任意角的三角函數(shù)

1、2022年3月7日星期一1人民教育出版社人民教育出版社A A版數(shù)學必修版數(shù)學必修4 4第一章第二節(jié)第一課時第一章第二節(jié)第一課時 任意角是一條射線繞端點任意角是一條射線繞端點O旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)生成的.在旋在旋轉(zhuǎn)過程中，終邊上的點都繞轉(zhuǎn)過程中，終邊上的點都繞O點作著圓周運動點作著圓周運動. 創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高問題問題1：任意角是怎樣生成的？：任意角是怎樣生成的？問題問題2：圓周運動體現(xiàn)了客觀世界圓周運動體現(xiàn)了客觀世界“周而復(fù)始周而復(fù)始”的變的變化規(guī)律，那么用什么函數(shù)刻畫這種化規(guī)律，那么用什么函數(shù)刻畫這種“周而復(fù)始周而復(fù)始”的變的變化規(guī)律呢

2、？化規(guī)律呢？創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高問題問題3：初中學習過銳角三角函數(shù)，你還記得它們的：初中學習過銳角三角函數(shù)，你還記得它們的定義嗎？定義嗎？MPOPOMOPMPOMMPO創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高sincostan問題問題3：初中學習過銳角三角函數(shù)，你還記得它們的：初中學習過銳角三角函數(shù)，你還記得它們的定義嗎？你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐定義嗎？你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？標來表示銳角三角函數(shù)嗎？( , )P x y22rOPxy=yr=xry

3、xyxOMrsinMPOPcosOMOPtanMPOM創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高xy(2)對于銳角對于銳角 的每一個確定的值的每一個確定的值 ，比值，比值 都都是確定的嗎是確定的嗎？xyrxry,(1)當銳角當銳角 變化時，比值變化時，比值 會改變嗎？會改變嗎？ xyrxry,問題問題4：比值比值 是銳角是銳角 的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？xyrxry,sinyrcosxrtanyx銳角創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高問題問題5：既然當銳角確定后，三角函數(shù)值與點既然當銳角確定后，三角函

4、數(shù)值與點P在終在終邊上的位置無關(guān)，那么你能否在終邊上取適當?shù)狞c，邊上的位置無關(guān)，那么你能否在終邊上取適當?shù)狞c，使三角函數(shù)的定義更簡單？使三角函數(shù)的定義更簡單？ yxO( , )P x y1r sinyrcosxrtanyx銳角單位圓：單位圓：在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓度為半徑的圓稱為單位圓.sinycosxtanyx銳角(1,0)A創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高r問題問題6：若將銳角若將銳角 換為任意角，那么換為任意角，那么 還是還是 的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？ yyxx、 、創(chuàng)

5、設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高任意角的三角函數(shù)：任意角的三角函數(shù)：如圖，設(shè)如圖，設(shè) 是一個任意角，它的是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點終邊與單位圓交于點 ，那么：，那么：( , )P x y(1)縱坐標縱坐標 叫做叫做 的正弦，記作的正弦，記作 ，即，即 ；ysinsin=y(2)橫坐標橫坐標 叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ；xcoscos=x(3)縱坐標與橫坐標的比值縱坐標與橫坐標的比值 叫做叫做 的正切，的正切，yx記作記作 ，即，即 .tantan =(0)yxx(1,0)AyxO( , )P x y 正弦，余弦，正切都

6、是以正弦，余弦，正切都是以角（實數(shù)）角（實數(shù)）為自變量為自變量，以，以單位單位圓圓上點的上點的坐標或坐標的比值坐標或坐標的比值為為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為稱為三角函數(shù)三角函數(shù). .創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高ysin:的正弦xcos:的余弦xytan:的正切y正弦余弦x正切xyyxO( , )P x y(1,0)A問題問題7：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，確定它們在弧度：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，確定它們在弧度制下的定義域制下的定義域.三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域)(2ZkkRsin=ycos=xtan=(0)yx

7、xR創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高問題問題8：你能比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)概：你能比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)概念的異同嗎？念的異同嗎？創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高sinMPOPcosOMOPtanMPOMMPOyxO( , )P x y(1,0)Asinycosxtanyx銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù) 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)yxO例例1 求 的正弦、余弦和正切值.53BAP53解：在直角坐標系中，作53AOP作 軸，在 中，PBxRt OBP3BOP，13,22OBPB故

