數(shù)值分析參考答案(第二章)

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流數(shù)值分析參考答案(第二章).精品文檔.第二章 插值法1當(dāng)時(shí)，,求的二次插值多項(xiàng)式。解：則二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為2給出的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計(jì)算的近似值。解：由表格知，若采用線性插值法計(jì)算即，則若采用二次插值法計(jì)算時(shí)，3給全的函數(shù)表，步長(zhǎng)若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時(shí)的總誤差界。解：求解近似值時(shí)，誤差可以分為兩個(gè)部分，一方面，x是近似值，具有5位有效數(shù)字，在此后的計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生一定的誤差傳播

2、；另一方面，利用插值法求函數(shù)的近似值時(shí)，采用的線性插值法插值余項(xiàng)不為0，也會(huì)有一定的誤差。因此，總誤差界的計(jì)算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。當(dāng)時(shí)，令取令則當(dāng)時(shí)，線性插值多項(xiàng)式為插值余項(xiàng)為又在建立函數(shù)表時(shí)，表中數(shù)據(jù)具有5位有效數(shù)字，且，故計(jì)算中有誤差傳播過(guò)程?？傉`差界為4設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：（1） （2） 證明（1） 令若插值節(jié)點(diǎn)為，則函數(shù)的次插值多項(xiàng)式為。插值余項(xiàng)為又 由上題結(jié)論可知得證。5設(shè)且求證：解：令，以此為插值節(jié)點(diǎn)，則線性插值多項(xiàng)式為插值余項(xiàng)為6在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過(guò)，問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少？解：若插值節(jié)點(diǎn)為和，則分段二次插值多項(xiàng)式的插值余

3、項(xiàng)為設(shè)步長(zhǎng)為h，即若截?cái)嗾`差不超過(guò)，則7若，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)行求解。8如果是m次多項(xiàng)式，記，證明的k階差分是次多項(xiàng)式，并且（為正整數(shù)）。解：函數(shù)的展式為其中又是次數(shù)為的多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式依此過(guò)程遞推，得是次多項(xiàng)式是常數(shù)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，9證明證明得證10證明證明：由上題結(jié)論可知得證。11證明證明得證。12若有個(gè)不同實(shí)根，證明：證明：有個(gè)不同實(shí)根且令則而令則又得證。13證明階均差有下列性質(zhì)：（1）若，則（2）若，則證明：（1）得證。得證。14求及。解：若則15證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是解：若，且插值多項(xiàng)式滿足條件插值余項(xiàng)為由插值條件可知且可寫(xiě)成其中是關(guān)于的待定函

4、數(shù)，現(xiàn)把看成上的一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù)根據(jù)余項(xiàng)性質(zhì)，有由羅爾定理可知，存在和，使即在上有四個(gè)互異零點(diǎn)。根據(jù)羅爾定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，故在內(nèi)至少有三個(gè)互異零點(diǎn)，依此類推，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。記為使又其中依賴于分段三次埃爾米特插值時(shí)，若節(jié)點(diǎn)為，設(shè)步長(zhǎng)為，即在小區(qū)間上16求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P（x），使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式設(shè)其中，A為待定常數(shù)從而17設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與值，并估計(jì)誤差。解：若則步長(zhǎng)在小區(qū)間上，分段線性插值函數(shù)為各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，誤差又令得的駐點(diǎn)為和18求在上分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，函數(shù)在小區(qū)間上分段線性插值函數(shù)為誤差為19求在上分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，令函數(shù)在區(qū)間上的分段埃爾米特插值函數(shù)為誤差為又20給定數(shù)據(jù)表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程組得三次樣