高中數(shù)學(xué) 課件向量加法運(yùn)算及其幾何意義（教學(xué)設(shè)計(jì)）

1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)蘄春一中 胡正霞一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本課取自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修·人民教育出版社A版）第二章2.2.1,向量是近代數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)概念之一,它既是代數(shù)的對(duì)象,又是幾何的對(duì)象.向量作為代數(shù)對(duì)象,可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算.作為幾何對(duì)象,向量有方向,可以刻畫直線,平面,切線等幾何對(duì)象；向量有長(zhǎng)度,可以解決有關(guān)幾何對(duì)象的長(zhǎng)度,面積,體積等幾何度量問題.向量由大小和方向兩個(gè)因素確定,大小反映了向量數(shù)的特征,因此,向量是集數(shù),形于一身的數(shù)學(xué)概念,是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn).同時(shí)也是重要的物理模型,平面力場(chǎng),平面位移以及二者混合產(chǎn)生的做功問題,都可

2、以用向量空間來刻畫和描述.向量不僅溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系,而且體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想,它在高中數(shù)學(xué)中的重要地位是不言而喻的.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 根據(jù)新課標(biāo)的要求:培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí). 集本節(jié)教材的特點(diǎn)和高一學(xué)生對(duì)矢量的認(rèn)知特點(diǎn),我把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）理解向量加法的意義,掌握向量加法的幾何表示法,理解向量加法的運(yùn)算律.（2）理解和體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的過程和思想,增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).（3）培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力.（4）進(jìn)行辯證唯物主義思想教育、數(shù)學(xué)審美教育,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

3、積極性.三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在上節(jié)課中學(xué)習(xí)了向量的定義及表示,相等向量,平行向量等概念,知道向量可以自由移動(dòng),這是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ). 學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算了如指掌,但是,對(duì)于向量的加法運(yùn)算,學(xué)生可能不明白向量可以相加的道理. 于是便產(chǎn)生了疑惑：向量既有大小,又有方向,難道可以相加嗎？為此,我在案例設(shè)計(jì)中,首先回顧物理中位移、力的合成,讓學(xué)生體驗(yàn)向量加法的實(shí)際含義,明確向量的加法就是物理中學(xué)過矢量的合成,在此基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則. 而向量的運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)并不困難,主要任務(wù)是讓學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行探究,構(gòu)造圖形進(jìn)行驗(yàn)證. 關(guān)于例2的教學(xué),主要是幫助學(xué)生正確理解題意,把問題轉(zhuǎn)化

4、為向量的加法運(yùn)算.四、教學(xué)支持條件分析彈簧、橡皮筋、砝碼、電腦、實(shí)物投影儀五、教學(xué)過程同學(xué)們,我們知道,數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無窮.與數(shù)的運(yùn)算類比,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？作為既有大小又有方向的一個(gè)矢量,它的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算有什么區(qū)別呢？本節(jié)課我們將一起來探討向量加法運(yùn)算及其幾何意義.【環(huán)節(jié)一 復(fù)習(xí)回顧】問題1：向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量？【設(shè)計(jì)意圖】：因?yàn)閷W(xué)生沒有學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí),又考慮到本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,因此,只能簡(jiǎn)單地描述一下相關(guān)知識(shí),作這個(gè)介紹,學(xué)生能夠接受.【環(huán)節(jié)二 引入】問題2：某同學(xué)從A到B,再從B按原方向到C,則兩次位移的和是多少? 某同學(xué)從A到B

5、,再從B按反方向到C,則兩次位移的和是多少? 問題3：如圖（多媒體投影）,公元2008年7月4日實(shí)現(xiàn)了兩岸周末“直航”包機(jī),兩岸人民正在創(chuàng)造著歷史,書寫著造福后代子孫的傳奇,使“灣”路直行。由于之前大陸和臺(tái)灣沒有直航,因此2006年春節(jié)從臺(tái)北到上海探親,乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么？ 【設(shè)計(jì)意圖】：求位移是學(xué)生在學(xué)習(xí)物理中經(jīng)常遇到的問題,問題的提出可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)體現(xiàn)向量的應(yīng)用價(jià)值,通過學(xué)生所熟悉的位移和的求法,進(jìn)一步明確本節(jié)課的探索目標(biāo),使得教學(xué)過程自然流暢.問題4：用二個(gè)互相垂直的力F1=3,F2=4把橡皮條拉長(zhǎng)一定的距離OE,再撤去F1,F2,

