的冪。）3:落實(shí)鞏固一一查漏補(bǔ)缺理念：找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)4:總結(jié)理念：本結(jié)課復(fù)習(xí)

21、了什么？學(xué)到了什么?方法：學(xué)生口述+筆記記錄5:課后練習(xí) 一.選擇題（共5小題） 1.如圖所示，已知O O中，弦，相交于點(diǎn) P, 6, 2, 4，貝V的長(zhǎng) 是（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】可運(yùn)用相交弦定理求解，圓內(nèi)的弦，相交于P,因此?, 代入已知數(shù)值計(jì)算即可.【解答】解：由相交弦定理得？，T6, 2, 4,?- 6X 2-4=3.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一 點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”.2.0 O的兩條弦與相交于點(diǎn) P, 3, 4, 2,貝卩（A. 12 B. 6 C. 8 D. 7【分析】根據(jù)相交弦定理進(jìn)行計(jì)算.【

22、解答】解：由相交弦定理得：？，W 6, 2+6=8.故選 C.PC 2，【點(diǎn)評(píng)】本題主要是根據(jù)相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)， 各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等”進(jìn)行計(jì)算.3. 如圖，0 O中，弦與直徑相交于點(diǎn) P,且4, 6, 2，則O O的 半徑為（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【分析】根據(jù)相交弦定理得出xx,求出，求出即可.【解答】解：由相交弦定理得：XX, 4, 6, 2, 12+2=14,是O 0直徑，O 0半徑是7.故選c.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)定理得出XX.4. 如圖，A是半徑為1的圓0外的一點(diǎn)，2,是O 0的切線，B是切點(diǎn)，弦/,連

23、接，則陰影部分的面積等于（）AB-丄 CD.【分析】連接，易證：是等邊三角形，且陰影部分的面積的面積，據(jù)此即可求解.【解答】解：連接，是圓的切線,在直角中，1, 2,:丄 30°,/ 60°,/,60°, 且 S陰影部分厶,二是等邊三角形，邊長(zhǎng)是 1,二S陰影部分厶 x 1.:' : 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積的計(jì)算，以及切割線定理, 正確證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.5. 如圖，分別是O O的切線，A, B分別為切點(diǎn)，點(diǎn) E是O O 上一點(diǎn)，且/ 60°,則/ P為（ ）A. 120° B. 60°C. 30°

24、;D. 45【分析】連接，由圓周角定理知可知/ 2/ 120°,、分別切O O于點(diǎn)A B,利用切線的性質(zhì)可知/ 90°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和 可求得/ 180°-/ 60°.【解答】解：連接，；V/ 2/ 120°,/ 90°,/ 180°-/ 60°.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理以及圓周角定理， 利用了四邊形的內(nèi)角和為 360度求解.二.解答題（共3小題）6. 如圖，P為弦上一點(diǎn)，丄交O O于點(diǎn)C, 8,十丄，求的長(zhǎng).?【分析】延長(zhǎng)交O O于D.由垂徑定理可知，由8,丄n，得到丄2,亍6.再根據(jù)相交弦定理得出？，代入數(shù)值計(jì)算即可求解.【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交O O于D.8,亍亠，、是O O的兩條相交弦，交點(diǎn)為 P, ?,二 2=2X 6, 2 :.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分 成的兩條線段長(zhǎng)的積相等. 同時(shí)考查了垂徑定理，準(zhǔn)確作出輔助 線是解題的關(guān)鍵.7. 如圖，分別與O O相切于E, F, G且/, 6, 8.求的長(zhǎng).12