超市收銀員合理排班數(shù)學(xué)模型

1、2012南昌大學(xué)第九屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了南昌大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： A .報(bào)名序號(hào)是 _53_.參賽隊(duì)員(打印并簽名)

2、 ： 所屬院系（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?1._ XXX_簽名:_院系: _XXX2._ XXX_簽名:_院系: _XXX3._XXX_簽名:_院系: _XXX_ 日期： 2012/5/29 2012南昌大學(xué)第九屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)評(píng)閱編號(hào)：評(píng)閱記錄：評(píng)閱人備注A超市收銀員合理排班摘要：超市的顧客數(shù)和收銀員數(shù)量是相互影響的，如果收銀員數(shù)量偏少，會(huì)使等待排隊(duì)交費(fèi)的人數(shù)偏多，顧客看到收銀處排隊(duì)人數(shù)很多就會(huì)放棄進(jìn)入超市的意愿，甚至在超市內(nèi)只購(gòu)買一兩件商品的顧客也會(huì)放棄購(gòu)買意愿，而超市收銀員的數(shù)量增多將增加超市的支出。綜合考慮，我們對(duì)一超市的收銀員排班進(jìn)行了一下分析。本文主要進(jìn)行了以下工作：

3、1、綜合考慮影響超市收銀員排班的各種因素，對(duì)各種影響因素之間的相互關(guān)系根據(jù)題目所需值以及常識(shí)進(jìn)行定性分析，然后根據(jù)題目中所提供的相關(guān)信息以及所調(diào)查的相關(guān)資料，踢出次要的影響因素得到影響收銀員排班的主要因素。 2、由題目所提供的排班表及顧客情況知：工作日(星期一到星期五）與雙休日各個(gè)時(shí)刻的顧客數(shù)目以及排班情況顯然不同，所以本文對(duì)帶該題目分為兩部分處理。以下僅對(duì)工作日的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,雙休日的分析及模型建立與之相同。 3、考慮到題目所給的條件有限，只是一個(gè)周的情況調(diào)查表，不具有充分的代表性，而且還具有其他多種因素影響并且各種因素都相互影響，所以在下面的模型建立及求解過(guò)程中我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。 4

4、、由數(shù)據(jù)得出時(shí)間與顧客數(shù)的數(shù)學(xué)模型。再得出顧客數(shù)與收銀員之間的關(guān)系式及收銀員的排班表，最后再將所得收銀員排班表與題目所提供排班表進(jìn)行對(duì)比，并得出最優(yōu)的超市收銀員排班表。 5、把離散的數(shù)子，用擬合法，變成連續(xù)，可導(dǎo)的函數(shù)。從爾在使Z（等待時(shí)間）波動(dòng)性不大才合理，來(lái)檢驗(yàn)安排表的合理。 關(guān)鍵詞：收銀員排班計(jì)劃 函數(shù)擬合 一、 問(wèn)題重述超市的顧客數(shù)受收銀員數(shù)量的影響，如果收銀員數(shù)量偏少，會(huì)使等待排隊(duì)交費(fèi)的人數(shù)偏多，顧客看到收銀處排隊(duì)人數(shù)很多就會(huì)放棄進(jìn)入超市的意愿，甚至在超市內(nèi)只購(gòu)買一兩件商品的顧客也會(huì)放棄購(gòu)買意愿。表1是調(diào)查員對(duì)某一超市七天實(shí)際調(diào)查到的不同時(shí)刻收銀員數(shù)量和正在排隊(duì)等待交費(fèi)的顧客人數(shù)，收

5、銀員每天工作時(shí)間不超過(guò)7小時(shí)及顧客接受服務(wù)的時(shí)間約0.8分鐘到5分鐘。為使顧客等待交費(fèi)時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)，同時(shí)又要考慮超市企業(yè)聘用收銀員的成本，請(qǐng)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證這個(gè)超市收銀員的排班計(jì)劃是否合理？如果安排不合理，請(qǐng)給該超市安排一份收銀員的排班計(jì)劃。 參考有關(guān)數(shù)據(jù)及相關(guān)資料對(duì)該超市收銀員合理排班與否研究如下問(wèn)題：1.1、對(duì)相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，用適當(dāng)?shù)姆椒▽ふ也煌臅r(shí)刻顧客數(shù)的變化情況以及不同時(shí)刻收銀員人數(shù)的變化情況。1.2、建立不同時(shí)刻與顧客數(shù)以及收銀員人數(shù)在內(nèi)的主要因素或指標(biāo)之間的數(shù)學(xué)模型。1.3、利用所建立的關(guān)于收銀員合理排班的數(shù)學(xué)模型來(lái)檢驗(yàn)該超市所采用的排班模式是否合理。1.4

