計(jì)算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角基本公式

1、二 計(jì)算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式控制測量的主要目的是通過測量和計(jì)算求出控制點(diǎn)的坐標(biāo)，控制點(diǎn)的坐標(biāo)是根據(jù)邊長及方位角計(jì)算出來的。下面介紹計(jì)算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式，這些公式是礦山測量工中最基本最常用的公式。一、坐標(biāo)正算和坐標(biāo)反算公式1坐標(biāo)正算根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和已知點(diǎn)到待定點(diǎn)的坐標(biāo)方位角、邊長計(jì)算待定點(diǎn)的坐標(biāo)，這種計(jì)算在測量中稱為坐標(biāo)正算。如圖55所示，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為、，A到B的邊長和坐標(biāo)方位角分別為和，則待定點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （51） 式中 、坐標(biāo)增量。由圖55可知 （52）式中 水平邊長；坐標(biāo)方位角。將式（5-2）代入式（5-1），則有 （53） 當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)、和邊長及其坐標(biāo)方位角為已知時(shí)

2、，就可以用上述公式計(jì)算出待定點(diǎn)B的坐標(biāo)。式（52）是計(jì)算坐標(biāo)增量的基本公式，式（53）是計(jì)算坐標(biāo)的基本公式，稱為坐標(biāo)正算公式。從圖55可以看出是邊長在x軸上的投影長度，是邊長在y軸上的投影長度，邊長是有向線段，是在實(shí)地由A量到B得到的正值。而公式中的坐標(biāo)方位角可以從0°到360°變化，根據(jù)三角函數(shù)定義，坐標(biāo)方位角的正弦值和余弦值就有正負(fù)兩種情況，其正負(fù)符號取決于坐標(biāo)方位角所在的象限，如圖56所示。從式（52）知，由于三角函數(shù)值的正負(fù)決定了坐標(biāo)增量的正負(fù)，其符號歸納成表53。 圖55 坐標(biāo)計(jì)算 圖56 坐標(biāo)增量符號 表53 坐標(biāo)增量符號表坐標(biāo)方位角（°）所在象限坐標(biāo)

3、增量的正負(fù)號 xy09090180180270270360 例1 已知A點(diǎn)坐標(biāo)=100.00m，=300.10m；邊長=100m，方位角=330°。求B點(diǎn)的坐標(biāo)、。解：根據(jù)公式（53）有 2、坐標(biāo)反算由兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出這兩個(gè)點(diǎn)連線的坐標(biāo)方位角和邊長，這種計(jì)算稱為坐標(biāo)反算。由式（51）有 （54）該式說明坐標(biāo)增量就是兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差。在圖55中 表示由A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差稱縱坐標(biāo)增量； 表示由A點(diǎn)到B點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差稱橫坐標(biāo)增量。坐標(biāo)增量也有正負(fù)兩種情況，它們決定于起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)值的大小。在圖55中如果A點(diǎn)到B點(diǎn)的坐標(biāo)已知，需要計(jì)算AB邊的坐標(biāo)方位角和邊長時(shí)，則有 (55)或 公

4、式（55）稱為坐標(biāo)反算公式。應(yīng)當(dāng)指出，使用公式（55）中第一式計(jì)算的角是象限角R，應(yīng)根據(jù)x、y的正負(fù)號，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。因此公式（55）中的第一式還可表示為： 例2已知=300m, =500m,=500m,=300m,求A、B二點(diǎn)連線的坐標(biāo)方位角和邊長。解：由公式（5-5）有因?yàn)闉檎?、為負(fù)，直線AB位于第四象限。所以根據(jù)第四象限的坐標(biāo)方位角與象限角的關(guān)系得：AB邊長為：坐標(biāo)正算公式和坐標(biāo)反算公式都是礦山測量中最基本的公式，應(yīng)用十分廣泛。在測量計(jì)算時(shí)，由于公式中各元素的數(shù)字較多，測量規(guī)范對數(shù)字取位及計(jì)算成果作了規(guī)定。例如圖根控制點(diǎn)要求邊長計(jì)算取至毫米；角度計(jì)算取至秒；坐標(biāo)

5、計(jì)算取至厘米。二、坐標(biāo)方位角的推算公式由公式（5-2）知，計(jì)算坐標(biāo)增量需要邊長和該邊的坐標(biāo)方位角兩個(gè)要素，其中邊長是在野外直接測量或通過三角學(xué)的公式計(jì)算得到的，坐標(biāo)方位角則是根據(jù)已知坐標(biāo)方位角和水平角推算出來的。下面介紹坐標(biāo)方位角的推算公式。如圖5-7所示，箭頭所指的方向?yàn)椤扒斑M(jìn)”方向，位于前進(jìn)方向左側(cè)的觀測角稱為左觀測角，簡稱左角；位于前進(jìn)方向右側(cè)的角稱為右觀測角，簡稱右角。1.觀測左角時(shí)的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式在圖57與58中，已知AB邊的方位角為，為左觀測角，需要求得BC邊的方位角。是外業(yè)觀測得到的水平角，從圖上可以看出已知方位角與左觀測角之和有兩種情況：即大于180°或小于180

6、°。圖57中為大于180°的情況，圖58中為小于180°的情況。 圖57坐標(biāo)方位角推算 圖58坐標(biāo)方位角推算從圖57可知，BC邊的坐標(biāo)方位角為從圖58可知，BC邊的坐標(biāo)方位角為綜上所述兩式則有 （56）式（5-6）是按照邊的前進(jìn)方向，根據(jù)后一條邊的已知方位角計(jì)算前一條邊方位角的基本公式。公式說明：導(dǎo)線前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角加上左觀測角，其和大于180°時(shí)應(yīng)減去180°，小于180°時(shí)應(yīng)加上180°。 2.觀測右角時(shí)的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式 從圖5-7 或圖5-8可以看出 將該式代入式(5- 6),得 當(dāng)方位角大于360°時(shí)，應(yīng)減去360°，方向不變。所以上式變?yōu)?（57）上式說明：導(dǎo)線中，前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角減去右觀測角，其差大于180°時(shí)應(yīng)減去180°，小于180°時(shí)應(yīng)加上180°。使用式（5-6）與(5-7)時(shí)，還應(yīng)注意相應(yīng)兩條邊的前進(jìn)方向必須一致，計(jì)算結(jié)果大于360°時(shí)，則應(yīng)減去360°，方向不變。例3 圖5-9 為一條支導(dǎo)線，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)方位角 =10