預(yù)習(xí)導(dǎo)航 1.1導(dǎo)數(shù)

1、.預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目的學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解函數(shù)平均變化率的概念，會(huì)求函數(shù)的平均變化率；2理解瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題.1函數(shù)的平均變化率一般地，函數(shù)yfx，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記xx1x0，yy1y0fx1fx0fx0xfx0，那么當(dāng)x0時(shí)，商稱(chēng)作函數(shù)yfx在區(qū)間x0，x0x或x0x，x0的平均變化率考慮1 在平均變化率中，x，y，是否可以等于0？當(dāng)平均變化率等于0時(shí)，是否說(shuō)明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常數(shù)？提示：x可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，但x不可以為0，y可以為0；可以為0.當(dāng)平均變化率等于0時(shí)，并不說(shuō)明函

2、數(shù)在該區(qū)間上一定為常數(shù)例如函數(shù)fxx2在區(qū)間2,2上的平均變化率是0，但它不是常數(shù)函數(shù)點(diǎn)撥 函數(shù)平均變化率的幾何意義：如下圖，函數(shù)fx在區(qū)間x0，x1上的平均變化率，就是直線(xiàn)AB的斜率，其中Ax0，fx0，Bx1，fx1事實(shí)上，kAB.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)1瞬時(shí)速度物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描繪為：物體運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)sft，當(dāng)t趨近于0時(shí)，ft在t0到t0t之間的平均速度趨近于常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為物體在tt0時(shí)刻的瞬時(shí)速度2瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù)yfx在x0及其附近有定義，當(dāng)自變量在xx0附近改變量為x時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變yfx0xfx0假如當(dāng)x趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)

3、常數(shù)l，那么常數(shù)l稱(chēng)為函數(shù)fx在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率3導(dǎo)數(shù)“當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于常數(shù)l可以用符號(hào)“記作“當(dāng)x0時(shí)，l，或記作“ l，符號(hào)“讀作“趨近于函數(shù)yfx在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率，通常稱(chēng)為fx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作fx0這時(shí)又稱(chēng)fx在點(diǎn)x0處是可導(dǎo)的對(duì)于上述變化過(guò)程，可以記作當(dāng)x0時(shí)，fx0或fx0 .4導(dǎo)函數(shù)假如fx在開(kāi)區(qū)間a，b內(nèi)每一點(diǎn)x都是可導(dǎo)的，那么稱(chēng)fx在區(qū)間a，b可導(dǎo)這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間a，b內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)fx于是，在區(qū)間a，b內(nèi)，fx構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)yfx的導(dǎo)函數(shù)，記為fx或y或yx導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)考慮2 “函數(shù)fx在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)“

4、導(dǎo)函數(shù)“導(dǎo)數(shù)三者有何關(guān)系？提示：1函數(shù)fx在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)fx0是一個(gè)數(shù)值，不是變量2導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，所以3函數(shù)yfx在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)fx0就是導(dǎo)函數(shù)fx在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值，所以求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)撥 導(dǎo)數(shù)定義式的幾種常見(jiàn)的變式：fx ；fx ；fx ；fx ；fx0 .3導(dǎo)數(shù)的幾何意義1切線(xiàn)設(shè)函數(shù)yfx的圖象如下圖AB是過(guò)點(diǎn)Ax0，fx0與點(diǎn)Bx0x，fx0x的一條割線(xiàn)由此割線(xiàn)的斜率是，可知曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率就是函數(shù)的平均變化率當(dāng)點(diǎn)B沿曲線(xiàn)趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線(xiàn)AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為直線(xiàn)AD，這條直線(xiàn)AD叫做此曲線(xiàn)在點(diǎn)A的切線(xiàn)于是，當(dāng)x0時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率趨近于在點(diǎn)A的切線(xiàn)AD的斜率，即 切線(xiàn)AD的斜率2導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線(xiàn)yfx在點(diǎn)x0，fx0的切線(xiàn)的斜率等于fx0考慮3 與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn)嗎？提示：不一定如x軸或與x軸平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y22pxp0均只有一個(gè)公共點(diǎn)，但不能說(shuō)這些直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)考慮4 曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？提示：不一定例如直線(xiàn)y1是曲線(xiàn)ysin x的一條切線(xiàn)，但它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)撥 正確區(qū)分曲線(xiàn)切線(xiàn)的兩種不同描繪方法：1曲線(xiàn)yfx在點(diǎn)P處的切線(xiàn)，是指點(diǎn)P恰好就是切線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)，這時(shí)切線(xiàn)唯一