五點菱形格式-拉普拉斯第一邊值問題-計算實習報告

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上計算實習報告姓名：蔡欣麟 學號：一、 實習目的1、熟悉偏微分方程數(shù)值解的理論知識；2、提高matlab編程能力。3、進一步加深對使用matlab解決相關數(shù)學問題的理解。二、 實習內(nèi)容運用matlab實現(xiàn)對Laplace方程第一邊值問題的求解。三、 算法公式考慮如下區(qū)域=上求解Poisson方程邊值問題Lu=-u=f x,ya,b×c,d= (1)un+k(x,y)u=r(x,y)的差分方法。用差分方法求解橢圓邊值問題時，對區(qū)域離散化統(tǒng)一采用矩形網(wǎng)格剖分。對是矩形區(qū)域的情況，可將a,b等分為N等分，記h1=ab/N；將c,d等分為M等分，記h2=cd/M；的離

2、散結果記為h，網(wǎng)格節(jié)點記為（i,j）,邊界結點為i=1和N+1,j=1和M+1的情形，內(nèi)結點為2iN，2jM的情形。在差分方程中，微分方程的離散化處理都采用差商代替微商的方法。為此，要先假設解函數(shù)u（x,y）足夠光滑，以便利用Taylor展開式做出差商近似。設（i,j）是內(nèi)節(jié)點，為了表現(xiàn)在該結點處的微商，應用Taylor展式，有1h12uxi+1,yi-2uxi,yi+uxi-1,yi=2(xi,yi)x2+h12124u(xi,yi)x4+h143606u(xi,yi)x6+O(h16)1h22uxi,yi+1-2uxi,yi+uxi,yi-1=2u(xi,yi)y2+h22124u(xi,

3、yi)y4+h243606u(xi,yi)y6+O(h26)用以上兩式中的沿x和y方向的二階中心差商直接代替方程（1）中的uxx和uyy，就得到-1h12ui+1,j-2uij+ui-1,j-1h22ui,j+1-2uij+ui,j-1=fij (2)由于式（2）中只出現(xiàn)u在點（i,j）及其4個鄰點共五個節(jié)點處的值；另外，對一切內(nèi)節(jié)點（2）都適用；稱（2）為五點差分格式。五點差分格式的截斷誤差為Ri,j=uxi,yi-huxi,yi=O(h2)四、 程序設計1、 計算實例在區(qū)域求解Laplace方程第一邊值問題：(要求取x方向與y方向取相同的步長)：(結果：取h0.125，利用五點菱形格式，用

4、Gauss-Seidel進行迭代計算得數(shù)值結果按先沿x方向后沿y方向為：5.25，12.50，18.75，12.50，25.00，37.50，18.75，37.50，58.25)2、 模塊設計(1)網(wǎng)格剖分；(2)近似；(3)Gauss-Seidel迭代；(4)輸出結果。3、 變量說明q：內(nèi)點初始值(邊界值的算術平均值) u：序號點的函數(shù)值U: 每次迭代序號點的函數(shù)值 u1：上次迭代的函數(shù)值du：兩次迭代函數(shù)值的偏差。4、 程序清單（附）clear;clc;q=25;u=0;0;0;0;0;0;q;q;q;25;0;q;q;q;50;0;q;q;q;75;0;25;50;75;100;for

5、i=1:100for j=1:25 U(j,i)=u(j); u1(j)=u(j);endu(7)=(u(2)+u(6)+u(8)+u(12)/4;u(8)=(u(3)+u(7)+u(9)+u(13)/4;u(9)=(u(4)+u(8)+u(10)+u(14)/4;u(12)=(u(7)+u(17)+u(11)+u(13)/4;u(13)=(u(8)+u(18)+u(12)+u(14)/4;u(14)=(u(9)+u(19)+u(13)+u(15)/4;u(17)=(u(12)+u(16)+u(18)+u(22)/4;u(18)=(u(13)+u(17)+u(19)+u(23)/4;u(19)

6、=(u(14)+u(18)+u(20)+u(24)/4;for j=1:25 du(j)=u(j)-u1(j);endif norm(du,1)<=0. break; end endfor i=1:5 for j=1:5 u2(i,j)=u(5*(i-1)+j); endendmesh(u2);五、 結果分析這樣我們就求出了這25個點的精確值，在0,0.5×0,0.5區(qū)域內(nèi)的所有點都可以用最靠近它的網(wǎng)格點來近似，這樣我們就很好地解決了這個偏微分方程問題。六、 實習心得通過本學期的計算實習，我對偏微分數(shù)值解有了更深的了解。雖然學藝不精，對matlab的掌握還有待提高，但是較以前有了明顯進步，應該說是這門課讓我在這學期受益良