6、用一個(gè)力F作用在橡皮條上,使橡皮沿著相同的方向伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度,記錄F的大小和方向結(jié)論：排除誤差,可以通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,在取得相同效果的前提下,合力F的方向在以F1,F2的為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上,且大小等于平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng).【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)生雖然具備一定的物理知識(shí),不過對(duì)于力的合成和分解,同樣是高一才開始接觸,有必要安排實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)合力的大小和方向,學(xué)生經(jīng)過直觀實(shí)驗(yàn)的觀察和分析,很自然地認(rèn)識(shí)三角形法則和平行四邊形法則,為向量的加法定義做鋪墊.說明,如果環(huán)境不允許做這樣的實(shí)驗(yàn),可以通過課件直觀顯示,結(jié)合學(xué)生在物理實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),讓學(xué)生體會(huì)這一結(jié)果.結(jié)論：位移和力都可以看成向量,從物

7、理的角度,力F和位移都得到相同的效果,我們把它們稱為合力和合位移,從數(shù)學(xué)的角度可以把它們看成是二個(gè)向量相加.那么根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果,我們?nèi)绾味x二個(gè)向量的加法呢？【環(huán)節(jié)三 向量加法定義的探究】問題5：讓學(xué)生討論,怎么定義任意二個(gè)向量的和？（教師在黑板上畫出二個(gè)自由向量）,學(xué)生討論以后可能會(huì)出現(xiàn)以下二個(gè)定義方式：（1）已知向量,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,則向量叫做向量的和記作：,即這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則. （2）在平面內(nèi)過同一點(diǎn)O作=,=,則以向量、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形OACB,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線向量即與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.【設(shè)計(jì)意圖】：對(duì)

8、于此環(huán)節(jié),比較常見的處理方式是直接給出定義,事實(shí)上,學(xué)生通過引入環(huán)節(jié)的活動(dòng)可以初步認(rèn)識(shí)平行四邊形法則和三角形法則,能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生的思維,同時(shí)也讓學(xué)生在比較討論中進(jìn)一步掌握二種形式的特點(diǎn), 根據(jù)學(xué)生的回答,教師適當(dāng)提示,啟發(fā)學(xué)生注意到第一種定義方式對(duì)于二個(gè)向量不能構(gòu)成平行四邊形時(shí)要增加補(bǔ)充說明,即二向量共線時(shí)的向量和如何？教師提示學(xué)生考慮：某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和為什么？ 二個(gè)向量共線時(shí)； (1) 同向： （2）反向： 同樣也滿足第一種定義方式。【環(huán)節(jié)三 向量加法的二個(gè)運(yùn)算法則】例題1：如圖,已知向量、,用三角形法則求作向量.【設(shè)計(jì)意圖】：此環(huán)節(jié)目的為強(qiáng)化鞏

9、固以上二個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生通過前面學(xué)習(xí)探究,已經(jīng)掌握二個(gè)運(yùn)算法則的關(guān)鍵所在,即三角形法則的“首尾連接”和平行四邊形法則中的“起點(diǎn)相同”,本環(huán)節(jié)系統(tǒng)概括、適當(dāng)拓展并且利用適當(dāng)?shù)木毩?xí),幫助學(xué)生找出易錯(cuò)點(diǎn),進(jìn)一步突出重點(diǎn).1.向量加法的三角形法則：在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則教師提示注意點(diǎn):(1) 要特別注意“首尾相接”,即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量.(2) 二個(gè)向量共線時(shí)向量和也滿足三角形法則2.向量加法的平行四邊形法則： 教師通過例題1示范平行四邊形的作圖過程,并提示注意點(diǎn)：(1)從兩個(gè)向量的公共始點(diǎn)出發(fā)作和

