結(jié)構(gòu)力學(xué)[第六章位移法和力矩分配法]課程復(fù)習(xí)

1、第六章 位移法和力矩分配法一、基本內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求 本章內(nèi)容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的確定，位移法的計(jì)算步驟和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移剛架，超靜定結(jié)構(gòu)的受力分析和變形特點(diǎn)等。重點(diǎn)是位移法的基本原理及用位移法計(jì)算剛架，力矩分配法的基本原理和計(jì)算方法。 位移法是解算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演變出來的常用漸進(jìn)解法。通過本章學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)到： (1)掌握位移法的基本原理，準(zhǔn)確判定位移法的基本未知量。 (2)靈活應(yīng)用等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程教材式(53)(56)或表51，確定各種外因影響下的桿端彎矩和桿端剪力。

2、 (3)熟練掌握位移法計(jì)算超靜定梁和剛架的方法及步驟。對(duì)照力法典型方程，加深對(duì)位移法典型方程的理解。 (4)掌握力矩分配法的計(jì)算原理和步驟，會(huì)計(jì)算連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移剛架。 (5)初步了解超靜定結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)和變形性能。根據(jù)不同結(jié)構(gòu)選擇合理的計(jì)算方法。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) (一)位移法的解題思路 §6l以兩跨連續(xù)梁為例說明了位移法的解題思路： (1)把超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為由單跨超靜定梁構(gòu)成的組合體，用后者代替前者計(jì)算。 (2)利用單跨梁已知的轉(zhuǎn)角位移方程，應(yīng)用變形協(xié)調(diào)條件，建立結(jié)點(diǎn)位移與單跨梁桿端內(nèi)力問的關(guān)系。 (3)根據(jù)組合體與原結(jié)構(gòu)受力一致應(yīng)滿足的平衡條件，建立以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的位移法

3、方程。 (4)解方程求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而計(jì)算單跨梁的桿端內(nèi)力。教材§63以示例闡明了位移法的計(jì)算步驟和實(shí)際應(yīng)用。此外，教材§64介紹了建立位移法方程的另一途徑，即首先選取基本結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)基本結(jié)構(gòu)受力和變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致的條件建立位移法典型方程，求出其系數(shù)和自由項(xiàng)，同樣解方程求得結(jié)點(diǎn)位移并繪出最后彎矩圖。其實(shí)，兩種方式本質(zhì)完全相同，只是建立方程的途徑不同而已。針對(duì)圖61 a所示剛架的計(jì)算過程，可做如下扼要對(duì)比(表61)。(二)位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)教材§62對(duì)位移法的基本未知量已做介紹，§64又講到基本未知量和附加約束的關(guān)系?，F(xiàn)將兩者聯(lián)系起來予以說明

4、，請(qǐng)讀者細(xì)心領(lǐng)會(huì)。(1)剛結(jié)點(diǎn)的角位移是獨(dú)立基本未知量，因而剛結(jié)點(diǎn)上必須加入附加剛臂予以固定；獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移也是基本未知量，故需用附加鏈桿加以控制?；疚粗颗c附加約束的數(shù)目相等且具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。如圖61a所示剛架具有一個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移和一個(gè)結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移，相應(yīng)就應(yīng)加上一個(gè)附加剛臂和一根附加鏈桿(圖61b)。在確定基本未知量的同時(shí)，基本結(jié)構(gòu)也隨之確定。(2)討論結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移時(shí)引用了兩個(gè)假定：受彎直桿忽略軸向變形和剪切變形的影響，桿件變形是微小的。即認(rèn)為直桿變形后軸線長(zhǎng)度不變且弦長(zhǎng)近似等于弧長(zhǎng)，于是得出"受彎直桿在變形后兩端距離保持不變"的結(jié)論，稱之桿長(zhǎng)不變假定。位移法和