8、的終邊與單位圓的交點AOP53515sin,cos,tan3.32323 ,2167sin73cos,62 3367tan練練1 將例1中的 改為 呢？765313(,)22P坐標為創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高 搶答：搶答： 已知角 的終邊經(jīng)過點 ，求角 的正弦、余弦和正切值.13(,)22P小結(jié)：小結(jié)：利用定義求三角函數(shù)值利用定義求三角函數(shù)值 ，關(guān)鍵是求出角的終，關(guān)鍵是求出角的終邊與單位圓交點的坐標邊與單位圓交點的坐標.特殊角的三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù):sincostan00101010角度角 的弧度數(shù)0010132123322221323

9、1206030459018027036006342322不存在不存在不存在不存在設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點 ，解：由已知得解：由已知得220( 3)( 4)5OP 分別過點分別過點 作作 軸的垂線軸的垂線0PP、x0 0MPM P、P),(yx 已知角 的終邊經(jīng)過點 ，求角 的正弦、余弦和正切值.0( 3, 4)P yxO練練2 ( , )P x y0( 3, 4)P 0MM0000,OPOMMPOPOMM P1534OMMP即34,.55xy 所以，所以，434sin,cos,tan.553yyxx創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作

10、業(yè)拓展提高OMP00POM34,.55OMMP得 已知角 的終邊經(jīng)過點 ，求角 的正弦、余弦和正切值.0( 3, 4)P yxO練練2 ( , )P x y問題問題9：你能利用角的終邊上任意一點的坐標來你能利用角的終邊上任意一點的坐標來定義任意角的三角函數(shù)嗎？定義任意角的三角函數(shù)嗎？ 一般地，設(shè)角一般地，設(shè)角 終邊上任意一點的坐標為終邊上任意一點的坐標為 ，它與原點的距離為它與原點的距離為 ，則，則( , )x yrsin, cos, tan.yxyrrx22()rxy4sin53cos54tan3 45yr35xr43yx0( , )P x y3x 4y 5r 創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概

11、念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，練習：練習： 已知角已知角 的終邊過點的終邊過點 ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：sin1.根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，確定三根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，確定三角函數(shù)值在各象限的符號角函數(shù)值在各象限的符號.xyxyyxOyxOyxOcostan+創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高全為全為+sincostan一全一全二正弦二正弦三切三切四余弦四余弦三角函數(shù)值的符號三角

12、函數(shù)值的符號: sin tan cosxyo xyo xyoxyo規(guī)律規(guī)律:當角當角 滿足不等式組滿足不等式組 時，時，角角 為第為第 象限角象限角. 例例2 sin0tan0sin0解：tan0或 軸的負半軸上;y角 的終邊可能位于第三或第四象限，角 的終邊可能位于第一或第三象限.角 的終邊只能位于第三象限.即角 為第三象限的角.不求值，判斷下列三角函數(shù)值的符號不求值，判斷下列三角函數(shù)值的符號. (1) cos250 (2)sin() (3) tan3(4) tan( 672 ).4練練3 0創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高三三創(chuàng)設(shè)情境引入新課

13、類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高oxy的的終終邊邊 ),(yxPrMxy終邊相同的角與360kxykrxkryk)360tan()360cos()360sin(由三角函數(shù)的定義有 cos sin tan 結(jié)論結(jié)論:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.2.根據(jù)根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系？的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系？ 創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一:的角）。之間找出與它終邊相同到（方法

14、在的角的同一三角函數(shù)值到化為正切函數(shù)值，余弦正弦作用：可以把任意角的000036003600,tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中Zk 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： 780sin9cos4)611tan(（1）；（；（2）；（；（3）224cos)24cos(49cos（2）336tan6tan)26tan()611tan(（3）解：（解：（1） )360260sin(780sin60sin23例例3 小結(jié)：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求小結(jié)：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求到到02)3600(到或角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值. .tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中Zk 創(chuàng)設(shè)情境引入新課類比概括形成概念典例精析鞏固概念合作探究深化概念小結(jié)作業(yè)拓展提高小結(jié)小結(jié)：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？作業(yè)作業(yè)： (