高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(10)

1、編輯ppt第七節(jié)第七節(jié) 極限應(yīng)用舉例極限應(yīng)用舉例編輯ppt 微積分是一門(mén)以變量為研究對(duì)象、以極限方法作為基微積分是一門(mén)以變量為研究對(duì)象、以極限方法作為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科. 應(yīng)用極限方法研究各類變化率應(yīng)用極限方法研究各類變化率問(wèn)題和幾何學(xué)中曲線的切線問(wèn)題問(wèn)題和幾何學(xué)中曲線的切線問(wèn)題, 就產(chǎn)生了微分學(xué)就產(chǎn)生了微分學(xué); 應(yīng)應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊圖形的面積等這類涉及到微小用極限方法研究諸如曲邊圖形的面積等這類涉及到微小量無(wú)窮積累的問(wèn)題量無(wú)窮積累的問(wèn)題, 就產(chǎn)生了積分學(xué)就產(chǎn)生了積分學(xué); 可以說(shuō)可以說(shuō), 整個(gè)微整個(gè)微積分學(xué)是建立在極限理論的基礎(chǔ)之上的積分學(xué)是建立在極限理論的基礎(chǔ)之

2、上的. 由此可以理解由此可以理解為什么每本微積分教程都以極限理論作為其開(kāi)始部分的為什么每本微積分教程都以極限理論作為其開(kāi)始部分的內(nèi)容內(nèi)容.編輯ppt例例1.43 曲邊三角形的面積計(jì)算曲邊三角形的面積計(jì)算 解決方法解決方法: 如圖如圖, 求由曲線求由曲線 與與 軸圍成的面積軸圍成的面積.2,1yxxxy=x2yx1o 1.將區(qū)間將區(qū)間 等分等分, 分點(diǎn)依分點(diǎn)依0,1 n1 21,.nn nn次為次為編輯ppt22211121110nnSnnnnnnn 2223311(1)(21)12(1)6n nnnnn 2.以這些分點(diǎn)為基礎(chǔ)以這些分點(diǎn)為基礎(chǔ), 構(gòu)作構(gòu)作 個(gè)矩形個(gè)矩形, 并以矩形面積并以矩形面積

3、n11112,6nn之和來(lái)代替原來(lái)的曲邊三角形面積之和來(lái)代替原來(lái)的曲邊三角形面積. 由此得到由此得到編輯ppt 3.為了求得曲邊三角形面積的精確值為了求得曲邊三角形面積的精確值, 可以讓分點(diǎn)增可以讓分點(diǎn)增1111limlim12.63nnnSSnn注注: 古希臘人正是用這種方法求曲邊三角形的面積的古希臘人正是用這種方法求曲邊三角形的面積的.加加, 從而得到的矩形面積之和與曲邊三角形面積充分接從而得到的矩形面積之和與曲邊三角形面積充分接近近. 由此得到曲邊三角形面積由此得到曲邊三角形面積S編輯ppt例例1.44 變速直線運(yùn)動(dòng)中的速度問(wèn)題變速直線運(yùn)動(dòng)中的速度問(wèn)題( ).s s t 這個(gè)函數(shù)稱為質(zhì)點(diǎn)

4、的位置函數(shù)這個(gè)函數(shù)稱為質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù). 我們需要確定該動(dòng)點(diǎn)我們需要確定該動(dòng)點(diǎn) 1.勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng): 在勻速直線運(yùn)動(dòng)中在勻速直線運(yùn)動(dòng)中, 我們知道路程與速我們知道路程與速 設(shè)某點(diǎn)沿著直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某點(diǎn)沿著直線運(yùn)動(dòng), 為動(dòng)點(diǎn)從某一選定時(shí)刻到時(shí)為動(dòng)點(diǎn)從某一選定時(shí)刻到時(shí)sts t刻刻 所通過(guò)的路程所通過(guò)的路程, 則則 是是 的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù), 即即;在各個(gè)時(shí)刻的在各個(gè)時(shí)刻的“速度速度”（稱為瞬時(shí)速度）（稱為瞬時(shí)速度）.度、時(shí)間的關(guān)系為度、時(shí)間的關(guān)系為編輯ppt00000( )( ),sss ts tvtttt v經(jīng)過(guò)的路程經(jīng)過(guò)的路程所化的時(shí)間所化的時(shí)間這里的速度這里的速度 是一個(gè)常量是一個(gè)常量.v

5、2.非勻速運(yùn)動(dòng)非勻速運(yùn)動(dòng): 在非勻速直線運(yùn)動(dòng)中在非勻速直線運(yùn)動(dòng)中, 上面的比值將上面的比值將0,t t不再是一個(gè)常數(shù)不再是一個(gè)常數(shù). 為此我們考慮在時(shí)間段為此我們考慮在時(shí)間段 , 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)0ss從從 移到移到 , 相應(yīng)的比值相應(yīng)的比值編輯ppt表示在這個(gè)時(shí)間段里的平均速度表示在這個(gè)時(shí)間段里的平均速度. 可以想到可以想到: 如果時(shí)間如果時(shí)間0000 0( )( )limlim.tttts ts tvvt t到位移函數(shù)在時(shí)刻到位移函數(shù)在時(shí)刻 時(shí)的瞬時(shí)速度為時(shí)的瞬時(shí)速度為t0tt間隔間隔 很小很小, 動(dòng)點(diǎn)的速度變化不大動(dòng)點(diǎn)的速度變化不大, 它可以近似地它可以近似地表示動(dòng)點(diǎn)在這一時(shí)間間隔內(nèi)的表示動(dòng)點(diǎn)在

6、這一時(shí)間間隔內(nèi)的“速度速度”. 即即000( )( ),s ts tvtt而且這樣的近似程度是隨著而且這樣的近似程度是隨著 時(shí)越來(lái)越好時(shí)越來(lái)越好, 由此得由此得0tt編輯ppt例例1.45 連續(xù)復(fù)利的計(jì)算問(wèn)題連續(xù)復(fù)利的計(jì)算問(wèn)題 設(shè)某人以本金設(shè)某人以本金 元進(jìn)行投資元進(jìn)行投資, 投資的年利率為投資的年利率為 并設(shè)并設(shè)p, r以年為單位計(jì)算復(fù)利以年為單位計(jì)算復(fù)利, 則經(jīng)過(guò)則經(jīng)過(guò) 年后年后, 總金額為總金額為t1tpr元元;若以月為單位計(jì)算復(fù)利若以月為單位計(jì)算復(fù)利, 那么那么 年后的資金總額為年后的資金總額為t12112trp元元;若以天為單位計(jì)算復(fù)利若以天為單位計(jì)算復(fù)利, 則則 年后的資金總額為年后的資金總額為t編輯ppt3651365trp元元. 一般一般, 若以若以 年為單位計(jì)算復(fù)利年為單位計(jì)算復(fù)利, 那么那么 年后的資金總年后的資金總1nt額為額為1ntrpn元元. 以以 則則,n 編輯ppt