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1、.第二章 圓錐曲線與方程2.3 拋物線2.3.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)來(lái)源:1A級(jí)根底穩(wěn)固一、選擇題1拋物線的對(duì)稱軸為x軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在直線2x4y110上,那么此拋物線的方程是Ay211x By211xCy222x Dy222x解析:令y0得x,所以 拋物線的焦點(diǎn)為F,即,所以 p11,所以 拋物線的方程是y222x.答案:C2過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線,那么被拋物線截得的弦長(zhǎng)為A8B16C32D64解析:由題可知拋物線y28x的焦點(diǎn)為2,0,直線的方程為yx2,代入y28x,得x228x,即x212x40,所以x1x212,弦長(zhǎng)x1x2p12416.答案:
2、B3拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的間隔 是4,那么點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的間隔 是A4 B6 C8 D12解析:拋物線y28x的準(zhǔn)線是x2,由條件知P到y(tǒng)軸間隔 為4,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP4.根據(jù)焦半徑公式可得|PF|426.答案:B4過(guò)拋物線y22pxp0的焦點(diǎn)作一條直線交拋物線于點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,那么的值為來(lái)源:1ZXXKA4 B4 Cp2 Dp2解析:法一特例法:當(dāng)直線垂直于x軸時(shí),A,來(lái)源:Z_xx_k B,那么4.法二:由焦點(diǎn)弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立,可得y1y2p2,那么4.答案:B5過(guò)拋物線y22pxp0的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),假設(shè)A、B在準(zhǔn)線上的射影
3、為A1、B1,那么A1FB1等于來(lái)源:1A90° B45° C60° D120°解析:如圖,由拋物線定義知|AA1|AF|,|BB1|BF|,所以AA1FAFA1,又AA1FA1FO,所以 AFA1A1FO,同理BFB1B1FO,于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190°.答案:A二、填空題6拋物線y24x的弦AB垂直于x軸,假設(shè)|AB|4,那么焦點(diǎn)到弦AB的間隔 為_(kāi)解析:由題意我們不妨設(shè)Ax,2,那么224x,所以x3,所以直線AB的方程為x3,又拋物線的焦點(diǎn)為1,0,所以焦點(diǎn)到弦AB的間隔 為2.答案:27拋物線y
4、24x與直線2xy40交于兩點(diǎn)A與B,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),那么|FA|FB|_解析:設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,那么|FA|FB|x1x22.又x25x40,所以 x1x25,|FA|FB|x1x227.答案:78在拋物線y216x內(nèi),過(guò)點(diǎn)2,1且被此點(diǎn)平分的弦AB所在直線的方程是_解析:顯然斜率不存在時(shí)的直線不符合題意設(shè)直線斜率為k,那么直線方程為y1kx2,由消去x得ky216y1612k0,所以y1y22y1,y2分別是A,B的縱坐標(biāo),所以k8.代入得y8x15.答案:y8x15三、解答題9假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向上,F(xiàn)為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),且|AM|,|
5、AF|3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解:設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22pyp>0,設(shè)Ax0,y0,由題知M.因?yàn)閨AF|3,所以y03,因?yàn)閨AM|,由得x17,所以x8,代入方程x2py0,得82p,解得p2或p4.來(lái)源:Z+xx+k 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.10M3,y0y0>0為拋物線C:y22pxp>0上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),且|MF|5.1求拋物線C的方程;2MF的延長(zhǎng)線交拋物線于另一點(diǎn)N,求N的坐標(biāo)解:1因?yàn)閨MF|35,所以p4,所以拋物線方程為y28x.2由題意知MF不垂直于x軸,故設(shè)MF所在直線方程為ykx2,聯(lián)立消去y得k2x24k28
6、x4k20,由根與系數(shù)的關(guān)系得xM·xN4,因?yàn)閤M3,所以xN.因?yàn)镹為MF的延長(zhǎng)線與拋物線的交點(diǎn),由圖象可知yN<0.所以yN,所以N坐標(biāo)為.B級(jí)才能提升12019·全國(guó)卷以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn)|AB|4,|DE|2,那么C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的間隔 為A2 B4 C6 D8解析:由題意,不妨設(shè)拋物線方程為y22pxp>0,由|AB|4,|DE|2,可取A,D,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),由|OA|OD|,得85,得p4負(fù)值舍去,所以選B.答案:B2設(shè)A,B是拋物線x24y上兩點(diǎn),O為原點(diǎn),假設(shè)|OA|OB|,且AOB的面積為16,那么AOB等于_解析:由|OA|OB|,知拋物線上點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)A,B,a0,SAOB×2a×16,解得a4.所以 AOB為等腰直角三角形,AOB90°.答案:90°3過(guò)拋物線y22pxp>0的焦點(diǎn),斜率為2 的直線交拋物線于Ax1,y1,Bx2,y2x1<x2兩點(diǎn),且|AB|9.1求該拋物線的方程;2O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),假設(shè),求的值解:1直線AB的方程是y2,與y22px聯(lián)立,消去y得4x25pxp20,所以x1x2.由拋物線的定義得|AB|x1x2pp9,所以p4,從而拋物線方程是y28x.2由于p4
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