6、、如果該超市的收銀員排班計(jì)劃不合理，根據(jù)所建立的模型對(duì)其不合理的地方進(jìn)行修改，為該超市制定出一套合理的排班計(jì)劃。二、 問(wèn)題分析通過(guò)對(duì)該超市的收銀員排班計(jì)劃的分析，我們遇到了一些困難，比如說(shuō)，顧客排隊(duì)能夠忍受的時(shí)間是多少，每個(gè)顧客所需要的服務(wù)時(shí)間具體是多少，排版合理的標(biāo)準(zhǔn)又是什么等等問(wèn)題。題目所給出的相關(guān)條件都只是一些比較籠統(tǒng)的數(shù)據(jù)且彼此沒有明顯的相關(guān)性，數(shù)據(jù)之間是離散的，幾乎都不能拿來(lái)直接利用?？紤]到該題目的最終目的是檢驗(yàn)收銀員排班計(jì)劃的合理與否，我們便從某時(shí)刻的顧客數(shù)以及收銀員的變化情況下手，分別找出了他們的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)而建立模型。 2.1對(duì)于問(wèn)題（1.1）的分析本題要求找出不同時(shí)刻顧客數(shù)的變

7、化情況以及收銀員的變化情況，顯然根據(jù)表格所給出的數(shù)據(jù)不能直接找出各個(gè)不同時(shí)刻，時(shí)間t與顧客數(shù)以及收銀員人數(shù)的函數(shù)關(guān)系。在這里我們先分別用h（t）、g(t)將顧客數(shù)及收銀員數(shù)進(jìn)行表示。 -1-2.2、對(duì)于問(wèn)題（1.2）的分析本題要求找出各主要因素之間的聯(lián)系，但是根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)可知，不同的時(shí)刻t與顧客數(shù)h（t)及顧客數(shù)與收銀員數(shù)g(t)并無(wú)直接簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系。針對(duì)此問(wèn)題的我們解決的方法是化零為整，將一段時(shí)間內(nèi)的所有顧客所需要的時(shí)間、收銀員上班時(shí)間分別累和。然后再用題目中所給約束條件“收銀員每天工作時(shí)間不超過(guò)7小時(shí)顧客接受服務(wù)的時(shí)間約0.8分鐘到5分鐘?！睂?duì)其進(jìn)行約束。進(jìn)而建立所需數(shù)學(xué)模型。2.3、對(duì)

8、于問(wèn)題（1.3）的分析本題要求根據(jù)所求模型對(duì)該超市的收銀員排班計(jì)劃進(jìn)行合理性分析，就其所給的條件而言我們可以根據(jù)第二問(wèn)所建立的具有一定的可靠性的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。但顯然題目所給的數(shù)據(jù)是很有限的，只是某一周的超市七天的統(tǒng)計(jì)情況，其并不具備相當(dāng)充分的代表性。并且影響超市排班計(jì)劃的因素還有很多，這些因素相互聯(lián)系，相互影響，所以在求解過(guò)程中需要我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。2.4、對(duì)于問(wèn)題（1.4）的分析根據(jù)所制定的數(shù)學(xué)模型可以對(duì)其計(jì)劃不合理的地方進(jìn)行修改，進(jìn)而給潮濕提供一份較為合理的收銀員排班計(jì)劃。三、 模型假設(shè)3.1、不考慮除去星期六及星期天節(jié)假日客流量對(duì)收銀員排班計(jì)劃的影響。3.2、不考慮其他一些可變因素

