第2章 5 第2課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的方差

1、.第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差1理解離散型隨機(jī)變量的方差的意義重點(diǎn)2能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題難點(diǎn)根底·初探教材整理離散型隨機(jī)變量的方差的概念閱讀教材P61P62“習(xí)題25以上部分，完成以下問題1離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差1方差DX_.2標(biāo)準(zhǔn)差為_【答案】1EXEX222方差的性質(zhì)DaXb_.【答案】a2DX3方差的意義方差可用來衡量X與EX的_，方差越小，那么隨機(jī)變量的取值就越_；方差越大，那么隨機(jī)變量的取值就越_【答案】平均偏離程度集中在其均值周圍分散1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定2假設(shè)X是常數(shù)，那么

2、DX0.3假設(shè)DX0，那么X是常數(shù)4假如X是離散型隨機(jī)變量，Y3X2，那么DY9DX.【答案】1×2342隨機(jī)變量X的分布列是X123PX0.40.20.4那么DX等于A0B0.8C1D2【解析】EX1×0.42×0.23×0.42，DX0.4×1220.2×2220.4×3220.8.【答案】B質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：小組合作型求離散型隨機(jī)變量的方差編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)一樣

3、的學(xué)生的人數(shù)是，求E和D.【精彩點(diǎn)撥】首先確定的取值，然后求出的分布列，進(jìn)而求出E和D的值【自主解答】的所有可能取值為0,1,3，0表示三位學(xué)生全坐錯(cuò)了，有2種情況，即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，那么P0；1表示三位學(xué)生只有1位學(xué)生坐對(duì)了，那么P1；3表示三位學(xué)生全坐對(duì)了，即對(duì)號(hào)入座，那么P3.所以，的分布列為013PE0×1×3×1；D×012×112×3121.求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法1分布列型超幾何分布或二項(xiàng)分布：直接利用定義求解，詳細(xì)如下：1求均值；2求方差2分布列是超幾何

4、分布或二項(xiàng)分布型：直接套用公式求解，詳細(xì)如下，1假設(shè)X服從超幾何分布，那么DXn·.2假設(shè)XBn，p，那么DXnp1p3未知分布列型：求解時(shí)可先借助條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成1中的情況4對(duì)于DX求DaXb型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用DaXba2DX求解再練一題1有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為，求E和D.【解】這3張卡片上的數(shù)字之和為，這一變量的可能取值為6,9,12.6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，那么P6.9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，那么P9.12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5

5、，那么P12.的分布列為6912PE6×9×12×7.8.D67.82×97.82×127.82×3.36.二項(xiàng)分布的方差為防止風(fēng)沙危害，某地決定建立防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是互相獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E為3，方差D為.1求n和p的值，并寫出的分布列；2假設(shè)有3株或3株以上的沙柳未成活，那么需要補(bǔ)種求需要補(bǔ)種沙柳的概率【精彩點(diǎn)撥】1利用二項(xiàng)分布的期望與方差計(jì)算公式求解2利用互斥事件的概率計(jì)算公式求解【自主解答】由題意知，服從二項(xiàng)分布Bn，p，PkCpk1pnk

6、，k0,1，n.1由Enp3，Dnp1p，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456P2記“需要補(bǔ)種沙柳為事件A，那么PAP3，得PA，或PA1P>31.所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為.對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(ab)a2D，這樣處理既防止了求隨機(jī)變量ab的分布列，又防止了繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程.再練一題21隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即XBn，p，且EX7，DX6，那么p等于A.B.C. D.【解析】np7且np1p6，解得1p，p.【答案】A2的分布列為：010205060P求方差；設(shè)Y2E，求DY.【解】E0×10×20&#

7、215;50×60×16，D0162×10162×20162×50162×60162×384.Y2E，DYD2E22D4×3841 536.探究共研型均值、方差的綜合應(yīng)用探究1A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每消費(fèi)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求EX1，EX2.【提示】EX10×0.71×0.22×0.063×0.040.44.EX20×0.81&

8、#215;0.062×0.043×0.100.44.探究2在探究1中，由EX1EX2的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？【提示】不能因?yàn)镋X1EX2.探究3在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？【提示】利用樣本的方差方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.1求，的分布列；2求，的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)【精彩點(diǎn)撥】1由分布列的

9、性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出，的分布列2要比較甲、乙兩射手的射擊程度，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值【自主解答】1由題意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為10.30.30.20.2.所以，的分布列分別為10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.22由1得：E10×0.59×0.38×0.17×0.19.2；E10×0.39×0.38×0.27×0.28.7；D109.22

10、×0.599.22×0.389.22×0.179.22×0.10.96；D108.72×0.398.72×0.388.72×0.278.72×0.21.21.由于E>E，D<D，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問題的步驟1比較均值離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均程度，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均程度高2在均值相等的情況下計(jì)算方差方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度通過計(jì)算方

11、差，分析一下誰的程度發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定3下結(jié)論根據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論再練一題3甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有一樣的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違背保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理程度【解】甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EX0×0.31×0.32×0.23×0.21.3；DX01.32×0.311.32×0.321.32×0.231.32×0.21.21.乙保護(hù)區(qū)

12、的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EY0×0.11×0.52×0.41.3；DY01.32×0.111.32×0.521.32×0.40.41.因?yàn)镋XEY，DX>DY，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是一樣的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理程度較高構(gòu)建·體系1設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和，且PAm，令隨機(jī)變量那么的方差D等于AmB2m1mCmm1Dm1m【解析】隨機(jī)變量的分布列為：01P1mmE0×1m1×mm.D0m2×

13、;1m1m2×mm1m【答案】D2隨機(jī)變量XY8，假設(shè)XB10,0.6，那么EY，DY分別是A6和2.4B2和2.4C2和5.6D6和5.6【解析】由隨機(jī)變量XY8，所以有Y8X.因此，求得EY8EX810×0.62，DY12DX10×0.6×0.42.4.【答案】B3有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，EX1EX2，DX1>DX2，那么自動(dòng)包裝機(jī)_的質(zhì)量較好. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690044】【解析】因?yàn)镋X1EX2，DX1>DX2，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定【答案】乙4離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X1012Pabc假設(shè)EX0，DX1，那么a_，b_.【解析】由題意，解得a，bc.【答案】5某運(yùn)發(fā)動(dòng)投籃命中率p0.6，1求一次投籃命中次數(shù)的均值與方差；2求重復(fù)5次