第14講群表示理論簡介

1、第14講群表示理論簡介1.群的表示1,., ,imfRTRTRTRT同一組基下，若，則1,.,GiinG RR對(duì)點(diǎn)群在同一組基下，對(duì)稱操作的矩陣表示的集合 和 的乘法關(guān)系相同，也是群1,.,Ginm mm R稱集合為點(diǎn)群 的一個(gè)維 矩陣表示12,.,nGR RR1）考慮點(diǎn)群112121212122121211221212,.,.,.,., ,.,=,.,=,.,mmmmmmmRffffffRffffffR RfffRffffffRRRR R若，則G顯然，點(diǎn)群 的矩陣表示是不唯一的，依賴于維數(shù)和基函數(shù)1任何點(diǎn)群，都有一個(gè)由數(shù)字1構(gòu)成的 維 矩陣群表示，稱為 全對(duì)稱表示，任何標(biāo)量函數(shù)都是全對(duì)稱表示

2、的基函數(shù) rfrfR1.群的表示222212331,x,2,vfffyxy xyC2）例如，前面已經(jīng)得到，以為基，可得到點(diǎn)群的矩陣表示如下：100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3, ,3vxyzx y zC實(shí)際上，對(duì)點(diǎn)的3維坐標(biāo)進(jìn)行變換，我們也能得到點(diǎn)群的一個(gè)維的矩陣表示1.群的表示3）等價(jià)表示若群的表示 與 的矩陣，以同一相似變換相關(guān)聯(lián)，則 與 為等價(jià)表示, , , .,.E A B CEA B C 等價(jià), .P 111AP APBP BPCP CP存在

3、非奇異方陣 ，滿足, P 和的維數(shù)相同，但不一定是群表示的矩陣221233212,2,3vg ggxxy yC前述示例中，以為基，曾得到點(diǎn)群的另一個(gè)維矩陣表示，實(shí)際上，與構(gòu)成等價(jià)表示等價(jià)表示之間，基函數(shù)存在線性變換，表示矩陣之間為相似變換 123123,g g gf ffPPRPR1121.群的表示4）特征標(biāo)定義：群表示矩陣的跡 對(duì)角元素之和 稱為特征標(biāo) RTrR等價(jià)表示，特征標(biāo)相同 充要條件 ( )( )RRRG 與 等價(jià)，相似矩陣的跡相同點(diǎn)群中，同一共軛類的操作，特征標(biāo)相同 -1 ,=,A BXGA X BXTrTrTrTrAB-1-1-1A = X BXAX BXBX XB若共軛，則存在

4、，滿足及 31233,3,()()0,()()()1vVVVCECC 例：對(duì)點(diǎn)群的表示1.群的表示4）可約與不可約表示矩陣直和10002/1230232/13C 331/ 23 2=1 =3 21/ 2abCC100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3vC例：的矩陣表示,.abab333EEECCC均可表示成直和形式：1.群的表示根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，方塊化矩陣乘法為方塊對(duì)方塊的乘法方塊間的乘法關(guān)系和整個(gè)矩陣相同 每組子方塊矩陣均構(gòu)成點(diǎn)群的一個(gè) 低維 表示32 2

5、331 11/ 23 201/ 23 203 21/ 203 21/ 2000100100aavvbbv C C C 例：.,:.,:2b23b3ba3a3aC,C,ECCEbaab 表示 為兩個(gè)低維表示的直和1.群的表示000000.iRR -1iX R XR,iXR：若存在相似變換 ，對(duì) 中所有定義均有所有矩陣能以相同方式對(duì)角方塊化(表示成直和)G則稱 是群 的可約表示，否則是不可約的ab前述示例中， 為可約表示，及均為不可約表示 一個(gè)群可以有無窮多個(gè)矩陣表示，但其中很多是等價(jià)表示，對(duì)于相互等價(jià)的表示，我們只需研究其中的一個(gè)，特征標(biāo)是重要量 一個(gè)群可以有很多個(gè)不等價(jià)表示，但其中很多是可約的

6、，對(duì)于可約表示，我們可以將其約化為不可約表示的直和 因此研究群的性質(zhì)，只需研究其不等價(jià)不可約表示的性質(zhì)。對(duì)于有限階的群，其不等價(jià)的不可約表示是有限的2.特征標(biāo)表332221222232111,111210,vvzxyCECAzxyzARExyRRxyxyxzyz1次齊次函數(shù)次齊次函數(shù)不可約表示符號(hào) jR基函數(shù)示例：可判斷軌道對(duì)稱性不可約表示的慕利肯記號(hào) n22ABET F1;111;1;21;11111nvvhhACBCCCgiui 一維表示： 或 ；二維表示： ；三維表示：下標(biāo)下標(biāo)上標(biāo)；上標(biāo)下標(biāo)；下標(biāo)3.不可約表示性質(zhì)1）廣義正交定理（矩陣元正交定理） * jjjjmmnnRmnmnj jh

7、RRl l , ,:mnjjjmnj jl lRR：不可約表示；：相應(yīng)維數(shù)，h為群的階的矩陣表示中的第矩陣元11333111231,2vaaCCC例的表示中，100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3.不可約表示性質(zhì) 一些推論性質(zhì)（證明略）： 22*123=jjjjjkjkRjEhlhRRh縱和橫和方陣：數(shù)目 類數(shù)目112()(),(),()()jm njmnjmnjhmnjjmmnnjjjhm nRhhRRRllR 可將定理改寫為：不可約表示的每一套矩陣元構(gòu)

8、成h維空間的一個(gè)向量，廣義正交定理告訴我們，這些向量是彼此正交的（可以用C3v檢驗(yàn)）331223111111210vvCECAAE4.可約表示分解?jjjjaa 問題：，直和，對(duì)角方塊化 *1jjRaRRh結(jié)論： *11=jkkkjkjRkkRRaRaRRahhjkh331223111111210vvCECAAE 1,2, ,313,0,1a b cvEC 11113312236112316AAAvAvaEECC 230,1AEaa同理，1AE 3vC例：的矩陣表示*5.直積表示1）矩陣的直接乘積 其中， 特征標(biāo)： 11121311121112212223212221226 6313233bb

9、baaaabbbaaaabbbBBABBB22211211aaaaA333231232221131211bbbbbbbbbB211113111211111111babababaa B)()()()()(2211BABBBAaa推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于兩個(gè)直因子矩陣的特征標(biāo)的普通乘積 2）直積表示 1212122 2,ffffR ffff R 以為基，表示 1231231233 3,=,gg ggR g ggg gg gR 以為基，表示111213212223,2 36f gf gf gf gf gf g 以全部乘積函數(shù)為基，可以支撐 起一個(gè)維的函數(shù)空間，它是對(duì)稱操作R的不變空間112311236 6,R f gf gf gf gfgR 可以證明：*5.直積表示fgfgRRR即：直積表示矩陣為因子表示矩陣的直積fgfgfg 得到的表示稱為和的直積表示，記為3）直積表示的特征標(biāo)等于直因子表示的特征標(biāo)的普通乘積*5.直積表示)()()(RRRjiji例： 顯然，一維表示的自身直積是全對(duì)稱表示 證明： 111ijAARaRRh ,111=1ijijijijijRRRRRRRRRhhhRRh *5.直積表示