9、的影響。3.3、超市的收銀員數(shù)量足夠。且每一個(gè)收銀員的效率相同，兩者之間不影響。3.4、假設(shè)超市一直都有顧客，即收銀員一直都在工作。且每一個(gè)顧客的效率相同，兩者之間不影響。35、排隊(duì)規(guī)則是，顧客看著隊(duì)伍少的就排。36、不考慮收銀員的累，或者中途休息。四、 符號(hào)定義g(t) 收銀員的人數(shù); -2- h(t) 顧客的人數(shù): t 為時(shí)刻的點(diǎn)數(shù)k 最多的收銀員數(shù)x 一個(gè)顧客所需要接受服務(wù)的時(shí)間z 某時(shí)刻進(jìn)來(lái)一個(gè)顧客所需等待時(shí)間 五、 模型建立 建立 時(shí)刻T與 收銀員的人數(shù)的函數(shù)關(guān)系： 設(shè)為：g(t) 建立 時(shí)刻T與 顧客的人數(shù)的函數(shù)關(guān)系： 設(shè)為：h(t)則可得： 在（a,b）的時(shí)間內(nèi)：顧客的總時(shí)間=a

10、bh(t) dt 收銀員的總的工作時(shí)間=abg(t)dt0.8g(t)<h(t)<7*kX=g(t)/h(t)Z=g(t)h(t)*x求出Z的關(guān)于t的函數(shù)，使得不管t取那時(shí)刻，Z的等待時(shí)間波動(dòng)不大，即每時(shí)刻服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)人數(shù)均衡 -3-六、 模型求解以時(shí)刻點(diǎn)t為X軸以顧客數(shù)為Y軸，從星期一到星期五描述函數(shù)曲線如下： 有上圖可得從星期一到星期五的顧客數(shù)基本變化不大，所以我們把星期一到星期五的顧客數(shù)求取平均值，從而得到平均的工作日的每個(gè)時(shí)刻的顧客數(shù)如下表：x01234567891011121314y=(y1+y2+y3+y4+y5)/57.225.427.819.611.25.211.6

11、15.61713.210.41324.41711.8 -4-y 為星期一到星期五的平均每個(gè)時(shí)刻的人數(shù)如下： 以時(shí)刻點(diǎn)t為X軸以顧客數(shù)為Y軸，從星期六到星期天描述函數(shù)曲線如下 -5-有上圖可得從星期一到星期五的顧客數(shù)基本變化不大，所以我們把星期一到星期五的顧客數(shù)求取平均值，從而得到平均的工作日的每個(gè)時(shí)刻的顧客數(shù)如下表：x01234567891011121314Y=(y6+y7)/28.5444233.513.51215.516.514.5233424.535.525.517Y 為星期六到星期天每個(gè)時(shí)刻的平均人數(shù) -6-七、 模型分析與推廣 本模型是通過(guò)函數(shù)的擬合確定Z的關(guān)系，把離線的時(shí)刻點(diǎn)做為連

12、續(xù)的，可導(dǎo)的的T與服務(wù)人數(shù)的函數(shù)關(guān)系，G（X），H（X），從而建立Z=g(t)h(t)*x的關(guān)系，得到到Z與X之間的關(guān)系，建立的Z于X的函數(shù)，對(duì)于Z的曲線波動(dòng)性，我們使其在一定的范圍內(nèi)。 假設(shè)中 3.1、不考慮除去星期六及星期天節(jié)假日客流量對(duì)收銀員排班計(jì)劃的影響。3.2、不考慮其他一些可變因素的影響。3.3、超市的收銀員數(shù)量足夠。3.4、假設(shè)超市一直都有顧客，即收銀員一直都在工作。 -7-從爾在修改中得到如理安排： 表2：收銀員最優(yōu)排班表時(shí)間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天8:0066666669:0088888101010:0088888101011:00666668812:00555557713:00555556614:00777776615:00777776616:00666666617:00666666618:00666668819:00888888820:0088888101021:0088888101022:006666666 爾實(shí)際生活中，安排又要考慮人性化，合里性。八、 參考文獻(xiàn)薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解M.清華大學(xué)出版社，2004. 排隊(duì)系統(tǒng) 排隊(duì)原則 -8-九、 附錄圖一：x=0123456789101112131