一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性

1、一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性) 1 ()(xFx 一階非線性（自治）方程一階非線性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡點平衡點000 xxxxx設(shè)設(shè)x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，某鄰域的任一初值出發(fā)，都有都有,)(lim0 xtxt稱稱x0是方程是方程(1)的的穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點不求不求x(t), 判斷判斷x0穩(wěn)定性的方法穩(wěn)定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似線性方程的近似線性方程)1 (),2(0)(00對穩(wěn)定xxF)1 (),2(0)(00對不穩(wěn)定xxF6.1 捕魚業(yè)的

2、持續(xù)收獲捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題問題及及 分析分析 在在捕撈量穩(wěn)定捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁漁場魚量將保持不變場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。背景背景ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF記

3、產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型假設(shè)假設(shè) 無捕撈時魚的自然增長服從無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律規(guī)律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模建模 捕撈情況下捕撈情況下漁場魚量滿足漁場魚量滿足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件r固有增長率固有增長率, N最大魚量最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強度捕撈強度x(t) 漁場魚量漁場魚量0)(xF0),1 (10 xrENxErxFrExF)(,)(10產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型ExNxrxxFtx)1 ()()( 平衡點平衡點穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0

4、)(10 xFxFrEx0 穩(wěn)定穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定穩(wěn)定, 漁場干枯漁場干枯E捕撈強度捕撈強度r固有增長率固有增長率不穩(wěn)定穩(wěn)定10,xx穩(wěn)定不穩(wěn)定10,xx產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法圖解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo) x0平衡點平衡點2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量產(chǎn)量)4/, 2/(*0*rNhNxPm產(chǎn)量最大產(chǎn)量最大f 與與h交點交點P穩(wěn)定0 xrEhmx0

5、*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半控制漁場魚量為最大魚量的一半cErEpNEESETER)1 ()()()()1 (4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假設(shè)假設(shè) 魚銷售價格魚銷售價格p 單位捕撈強度費用單位捕撈強度費用c 單位時間利潤單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大強度使效益最大.)/1 (0rENx穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1 (rENxRR漁場漁場魚量魚量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cEEsS(E)T(E)0rE捕撈捕撈過度過度 封閉式捕撈封閉式捕撈追求利潤追求利潤R(E)最大最大 開放式捕撈開放式捕撈只求利潤只求利潤R(E) 0cErEpNEESETER)1 ()()()(R(E)=0時的捕撈強度時的捕撈強度(臨界強度臨界強度)