10、向量即三個(gè)向量都共起點(diǎn)【環(huán)節(jié)四 向量加法的運(yùn)算律 】問題6：向量的加法既然是一種運(yùn)算,它應(yīng)該具有一些運(yùn)算律？請(qǐng)同學(xué)們類比實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律,猜測(cè)一下是什么？【設(shè)計(jì)意圖】： 本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的難點(diǎn),采用啟發(fā)討論式教學(xué),讓學(xué)生分組討論,教師巡堂指導(dǎo),學(xué)生在嘗試證明和對(duì)比分析討論的過程理解二個(gè)運(yùn)算律請(qǐng)同學(xué)們利用下圖討論如何驗(yàn)證？ 請(qǐng)同學(xué)協(xié)作討論以后寫出證明過程,教師投影學(xué)生習(xí)作,并根據(jù)情況進(jìn)行歸納點(diǎn)評(píng).【環(huán)節(jié)五 應(yīng)用舉例】例題2 ：長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸,如圖所示,一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā),以每小時(shí)5公里的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東每小時(shí)2公里.（1） 試用

11、向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度（保留兩位有效數(shù)字）（2） 求船實(shí)際航行的速度大小與方向（用與江水速度間的夾角表示,精確到度）【設(shè)計(jì)意圖】： 例2的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的思想,使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法解決有關(guān)問題.【環(huán)節(jié)六 課堂練習(xí)】1.如圖：已知向量,用向量加法的三角形法則作出 2.如圖,已知,用向量加法的平行四邊形法則作出.OA1A2A3A4A5A63.O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，求出下列向量： （1）（2）（3）（4）ABCE4.根據(jù)圖示填空：（1）_; （2）_: （3）_;（4）_.ABODC5.根據(jù)圖形填空：（1）+=（2）+

12、=6. 求向量 =_.課后探究練習(xí)(1)在平行四邊形中, ,則用表示向量的是（ ）A B C0 D (2)在平面內(nèi)能否構(gòu)造三個(gè)非零向量 使課后作業(yè)： ,（）（） 【環(huán)節(jié)七 小結(jié)、課后思考題】問題7：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過小結(jié),反思學(xué)習(xí)過程,加深對(duì)向量加法及兩個(gè)法則的理解,領(lǐng)會(huì)并能數(shù)學(xué)思想和方法解決有關(guān)問題.六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)：本節(jié)課采用“探究討論”教學(xué)法.主要把教學(xué)過程分成兩個(gè)步驟：第一步驟是“探究”.我所設(shè)計(jì)的問題引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法,將有關(guān)材料有層次地提供給學(xué)生,讓學(xué)生獨(dú)立地去支配它,進(jìn)而探索、研究它.學(xué)生通過這些“有結(jié)構(gòu)”的材料進(jìn)行探究,獲得對(duì)向量加法的感性認(rèn)識(shí)和形成各自對(duì)向量加法概念的了解.第二步驟是“研討”,即在探究的基礎(chǔ)上,組織學(xué)生在研討自己在探究中的發(fā)現(xiàn),通過互相交流、啟發(fā)、補(bǔ)充、爭(zhēng)論,使學(xué)生對(duì)向量加法的認(rèn)識(shí)從感性的認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),獲得一定水平層次的科學(xué)概念.這節(jié)課主要是交給學(xué)生“動(dòng)手做,動(dòng)腦想；多訓(xùn)練,勤鉆研.”的研討式學(xué)習(xí)方法.這樣做,增加了學(xué)生主動(dòng)參與的機(jī)會(huì),增強(qiáng)了參與意識(shí),教給學(xué)生獲取知識(shí)的途徑和思考問題的方法.使學(xué)生真正成為教學(xué)的