課堂導(dǎo)學(xué)23數(shù)學(xué)歸納法

1、課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一,證明與自然數(shù)n有關(guān)的等式.【例1】 已知an=1+(nN*),是否存在n的整式q(n),使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)對于大于1的一切自然數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論.解：假設(shè)存在q(n),去探索q(n)等于多少.當(dāng)n=2時,由a1=q(2)(a2-1),即1=q(2)(1+-1),解得q(2)=2.當(dāng)n=3時,由a1+a2=q(3)(a3-1),即1+(1+)=q(3)(1+-1),解得q(3)=3.當(dāng)n=4時,由a1+a2+a3=q(4)(a4-1),即1+(1+)+(1+)=q(4)(1+-1),解得q(4)=4.由此猜想q(n)=n(n2,nN*).

2、下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)n2,nN*時,等式a1+a2+an-1=n(an-1)成立.當(dāng)n=2時,由以上驗證可知等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k2,kN*)時等式成立,即a1+a2+ak-1=k(ak-1),則當(dāng)n=k+1時,a1+a2+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)(ak+-1)=(k+1)(ak+1-1).當(dāng)n=k+1時,等式亦成立. 由知,對于大于1的自然數(shù)n,存在整式q(n)=n,使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)總成立.溫馨提示 這是一個探索性問題,整式q(n)需要用不完全歸納法來探求和發(fā)現(xiàn),通過觀察,歸

3、納,猜想的思維途徑去概括,然后用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴(yán)密的證明.二、證明與數(shù)列有關(guān)的問題【例2】 已知Sn=1+(n>1,nN*),求證：>1+(n2，nN*).證明：(1)當(dāng)n=2時，=1+=>1+,即n=2時命題成立.(2)設(shè)n=k時命題成立,即=1+>1+,當(dāng)n=k+1時,=1+故當(dāng)n=k+1時,命題成立.由(1)(2)知,對nN*,n2, >1+不等式都成立.溫馨提示 此題容易犯兩個錯誤,一是由n=k到n=k+1項數(shù)變化弄錯,認(rèn)為的后一項為,實際上應(yīng)為；二是+共有多少項,實際上2k+1到2k+1是自然數(shù)遞增,項數(shù)為2k+1-(2k+1)+1=2k.三、綜合題型【

4、例3】 某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年的增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要，每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an表示n年后該地區(qū)森林木材的存量.(1)求an的表達(dá)式;(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年？(取lg2=0.30)思路分析： 本題依題意先計算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,歸納猜想第n年后該地區(qū)森林木材的存量,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，該地區(qū)若發(fā)生水土流失,則森林木材存量必須小于a,建立起an<va的不等式,解之就可求得相應(yīng)的n值.解:(1)設(shè)第一年的森林木材存量為a1,

5、第n年后的森林木材存量為an,a1=a(1+)-b=a-b,a2=a1-b=v(a-b)-b=()2a-(+1)b,a3=a2-b=()3a-()2+1b,由上面的a1,a2,a3推測an=()na-()n-1+()n-2+1b=()na-4()n-1b(nN*).證明:當(dāng)n=1時,a1=a-b,已證推測成立.假設(shè)n=k時,ak=()ka-4()k-1b成立.則當(dāng)n=k+1時,ak+1=ak-b=()ka-4()k-1b-b=()k+1a-4()k+1-1b.也就是說當(dāng)n=k+1時,公式也成立.由可知,對nN*公式成立.(2)當(dāng)b=a時,若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失時,則森林木材存量必須小于a,(

6、)na-4()n-1a<a,即()n>5.兩邊取對數(shù)得nlg>lg5,n>=7.2經(jīng)過8年后該地區(qū)就開始水土流失.各個擊破類題演練 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=,右邊=,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,+=成立.當(dāng)n=k+1時,n=k+1時，等式成立.由(1)(2)可知對一切正整數(shù)nN*，等式成立.變式提升 1 證明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).證明:(1)n=1時，左邊=12-22=-3，右邊=-1×(2×1+1)=-3等式成立.n=1時等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，就是1

7、2-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.當(dāng)n=k+1，12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,所以n=k+1時等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何nN*都成立.類題演練2 已知數(shù)列an的通項公式為an=,數(shù)列bn的通項滿足bn=（1-a1）(1-a2)(1-an),用數(shù)學(xué)歸納法證明bn=.證明:（1）當(dāng)n=1時，a1=4,b1=1-a1=1-4=-3,b1=2×1+

8、11-2=-3成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即bK=2k+11-2k,那么bK+1=(1-a1)(1-a2)（1-aK）(1-aK+1)=bK(1-aK+1)=2k+11-2k1-4（2k+1）2=2(k+1)+11-2(k+1).這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立.由（1）（2）可以斷定，對任何正整數(shù)n，bn=2n+11-2n都成立.變式提升2 函數(shù)列fn(x)滿足f1(x)=(x>0),且fn+1(x)=f1fn(x)，求f2(x)、f3(x).解:f1(x)=f2(x)= f3(x)= .類題演練3 平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于同一點，求證：這n個

9、圓將平面分成n2-n+2個部分.證明：(1)n=1時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立.(2)假設(shè)n=k時，k個圓將平面分成k2-k+2個部分.當(dāng)n=k+1時，第k+1個圓CK+1交前面k個圓于2k個點，這2k個點將圓CK+1分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k+1個圓將平面分成k2-k+2+2k個部分，即(k+1)2-(k+1)+2個部分.故n=k+1時，命題成立.由(1)(2)可知，對nN*命題成立.變式提升3 證明凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)=n(n-3)(n4).證明:(1)n=4時，f(4)=×4×(4-3)=2，四邊形有兩條對角線，命題成立.(2)假設(shè)n=k時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)=k(k-3)(k4)當(dāng)n=k+1時，凸k+1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點AK+1，增加