同構(gòu)法解決混合指對數(shù)不等式恒成立問題

1、同構(gòu)法的妙用、知識點概括在成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型 （即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度.找到這個函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法。1、針對雙變量，方程組上 f(X1)-f(X2)?kx1 x2為增函數(shù)。(2)f(Xi)-f(X2)?f x1kx1f x2kx2x2k kk= ？ f Xi X2X1X1_k_k . fx2?=fx一為減函數(shù)。x2x含有地位同等的兩個變量，進行分組整理,是一種常見變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個變量的大小）2、指對跨階想

2、同構(gòu)，同左同右取對數(shù)。同構(gòu)基本模式:（1）積型：aeawblnb （三種同構(gòu)方式）同右：ealneawblnb,即：同左：aea In b eln b,即：取對：a In a In b In In b。即：。小結(jié)：在對“積型”同構(gòu)時，取對數(shù)是最快的（單調(diào)性容易求解）(2)商型：？e-?q-(三種同構(gòu)方式) a ln baInbx同左：2 J?,即：f x oa In bxpa同右：J-b-,即：f x 工。 lne InbIn x取對：a ln a e1nb lnb,即：。同右：ea 1neab 1nb,即：3、無中生有去同構(gòu)，湊好形式是關(guān)鍵，湊常數(shù)或湊參數(shù)，如有必要湊變量。axax(1) a

3、e 1n x axe x1n x (同時乘 x)。后面轉(zhuǎn)化同 2. (1)一 Y1 V(2)ea1naxa a e In a x 1 1 e In a 1n x 1 1 ax 1na1n x 1e x 1n a 1n x 1 x 1 = 1n x 1 e (同時力口 x )x 1n a 1n x 1。xx1n a 1n xx1n a(3) a 1oga x e x1n a e x1nx,后面轉(zhuǎn)化同 2. (1)1n a4、同構(gòu)放縮需有方，切放同構(gòu)一起上。這個是對同構(gòu)思想方法的一個靈活運用。利用切線放縮，往往需要局部同構(gòu)?！纠们芯€放縮如同用均值不等式，只要取等號的條件成立即可】掌握常見的放縮：

4、(注意取等號的條件，以及常見變形)(1) ex x 1 ex 1 xex exxx x 1nxe x 1n xx 1n x x變形：xe e x 1n x 1, 一 e x 1n x 1； e 1n x x 1 xex2ex ex 21nx x 21n x 1,x2ex ex 21nx e x 21n x。,x.,一 In xx1InexxInx,lnx x 1In x ex 2 ；e,，1.一In x1-xlnxx1。xx變形：x In x xex,x In x In 土。 x xx小結(jié)： xex ex 1nx，包 ex lnx,2L elnx x,x In x lnxex,x In x I

5、n旦等，這些變形 xex新寵是近年來因為交流的頻繁而流傳開來的。對解決指對混合不等式問題，如恒成立求參數(shù)取 值范圍問題，或證明不等式，都帶來極大的便利.當(dāng)然，在具體使用中，往往要結(jié)合切線放縮，或換元法?？梢哉f掌握了這些變形新寵及常見切線型不等式，就大大降低了這類問題的難度。、題型賞析例1、對下列不等式或者方程進行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)。(1) log 2 x k 2 kx 02 x 1 一(2) e In x0m(3) x2 ln x mex 01 .(4) a e 12 x ln xx(5) aln x 12 x 1 ax 2ex(6) x aln x ex xa x 1(7) e2

6、x In x 0(8) x2exIn x 0例2、已知不等式axlog a x a 0,且a 1 ,對？x 0,恒成立，則a的取值范圍是例3、若對任意x 0，恒有a eax 11 .2 x - lnx,則實數(shù)a的最小值為例7、已知X0是函數(shù)f Xx2ex 2 In x 2 的零點，則 e x0 In x0)例4、已知函數(shù)f x ex aln ax a a a 0 ,若關(guān)于x的不等式f x 0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）例5、對任意x 0 ,不等式2ae2x in x in a 0恒成立，則實數(shù)a的最小值為 例6、已知函數(shù)f x mln x 1 3x 3,若不等式f x mx 3ex在0,上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是（例8、已知函數(shù)f xxeax 1 In x ax ,若f x0對任意x 0恒成立，則實數(shù)a的最小值是（）例9、已知函數(shù)f xx e2x a ,若f x 1 x Inx,求a的取值范圍。例 10、已知 f x xex ax2,g x In x x x2 1 f,當(dāng) a 0時