5、力矩分配法都引用這一假定，從而減少了結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目。(3)位移法著眼把原結(jié)構(gòu)的所有桿件化為單跨超靜定梁。教材表5-1已給出三種單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力，只要將桿件化為其中的一種，就能用最少的基本未知量(或附加約束)求解。如圖62a所示剛架在外因影響下剛結(jié)點(diǎn)2、6發(fā)生角位移，故應(yīng)分別加入附加剛臂，柱頂產(chǎn)生的水平位移相同，只需在橫梁端部加入一根水平鏈桿。這樣桿56和12變成兩端固定梁，桿24、34、64成為一端固定一端鉸支梁，結(jié)點(diǎn)4無需加入附加剛臂，其基本結(jié)構(gòu)(圖62b)共有3個(gè)基本未知量。同理，圖63 a所示剛架在結(jié)點(diǎn)B加入附加剛臂后，桿AB成為兩端固定梁，桿BC成為B端固定C端定向支承梁，

6、支座C無需再加豎向附加鏈桿，其基本結(jié)構(gòu)(圖63b)只有結(jié)點(diǎn)B的角位移一個(gè)基本未知量。又如圖64a所示橫梁抗彎剛度為無窮大的剛架，橫梁不發(fā)生任何變形(相當(dāng)于剛片)只有三個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，而AC、BD兩桿與基礎(chǔ)相連使C、D兩點(diǎn)不能沿豎向運(yùn)動(dòng)，橫梁只剩下一個(gè)沿CD方向發(fā)生平移的自由度。位移法僅有這個(gè)基本未知量，橫梁端部加入水平鏈桿即得基本體系如圖64b所示。此時(shí)橫梁雖無變形，內(nèi)力卻依然存在，這是需要注意的。(4)桿長(zhǎng)不變假定只適用于受彎直桿，不適用于受彎曲桿和折桿。如圖65 a所示鋸齒形剛架的位移法基本結(jié)構(gòu)如圖65b所示，基本未知量為7個(gè)(3個(gè)角位移、4個(gè)獨(dú)立線位移)。這種外因影響下柱頂水平間距發(fā)生改變

7、的結(jié)構(gòu)稱為跨變結(jié)構(gòu)。這一假定也不適用于桁架及組合結(jié)構(gòu)中需考慮軸向變形的二力桿。如圖66a所示桁架結(jié)點(diǎn)1受荷載作用時(shí)，各桿承受軸力并產(chǎn)生軸向變形，結(jié)點(diǎn)1發(fā)生水平和豎向線位移，其基本結(jié)構(gòu)如圖66b所示。(三)位移法典型方程的物理意義教材§64以剛架為例，說明了利用基本體系附加約束上反力偶(反力)為零的條件建立位移法典型方程的過程，以下著重解釋位移法典型方程及其系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義。圖67a所示剛架的基本體系如圖67b所示，未知量為一個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移和一個(gè)結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移。當(dāng)基本結(jié)構(gòu)承受原結(jié)構(gòu)荷載并使附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移時(shí)，則其受力和變形情況(圖67c)便與原結(jié)構(gòu)(圖67a)一致。進(jìn)

8、而這一思路還可分為兩步理解。第一步，加入附加約束，使各桿變?yōu)閱慰绯o定梁，承受荷載時(shí)(圖67d)的桿端力即為固端力(可由教材表51得到)，這一步稱為固定過程。此時(shí)桿端內(nèi)力相互間不會(huì)平衡，如結(jié)點(diǎn)1的其中第一式表明基本結(jié)構(gòu)在荷載、角位移Z1和線位移Z2的共同作用下，附加約束1(即結(jié)點(diǎn)1的附加剛臂)上的總反力偶R1等于零，這實(shí)際上反映了結(jié)點(diǎn)1的力矩平衡條件。從圖c取出結(jié)點(diǎn)1作隔離體(圖68a所示，只考慮力矩平衡未繪其他內(nèi)力)，由M1=0有R1=M12+M13=0這就是結(jié)點(diǎn)l桿端彎矩間的力矩平衡條件。同理，第二式表明基本結(jié)構(gòu)在荷載、Z1和Z2共同作用下附加約束2(即結(jié)點(diǎn)2的附加鏈桿)上的總反力R2等于

