線性代數(shù) 向量組的線性相關(guān)性

1、第三節(jié) 向量組的線性相關(guān)性分布圖示 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 例1 例2 證明線性無(wú)關(guān)的一種方法線性相關(guān)性的判定 定理1 定理2 例3 例4 例5 例6 定理3 定理4 定理5 例7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-3內(nèi)容要點(diǎn)一、線性相關(guān)性概念定義1 給定向量組 如果存在不全為零的數(shù) 使 (1)則稱向量組線性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān). 注: 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(1)式成立, 向量組線性無(wú)關(guān); 包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的; 向量組只含有一個(gè)向量時(shí)，則（1）的充分必要條件是是線性無(wú)關(guān)的；（2）的充分必要條件是是線性相關(guān)的； 僅含兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例；反之，僅含

2、兩個(gè)向量的向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量不成比例. 兩個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩個(gè)向量共線, 三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這三個(gè)向量共面.二、線性相關(guān)性的判定定理1 向量組線性相關(guān)的充必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.定理2 設(shè)有列向量組 則向量組線性相關(guān)的充要條件是: 是矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù).推論1 個(gè)維列向量組線性無(wú)關(guān)（線性相關(guān)）的充要條件是: 矩陣 的秩等于（小于）向量的個(gè)數(shù).推論2 個(gè)維列向量組線性無(wú)關(guān)（線性相關(guān)）的充要條件是:矩陣 的行列式不等于（等于）零.注: 上述結(jié)論對(duì)于矩陣的行向量組也同樣成立.推論3 當(dāng)向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于

3、向量的維數(shù)時(shí), 此向量組必線性相關(guān).定理3 如果向量組中有一部分向量(部分組)線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān).推論4 線性無(wú)關(guān)的向量組中的任何一部分組皆線性無(wú)關(guān).定理4 若向量組線性相關(guān), 而向量組線性無(wú)關(guān), 則向量可由線性表示且表示法唯一.定理5 設(shè)有兩向量組向量組B能由向量組A線性表示, 若, 則向量組B線性相關(guān).推論5 向量組B能由向量組A線性表示, 若向量組B線性無(wú)關(guān), 則推論6 設(shè)向量組A與B可以相互線性表示, 若A與B都是線性無(wú)關(guān)的, 則例題選講 例1 設(shè)有3個(gè)向量(列向量): 不難驗(yàn)證 因此是3個(gè)線性相關(guān)的3維向量. 例2 設(shè)有二個(gè)2維向量: 如果他們線性相關(guān), 那么存在不全為零

4、的數(shù) 使 也就是 即 于是 這同不全為零的假定是矛盾的. 因此,是線性無(wú)關(guān)的二個(gè)向量.例3 (E01) 維向量組稱為維單位坐標(biāo)向量組, 討論其線性相關(guān)性.解 維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣是階單位矩陣.由知即等于向量組中向量的個(gè)數(shù), 故由推論2知此向量是線性無(wú)關(guān)的.例4 (E02) 已知 , 試討論向量組及的線性相關(guān)性. 解 對(duì)矩陣施行初等行變換成行階梯形矩，可同時(shí)看出矩陣及的秩，利用定理2即可得出結(jié)論.易見，故向量組線性相關(guān). 向量組線性無(wú)關(guān).例5 判斷下列向量組是否線性相關(guān): 解 對(duì)矩陣施以初等行變換化為階梯形矩陣: 秩所以向量組線性相關(guān).例6 證明：若向量組線性無(wú)關(guān), 則向量組亦線性無(wú)關(guān).證 設(shè)有一組數(shù)使 （1）成立，整理得由線性無(wú)關(guān)，故 （2）因?yàn)楣史匠探M（2）僅有零解.即只有時(shí)（1）式才成立.因而向量組線性無(wú)關(guān).例7 (E03) 設(shè)向量組線性相關(guān), 向量組線性無(wú)關(guān), 證明(1) 能由線性表示;(2) 不能由線性表示.證明（1）因線性無(wú)關(guān)，故線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，從而能由線性表示；（2）用反證法. 假設(shè)能由線性表示，而由（1）知能由線性表示，因此能由表示，這與線性無(wú)關(guān)矛盾.證畢.課堂練習(xí)1. 試證明:(1) 一個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是;(2) 一個(gè)