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文檔簡介
1、數(shù)形結合 探索定值一、數(shù)形結合,探索思路例1 已知拋物線y=x2+kx+1與x軸相交于兩個不同的點A、B,頂點為C,且ACB=90°,試求如何平移此拋物線使其ACB=60°。 分析很多同學對這道題感到比較生疏,一是有的已知條件,如ACB=90°意味著什么?怎樣入手解?二是平移后使ACB=60°,又意味著什么? 不妨換個角度考慮問題,畫圖觀察一下。草圖如圖所示,可看到由于拋物線的對稱性,ACB=90°就意味著ACB是等腰直角三角形,就是說,斜邊AB上的高CD等于斜邊AB的一半,而AB的長等于這兩點橫坐標差的絕對值,CD的長則是頂點C縱坐標的絕對值
2、。于是可以列出方程,求得k的值:設A、B兩點橫坐標分別為x1、x2,則它們是方程x2+kx+1=0的兩個相異的實數(shù)根,那么有于是AB=|x2-x1|=又設頂點C的坐標為(x0,y0),應用頂點坐標公式,有y0=,CD=|y0|。那么條件CD=AB就是如下方程: |x1-x2|=|y0|,即 (k2-4>0)。 (k2-4)2-4(k2-4)=0, (k2-4)(k2-8)=0。 k2-4>0,k2-8=0。k=±2。 于是拋物線解析式為y=x2±2x+1。 這樣通過觀察圖形和計算,不但弄清了ACB=90°意味著什么和如何利用這個條件求出k值,同時也提示
3、我們用同樣的方法去分析平移拋物線,使其ACB=60°。畫圖分析可看到,拋物線向下平移,ACB逐漸變小,當ACB=60°時,由拋物線的對稱性可知ACB為等邊三角形。因為等邊三角形的高等于邊長的倍,所以CD=AB,這就給我們提供了一個等量關系,利用這個關系列方程,可求出平移后拋物線解析式中的常數(shù)項。 設把拋物線y=x2±2x+1向下平稱|l|個單位后,使ACB=60°,則平移后拋物線的解析式為y=x2±2x+1+l。設A、B兩點的橫坐標分別為,C點縱坐標為,則按題意有| 又=±2,=1+l,因此=。=l-1。代入,得=|1-l|。平方,整
4、理得(1-l)(l+2)=0。因平移后拋物線仍保持同x軸有兩個交點,所以|x1-x2|=0,即1-l0。可得l+2=0,即l=-2。于是可知,把已知拋物線向下平移2個單位,就能使ACB=60°。解略。 例2 已知平面直角坐標系內兩點A(-2,0),B(4,0),點P在直線y=x+上,且ABP為直角三角形,求:(1)點P的坐標;(2)經(jīng)P,A,B三點且對稱軸平行于y軸的拋物線是否存在?若存在,求出拋物線的解析式。 分析:本例給出了直角三角形的一條邊,求這條邊所對的頂點坐標,這條邊即可是直角邊又可是斜邊,A,B,P均可為直角頂點,A,B為直角時,對稱軸平行于y軸的拋物線不存在。 解:(1
5、)分三種情況: 若點A為直角頂點,過A作AP1x軸交直線y=x+于點P1,設P1(-2,y), 則y=(-2)+=, P1(-2,). 若點B為直角頂點,過B作P2Bx軸交直線y=x+于點P2,設P2(4,y),則y=, P2(4,). 若點P(x,y)為直角頂點,過P作PQx軸于Q(x,0),又AB中點C(1,0),連結PC=AB=3。 得:, 或 ,經(jīng)檢驗均是原方程的根。 P3(-), P4(1,3). 綜上P點坐標為(-2,),(4,),(-),(1,3). (2)設過A、B、P三點的拋物線的解析式為:y=a(x+2)(x-4),將P3,P4代入, 得a=-或a=-, y=-+ 或 y=
6、-, 過A,B,P1或過A,B,P2三點,對稱軸平行于y軸的拋物線不存在,要數(shù)形結合,善于聯(lián)想,把握二次函數(shù)圖象的對稱軸一定平行于y軸的特征模型。 二、探索定值問題例3 (1)已知在四邊形ABCD中, B=D=90°,M為AC上任一點,且MPBC,MQAD,求證:是一個定值。 分析:從動點的臨界位置(特殊點)探求定值。 M運動到A(或C)時,值為1。 M到中點時=1,猜到后證明。 略證:=1。 例4、已知過定O的直徑AB的兩端及上任一點E作O的三條切線AD,BC和CD。它們分別交于D,C點,求證AD·BC是定值。 分析:從動點的特殊位置,圖形的特殊形狀等探求定值。 E到臨界
7、位置A(B)不存在,找特殊中點則出現(xiàn)兩個正方形,邊長為R,猜想AD·BC=R2,簡證:連接OD、OE、OC,應證明ODOC,OECD, RtODERtCOE AD·BC=DE·CE=OE2=R2。 例5、如圖,半徑為a的半圓內有兩正方形ABCD,BEFG,點D、F在半圓周上,點C,G在半圓內。 (1)試證明截得的這兩個正方形的面積和為定值; (2)判別DO與OF的位置關系。 分析:從圖形的特殊位置探索定值。 不變的是半徑a,可變的是兩個正方形的邊長,當兩正方形邊長相等時是特殊位置,S1+S2=a2+a2=a2. 由特殊位置可以得到ODOF. 證明RtAODRtEF
8、O (HL) 證明:(1)設正方形ABCD和BEFG的邊長分別為x, y, OA=, OE=, 又OA+OE=AB+BE=x+y, +=x+y -x=-+y a2-x2-2x+x2=a2-y2-2y+y2 x=yx2(a2-x2)=y2(a2-y2) a2x2-x4-a2y2+y4=0 (x2-y2)(a2-x2-y2)=0 x2=y2或x2+y2=a2, x2=y2時,有SABCD+SBEFG =a2+a2=a2. x2+y2=a2時,也有 SABCD+SBEFG=a2. 截得的這兩個正方形的面積和為定值 (2) x2+y2=a2, y2=a2-x2=OA2=EF2, OA=EF,又ODOF, RTAODRTEFO, AODEOF90°, ODOF。 一般情況下,解決定值問題的關鍵在于探求定值,一旦定值被探求出來,問題就轉化為我們熟悉的幾何證明題,但定值有時又只能分類討論。 例6若三角形的一邊與其對角為定值,由另兩角的頂點作對邊的垂線,則兩垂足之間的距離為定值,試證明之。 (1)設A=,BC=a, 0°<<90°, BEAC,CDAB,D、E為垂足,連DE, D,B,C,E以BC為直徑的圓上, 1=ACB, 又A=A, ADEACB, =cos, DE=a·cos. (2)=
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