9、零，它反映的是原結(jié)構(gòu)柱頂剪力間的平衡條件(橫梁的隔離體見圖68b，只考慮剪力平衡未繪其他內(nèi)力)，由Fr=0有 R2=FQ13+FQ24=0稱為層間剪力平衡條件。典型方程中的每一個(gè)都代表一個(gè)平衡條件，這與直接建立位移法方程也是一致的。(四)位移法與力法的比較兩種方法(均采用典型方程)的共同點(diǎn)：通過綜合應(yīng)用靜力平衡、變形協(xié)調(diào)及物理關(guān)系這三個(gè)方面的條件，使各自基本體系與原結(jié)構(gòu)的變形和受力情況一致，再分別利用基本結(jié)構(gòu)建立典型方程解算原結(jié)構(gòu)。兩種方法的不同點(diǎn)：(1)基本未知量。力法以結(jié)構(gòu)的多余力為基本未知量，多余力的數(shù)目等于其超靜定次數(shù)；位移法以結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立位移(包括角位移和線位移)為基本未知量，與結(jié)構(gòu)的

10、超靜定次數(shù)無關(guān)。(2)基本結(jié)構(gòu)。力法以去掉多余約束得到的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，同一原結(jié)構(gòu)可選取多種不同的基本結(jié)構(gòu)；位移法對(duì)原結(jié)構(gòu)增加附加約束，以所得的單跨超靜定梁組合體作為基本結(jié)構(gòu)，對(duì)于同一原結(jié)構(gòu)一般只有一種選擇。(3)建立方程的依據(jù)。力法以基本體系在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相同的位移條件建立力法典型方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程；位移法以基本體系附加約束上的總反力偶(總反力)應(yīng)等于零的平衡條件建立位移法典型方程，實(shí)質(zhì)是靜力平衡方程。(4)系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義。力法的系數(shù)和自由項(xiàng)是其基本結(jié)構(gòu)沿多余力方向的位移；位移法的系數(shù)和自由項(xiàng)是其基本結(jié)構(gòu)附加約束處的反力偶(反力)。應(yīng)當(dāng)指出，力法只用來求解超

11、靜定結(jié)構(gòu)，而位移法則因基本未知量與結(jié)構(gòu)是否靜定無關(guān)，故可同時(shí)用于求解靜定和超靜定結(jié)構(gòu)。不過手算時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力用靜力平衡條件即可求解，因而位移法僅用于超靜定結(jié)構(gòu)，特別是采用桿長(zhǎng)不變假定時(shí)梁和剛架的計(jì)算。但機(jī)算通常并不區(qū)分結(jié)構(gòu)靜定還是超靜定，而是著眼于編制通用程序自行計(jì)算，故以位移法為基礎(chǔ)的矩陣位移法在機(jī)算中得到廣泛應(yīng)用。(五)力矩分配法與位移法的關(guān)系對(duì)于只有一個(gè)角位移未知量的結(jié)構(gòu)，力矩分配法可除如教材所述從結(jié)點(diǎn)彎矩的分配與傳遞推演外，還可由位移法導(dǎo)出。以下進(jìn)一步說明力矩分配法與位移法的關(guān)系。 (1)兩者均需以附加剛臂使剛結(jié)點(diǎn)固定。在固定狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)的差別上，力矩分配法著眼于剛結(jié)點(diǎn)所受不平衡力偶MF的作用，位移法則強(qiáng)調(diào)剛結(jié)點(diǎn)未發(fā)生原結(jié)構(gòu)的實(shí)際角位移Z1。(2)為使固定狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)受力和變形一致，力矩分配法在剛結(jié)點(diǎn)添加反向不平衡力偶(-MF)，從受力一致出發(fā)使兩者變形相同，位移法則讓剛結(jié)點(diǎn)發(fā)生實(shí)際位移Z1，著眼變形相同促使同樣受力。當(dāng)基本結(jié)構(gòu)受-MF作用時(shí)結(jié)點(diǎn)發(fā)生實(shí)際角位移Z1，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1時(shí)附加剛臂產(chǎn)生的反力偶大小等于-MF，兩者是一致的。在給定外因作用下，結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)確定的受力和變形狀態(tài)。力矩分配法與位移法只是分別從受力和變形出發(fā)實(shí)現(xiàn)與原結(jié)構(gòu)的一致，兩種方法實(shí)質(zhì)是相通的。計(jì)算具有兩個(gè)或兩個(gè)以上未